统计在理想气体中的应用

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1、一、麦克斯韦分子速率分布定律一、麦克斯韦分子速率分布定律条件：条件： 理想气体，平衡态（热动平衡）理想气体，平衡态（热动平衡）宏观：宏观：有有确确定定值值Tpn,微观：微观： 各分子不停运动且频繁碰撞，各分子不停运动且频繁碰撞，无无规规运运动动不不断断变变化化,v对大量分子整体而言，气体分子按速率分布具有确对大量分子整体而言，气体分子按速率分布具有确定规律。定规律。1. . 内容内容： 平衡态下，无外力场作用时，理想气体分子速率在平衡态下，无外力场作用时，理想气体分子速率在v v + d+ dv 间的概率为间的概率为: :vvekTmNNWkTmvd)2(4dd22232分布函数：分布函数：分

2、子速率在分子速率在 v 附近单位速率区间的概率附近单位速率区间的概率22232)2(4dd)(vekTmvNNvfkTmv2. 麦克斯韦速率分布曲线麦克斯韦速率分布曲线讨论讨论: : 1）气体分子速率可取气体分子速率可取0的一切值，但的一切值，但v 很小和很小和v很大的分子所占比率小，很大的分子所占比率小，具有中等速率分子所占比具有中等速率分子所占比率大。率大。令令解解得得0d)(dvvfRTmNTkNmkTvAAp222数量级：数量级：132sm1010室温下室温下,:最最概概然然速速率率pvOvf(v)vp物理意义：物理意义：的的分分子子数数最最多多？是是不不是是速速率率正正好好等等于于p

3、vRTmNTkNmkTvAAp222,:最最概概然然速速率率pv vNvfNvNNvfdd,dd)(0d0dNv则则若若若将若将 分为相等的速率间隔，则在包含分为相等的速率间隔，则在包含 的的间隔中的分子数最多。间隔中的分子数最多。vpvOvf(v)vp窄条：窄条：NNvvNNvvfddddd)( 分子速率在分子速率在 vv+dv 区间内的概率区间内的概率部分：部分：NNNNvvfvvvvvv212121dd)( 区区间间的的概概率率分分子子速速率率在在21vv 2) 曲线下的面积曲线下的面积讨论：讨论： Ovf(v)v+dvvf(v)vf(v)OOvv1v2总面积：总面积：1dd)(00NN

4、NNvvf归一化条件归一化条件练习：练习：pvvvfvvNfd)(d)(pvvvNfvvnf0d)(d)(的物理意义的物理意义?Ovf(v)v+dvvf(v)vf(v)OOvv1v2:d)(vvNf:dv)v(nf:d pvv)v(f:d0 pvv)v(Nf.的的概概率率分分子子速速率率大大于于pv.的的分分子子数数速速率率小小于于pv.d 区区间间的的分分子子数数速速率率在在vvv .d 区区间间的的分分子子数数密密度度速速率率在在vvv m一定一定,mkTvTp23) 分布曲线随分布曲线随 m ,T 变化变化讨论：讨论： 曲线峰值右移，总面积不变，曲线变平坦曲线峰值右移，总面积不变，曲线变

5、平坦 T 一定一定, ,mkTvmp2曲线峰值左移，总面积不曲线峰值左移，总面积不变，曲线变尖锐。变，曲线变尖锐。3. .分子速率的三种统计平均值分子速率的三种统计平均值wMMd0d)()()(vvfvgvg一般情况：一般情况：Ovf(v)vp2vp1m1m2 m1T一定一定1） 平均速率平均速率2） 方均根速率方均根速率3） 最概然速率（最可几速率最概然速率（最可几速率)RTRTmkTvvvfv60. 188d)(0RTRTmkTvp41. 122mkTvvfvv3d)(022RTRTmkTv73. 1332三者关系：三者关系：2vvvpOvf(v)vpv2v练习练习1.1.则则：图图中中，

6、若若BASS A.A.B.B.C.C.D.D.vv 0pvv 020vv NNNvv21000 练习练习2.2.图示为氢分子和氧分子在相同温度下的麦克斯韦速率分图示为氢分子和氧分子在相同温度下的麦克斯韦速率分布曲线，氢分子的最概然速率为布曲线，氢分子的最概然速率为 ， 氧分子的最概然速率为氧分子的最概然速率为 。-1sm -1sm )(vf -1sm vo1000 RTmkTvp22 2216Homm 2241Hpopvv 100040002O2H练习练习3.3.处理理想气体分子速率分布的统计方法可用于处理理想气体分子速率分布的统计方法可用于金属中金属中自由电子自由电子(“电子气电子气”模型模

7、型),设导体中自由电子数为设导体中自由电子数为N,电电子速率最大值为费米速率子速率最大值为费米速率vF且已知电子速率在且已知电子速率在 v v+dv 区间概率为：区间概率为： NNd0d2vAv)()0(FFvvAvv 为为常常数数1. 1. 画出电子气速率分布曲线画出电子气速率分布曲线2.2.AvF定定出出由由3.3.2,vvvp求求解解: : vNN)v(fdd)vv()vv(AvFF 0021.1.2. 2. 由归一化条件由归一化条件33002313ddFFvvA,vAvAvv)v(fF FvFvvvvvvvvfvF75. 0d3d)(2003 3.3.;Fpvv FFFFvvvvvvv

8、vvvF77. 06 . 06 . 0d3222022 二、二、 玻尔兹曼玻尔兹曼(奥地利奥地利1844-19061844-1906)粒子数按势能分布规律粒子数按势能分布规律或：重力场中粒子数按高度分布规律或：重力场中粒子数按高度分布规律无外力场存在时无外力场存在时, ,麦氏分子速率分布定律麦氏分子速率分布定律vve)kTm(NNWkTmvd24dd22232 麦氏分子速度分布定律麦氏分子速度分布定律zyx)vvv(kTmvvve)kTm(NNWzyxddd2dd222223 保守力场中，粒子不再均匀分布保守力场中，粒子不再均匀分布两点修正两点修正)(2222kpkzyxvvvmEEEE 取取

9、代代用用变量间隔改为变量间隔改为zyxvvvzyxdddddd在空间小体积在空间小体积中中zzzyyyxxxd,d,d 速度在速度在区间区间zzzyyyxxxvvvvvvvvvd,d,d 的分子数：的分子数：zyxvvve)kTm(CNzyxkTEEdddddd2dpk23 对所有速度积分得体积元对所有速度积分得体积元内内总总分分子子数数zyxdddzyxCeNkTEddddp 分子数密度：分子数密度：kTECezyxNnpdddd 则分子密度为处设,00pnE RTghkTmghkTEenenenn000p 重力场中重力场中，热运动与重力作用相互影响，实现热动平衡，热运动与重力作用相互影响，

10、实现热动平衡时，气体分子数密度随高度上升，按指数规律下降。时，气体分子数密度随高度上升，按指数规律下降。恒温气压公式恒温气压公式RTghRTghepkTennkTp 00ppgRTh0ln 高度计原理高度计原理三三. . 能均分定律能均分定律 理想气体内能理想气体内能各种平均能量按自由度均分各种平均能量按自由度均分1. . 模型的改进模型的改进推导压强公式：推导压强公式： 理想气体分子理想气体分子 质点质点讨论能量问题：讨论能量问题： 考虑分子内部结构考虑分子内部结构 质点组质点组大量分子系统：大量分子系统：各种运动形式的能量分布、平均总能量均遵守统计规律。各种运动形式的能量分布、平均总能量均

11、遵守统计规律。分子热运动分子热运动平动平动转动转动分子内原子间振动分子内原子间振动2. .自由度自由度确定一个物体的空间位置所需的独立坐标数确定一个物体的空间位置所需的独立坐标数srti总自由度数总自由度数=平动自由度平动自由度+转动自由度转动自由度+振动自由度振动自由度3 ti1） 质点：质点： 只有平动，最多三个自由度只有平动，最多三个自由度),(zyx受限制时自由度减少受限制时自由度减少飞机飞机 t =3轮船轮船 t =2火车火车 t =1例：例：决定质心位置决定质心位置),(zyxt =3过质心转轴方位过质心转轴方位之二）,(刚体相对于轴的方位刚体相对于轴的方位)(r =3最多最多6个

12、自由度个自由度: : i = t + r = 6定轴刚体定轴刚体 : : i = r = 1)(2） 刚体刚体xzoyzyxc,3）气体分子）气体分子单原子分子单原子分子自由质点自由质点 i = t = 3质心位置质心位置 t = 32,21rmm连连线线方方位位1,21smm相相对对于于质质心心的的位位置置6srti双原子分子双原子分子 轻弹簧联系的两个质点轻弹簧联系的两个质点xyzOCm2m1多原子分子（原子数多原子分子（原子数 n )最多可能自由度最多可能自由度i=3n平动平动 t =3转动转动 r =3振动振动 s =3n-6刚性多原子分子刚性多原子分子t = 3r = 3s = 0i

13、 = 63. 能均分定律能均分定律分子的平均总动能分子的平均总动能: :kTi2k由由M-B统计得统计得, ,在温度在温度T的平衡态下，物质的平衡态下，物质( (固，液，气固，液，气) )分子的每一个可能的自由度都有相同的平均动能分子的每一个可能的自由度都有相同的平均动能kT21定性说明：定性说明： 由于分子频繁碰撞，动能在各运动形式、由于分子频繁碰撞，动能在各运动形式、各自由度之间转移，平衡时，各种平均动能按自由各自由度之间转移，平衡时，各种平均动能按自由度均分。度均分。由能均分定律，其它各自由度上平均动能均为由能均分定律，其它各自由度上平均动能均为kT21由温度公式由温度公式kTvvvmv

14、mzyxt23)(21212222kTvmvmvmzyx21212121222每个自由度上的平均平动动能：每个自由度上的平均平动动能：平均平动动能平均平动动能kTt2平均转动动能平均转动动能kTr2平均振动动能平均振动动能kTs2平均总动能平均总动能kTikTsrt2)(21k注意注意:能均分定律是统计规律，反映大量分子系统的整能均分定律是统计规律，反映大量分子系统的整体性质，对个别分子或少数分子不适用。体性质，对个别分子或少数分子不适用。2） 理想气体内能：（分子数理想气体内能：（分子数 N）模型：模型：分子间无相互作用分子间无相互作用无分子相互作用势能无分子相互作用势能分子动能：分子动能：

15、kTiN2原子振动势能：原子振动势能：kTsN2kTsrtN)2(214. 理想气体的内能理想气体的内能1）实际气体）实际气体的内能的内能：（分子数：（分子数 N）所有分子的动能：所有分子的动能：kTiNkTsrtN2)(21微振动：采用谐振动模型微振动：采用谐振动模型所有分子内原子振动势能：所有分子内原子振动势能：pkEE kTsN2分子间相互作用势能：分子间相互作用势能： 与体积与体积 V 有关有关与与T,V有关有关模型：模型：刚性分子刚性分子无振动自由度无振动自由度分子数为分子数为 N 的理想气体的内能为的理想气体的内能为kTiNNE2k对对 1mol 刚性分子理想气体刚性分子理想气体R

16、TikTiNEA22刚性分子理想气体刚性分子理想气体对对molMRTiME2单原子分子单原子分子RTME23RTME25刚性双原子分子刚性双原子分子刚性多原子分子刚性多原子分子RTME3温度温度 T 的的单值函数单值函数rti平衡态下，物质分子每个自由度上的平均动能平衡态下，物质分子每个自由度上的平均动能平衡态下，物质分子的平均平动动能平衡态下，物质分子的平均平动动能平衡态下，物质分子的平均总动能平衡态下，物质分子的平均总动能平衡态下，平衡态下，1 1mol理想气体内能理想气体内能指出下列各量的物理意义指出下列各量的物理意义:21kT:23kT:2kTi:2RTi:2RTiM理想气体内能理想气

17、体内能molM四四. . 分子碰撞的统计规律分子碰撞的统计规律分子速率分布分子速率分布平均动能按自由度分布平均动能按自由度分布都是依赖分子间都是依赖分子间频繁碰撞实现的频繁碰撞实现的只能求统计平均值，只能求统计平均值，寻求其统计规律。寻求其统计规律。每个分子每个分子1 1秒内与其它分子相撞次数秒内与其它分子相撞次数连续两次相撞间经过的时间间隔连续两次相撞间经过的时间间隔连续两次相撞间通过的路程连续两次相撞间通过的路程均不确定均不确定1 . 1 . 分子平均碰撞频率分子平均碰撞频率z单位时间内每个分子平均与其它分子相撞次数单位时间内每个分子平均与其它分子相撞次数思考：思考：是否可以象求是否可以象

18、求 p 那样视为质点？那样视为质点？1 1） 模型的改变：模型的改变：分析分子碰撞的过程分析分子碰撞的过程分子间相互作用分子间相互作用斥斥力力00 Frr00 Frr引引力力00 Frr00 Frr匀匀速速直直线线运运动动0rr 加加速速0rr max0vvrr 减减速速0rr 返返回回0 vdrABdAB两分子相碰过程（经典模型）两分子相碰过程（经典模型）分子间最小距离分子间最小距离 d 与分子初动与分子初动能有关，其统计平均值能有关，其统计平均值分子分子的有效直径。的有效直径。)m10(10 一一般般ABd分子相撞分子相撞视为直径为视为直径为 d 的刚性小球的弹性碰撞的刚性小球的弹性碰撞2

19、) 2) 推导公式：推导公式：“跟踪跟踪”一个分子一个分子A，认为其它分子不动，认为其它分子不动，A以平均以平均相对速率相对速率 相对其它分子运动。相对其它分子运动。u碰碰撞撞截截面面:2d 时间时间 t 内，内，A通过的折线长通过的折线长tu以折线为轴的曲折圆柱体积以折线为轴的曲折圆柱体积2dtu 圆柱内分子数圆柱内分子数2dtun A球心轨迹：折线球心轨迹：折线质心与折线距离质心与折线距离 d 的分的分子将不与子将不与A相碰相碰u单位时间内平均碰撞次数单位时间内平均碰撞次数2dun 平均碰撞频率平均碰撞频率vdnz22 一般：一般：1109s1010 平均相对速率平均相对速率vu2 AvB

20、vu2 vAvBv0 uvvABvu2 u1 1） 定义定义分子在连续两次碰撞间通过的自由路程的平均值。分子在连续两次碰撞间通过的自由路程的平均值。2）ndzv221 pdkT22 nkTp 常温常压下：常温常压下：m101078 为分子有效直径的数百倍为分子有效直径的数百倍注意：注意：容容器器线线度度很很小小时时，算算出出的的很很小小，当当 np容容器器线线度度这这时时 2.2.分子平均自由程分子平均自由程 习题课习题课. . 第第1818章重点：章重点：MB统计在理想气体中的应用统计在理想气体中的应用两个基本概念：两个基本概念： p, T四个统计规律四个统计规律麦克斯韦分子速率分布麦克斯韦

21、分子速率分布玻尔兹曼粒子按势能分布玻尔兹曼粒子按势能分布能均分定律能均分定律分子平均碰撞频率和平均自由程分子平均碰撞频率和平均自由程kTtt2 1 ：1RTVMp 2 ：1RTiME2 3:1043:25 10 ：3解：解： 1. 2 1. 2克氢气与克氢气与2 2克氦气分别装在两容积相同的封闭克氦气分别装在两容积相同的封闭空间，温度相同。则：空间，温度相同。则：1 1） 氢分子与氦分子平均平动动能之比：氢分子与氦分子平均平动动能之比：2 2） 氢气与氦气压强之比：氢气与氦气压强之比：3 3） 氢气与氦气内能之比：氢气与氦气内能之比：练习练习解：解： 2. 一定量的理想气体，经等压过程从一定量

22、的理想气体，经等压过程从 V 2 V则表述分子运动的下列各量与原来的量值之比是：则表述分子运动的下列各量与原来的量值之比是：1 1） 平均自由程：平均自由程：_2 2） 平均速率：平均速率：_3 3） 平均动能：平均动能：_2 ： 1nd221 22nn,VV RTv8 12 :TTnnnkTp2, 2 不不变变，kTik2 2 ： 1练习练习3.容器中储有一定量理想气体容器中储有一定量理想气体,温度为温度为 T ,分子质量分子质量为为 m ,则分子速度在则分子速度在 x 方向的分量的平均值为方向的分量的平均值为: D （A A）（C C）（B B）（D D）mkTvx 831 mkTvx 3

23、8 mkTvx23 0 vx练习练习4.标准状态下标准状态下,若氧气和氦气的体积比若氧气和氦气的体积比V1/V2 = 1/2, 则其内能则其内能 E1/E2 为为: （A）1/2 ; （B）5/6 ;（C）3/2 ; （D）1/3 .652135;22221121 ViViEEpViRTiME B 5. 5. 水蒸气分解为同温度水蒸气分解为同温度 T T 的氢气和氧气的氢气和氧气, ,即即 H H2 2O OH H2 2+0.5O+0.5O2 2 内能增加了多少？内能增加了多少？ （A）50% （B）25% （C）66.7% （D）0.练习练习 B 41;4345:mol5 . 025:mol

24、126:mol1222 EERTERTEORTEHRTEOH 6. .在恒定不变的压强下，气体分子的平均碰撞频率在恒定不变的压强下，气体分子的平均碰撞频率 与气体的热力学温度与气体的热力学温度 T T 的关系为的关系为: :z练习练习 C TmkTkTpdvndz182222 (A) (A) 与与T T 无关。无关。z(B) (B) 与与 成正比。成正比。T(C) (C) 与与 成反比。成反比。(D) (D) 与与T T 成正比。成正比。zzzT7.下列各式中哪一种表示气体分子的平均平动动能？下列各式中哪一种表示气体分子的平均平动动能？（式中（式中 M 为气体的质量为气体的质量,m 为气体分子

25、的质量为气体分子的质量, N 为气为气体分子总数目体分子总数目, n 为气体分子密度为气体分子密度, N0 为阿伏加德罗常为阿伏加德罗常数数, Mmol为摩尔质量。）为摩尔质量。）（A A）（C C）（B B）（D D）;23pVMm;23molpVMM.230molpVNMM;23npV练习练习 A pVMmMMRTMmmMmMNRTkTt23232323mol0 8. .一瓶氦气一瓶氦气 HeHe 和一瓶氮气和一瓶氮气 N N2 2 质量密度相同质量密度相同, ,分子分子平均平动动能相同平均平动动能相同, ,而且都处于平衡状态而且都处于平衡状态, ,则它们：则它们：（A）温度相同、压强相同

26、。）温度相同、压强相同。（B）温度、压强都不同。）温度、压强都不同。（C）温度相同）温度相同, ,但氦气的压强大于氮气的压强。但氦气的压强大于氮气的压强。（D）温度相同）温度相同, ,但氦气的压强小于氮气的压强。但氦气的压强小于氮气的压强。练习练习 C mmkTnkTpnmkTt1,23 9. . 有一截面均匀的封闭圆筒，中间被一光滑的活有一截面均匀的封闭圆筒，中间被一光滑的活塞分割成两边，如果其中的一边装有塞分割成两边，如果其中的一边装有0.1kg0.1kg某一温某一温度的氢气，为了使活塞停留在圆筒的正中央，则度的氢气，为了使活塞停留在圆筒的正中央，则另一边应装入同一温度的氧气质量为：另一边

27、应装入同一温度的氧气质量为：kg. 3.2 (D)kg. 1.6 (C)kg. 0.8 (B)kg. 16/1 (A)练习练习 C 1:1622222222 HOHOHHOOmmMMmMmMkTVmMnkTp10.10.汽缸内盛有一定的理想气体汽缸内盛有一定的理想气体, ,当温度不变当温度不变, ,压强增压强增大一倍时大一倍时, ,该分子的平均碰撞频率和平均自由程的变该分子的平均碰撞频率和平均自由程的变化情况是：化情况是： 练习练习（A A） 和和 都增大一倍；都增大一倍；（B B） 和和 都减为原来的一半；都减为原来的一半；（C C） 增大一倍而增大一倍而 减为原来的一半；减为原来的一半；（

28、D D） 减为原来的一半而减为原来的一半而 增大一倍。增大一倍。z z z z C ndvndznnkTpcT2221,2, 11. 一定量理想气体一定量理想气体, vP1, vP2 分别是分子在温度分别是分子在温度 T1、T2 时的最概然速率时的最概然速率,相应的分子速率分布函数的最相应的分子速率分布函数的最大值分别为大值分别为f（vP1）和）和f（vP2）,当当T1 T2时时,（A）vP1 vP2 f（vP1） f（vP2）; （B）vP1 vP2 f（vP1） vP2 f（vP1） f（vP2）; （D）vP1 f（vP2）.练习练习 A ov)v(f1pv1T21TT 2pvm一定一定

29、2T D 12. .已知氢气与氧气的温度相同，请判断下列说法哪个已知氢气与氧气的温度相同，请判断下列说法哪个正确？正确？（A A）氧分子的质量比氢分子大，所以氧气的压强一定）氧分子的质量比氢分子大，所以氧气的压强一定大于氢气的压强。大于氢气的压强。（B）氧分子的质量比氢分子大，所以氧气密度一定大）氧分子的质量比氢分子大，所以氧气密度一定大于氢气的密度。于氢气的密度。（C）氧分子的质量比氢分子大，所以氢分子的速率一）氧分子的质量比氢分子大，所以氢分子的速率一定比氧分子的速率大。定比氧分子的速率大。（D）氧分子的质量比氢分子大，所以氢分子的方均根）氧分子的质量比氢分子大，所以氢分子的方均根速率一定

30、比氧分子的方均根速率大。速率一定比氧分子的方均根速率大。练习练习(q%mZjVfSbO8K4H0D.zw+s*p!lYhUeQaN6J3F:Cyv)r&n#kWgTcP9L5I1E;Bx=t(q$mZiVfRbO7K4H0D.zw-s*o!lXhUdQaN6J3F:Czv-s&o!lXhUdQaM6J2F:Bzv-s&o!kXhTdQ9M6I2F:Bzv-r&o#kXgTdQ9M6I2x+t(p$mYiVeRbN7K3G0Dzv-s&o!kXhTdQ9M6J2F:Bzv-r&o#kXhTdQ9M6I2F;Byv-r&o#kXgTdP9M5I2E;Byv)r&n#kWgTcP9M5I2E;Bx=

31、t(q$mZiVfSbO8K4H0D.zw-s*o!lYhUeQaN6J3F:Czw-s*o!lXhUdQaM6J2F:Czv-s&o!kXhTdQaM6J2F:Bzv-r&o!kXhTdQ9M6I2F;Bzv-r&o#kXgTdP9M5I2F;Byv)r&n#kWgTdP9M5I2E;Bx=t(q$mZjVfSbO8K4H0D.zw-s*p!lYhUeQaN6J3F:Cyv)r&n#kWgTcP9L5I1E;Ax=t(q$mZiVfRbO7K4G0D.zw-s*o!lXhUdQaM6J3F:Czv-s&o!kXhUdQaM6J2F:Bzv-s&o!kXhTdQ9M6I2F;By=u)q%nZ

32、jWfScO8L4H1E.Aw+t*p$lYiUaM6J2F:Bzv-s&o!kXhTdQ9M6I2F;Bzv-r&o#kXgTdQ9M6I2F;Byv)r&o#kXgTdP9M5I2E;Bx=u(q%mZjVfSbO8K4H0D.zw+s*p!lYhUeQaN6J3F:=u(q%mZjWfScO8L4H1D.Aw+s*p$lYiUeRaN7J3G:Cyv)r&o#kXgTdP9M5I2E;Bx=u(q%mZjVfSbO8K4H0D.Aw+s*p!lYhUeQaN6J3G:Cyv)r&n#kWgTcP9L5I2E;Bx=t(q$mZiVfRbO8K4H0D.zw-s*o!lXhUeQaN6J3

33、F:Czv-s*o!lXhUdQaM6J2F:Bzv-s&o!kXhTdQ9M6J2F:By=u)q%nZjWfScP8L5H1E.Aw+t*lXhUdQaM6J2F:Bzv-s&o!kXhTdQ9M6J2F:Bzv-r&o!kXhTdQ9M6I2F;Bzv-r&o#kXgTdP9M5I2F;Byv)r&n#kWgTdP9M5I2E;Bx=t(q$mZjVfSbO8K4H0D.zw-s*o!lYhUeQaN6J3F:Cyu)r&n#kWgTcP9L5I1E;Ax=t(q$mZiVfRbO7K4G0D.zw-s*o!lXhUdQaM6J2F:Czv-s&o!kXhUdQI1E;Ax=t(q$mZ

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