浅谈平面向量的复习策略

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1、浅谈平面向量的复习策略泉州培元中学 学丽芬关键词：平面向量，复习，应用，高考趋势向量是高中数学的重要概念之一，向量为学生在解决数学、物理中的许多问题提供了新的工具。新的教学大纲必修课程针对向量的教学要求作出了明确的规定。我个人认为：“向量”的重要可与“函数”相比。“函数”思想是整个中学数学的最重要的思想之一，它贯穿于整个中学的每一个学习阶段。而“向量”可作为一种重要的解题方法，渗透于高中数学的许多章节，它与函数，三角，复数，立几，解几等的联系是显而易见的。因此复习时，要特别重视向量概念、表示运算，并善于与物理中、生活中的模型进行模拟和联想，利用直观的教学手段和方法，帮助学生正确理解、掌握向量的

2、有关概念、运算及几何意义。变抽象为形象，变被动接受为主动运用向量的知识分析问题、解决问题。从而提高平面向量复习的教学质量。一 复习目标1. 向量的概念，掌握向量的加法的减法运算，掌握实数与矢量积的运算。2. 了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标，概念，掌握平面向量的坐标运算，理解通过建立平面直角坐标系，将向量的运算转化为坐标的代数运算，实现了形与数的转化。3掌握平面向量的数量积及其几何意义，掌握向量垂直的条件，了解用平面向量的数量积处理有关长度，角度和垂直的问题。4掌握线段的定比分点坐标公式和线段中点坐标公式，平移公式。二 向量的应用把向量引入到中学的教学内容中来，大大拓宽了解题的思路，

3、使其在研究其它问题时获得广泛的应用。1、函数值域中的应用例1 求函数y = 的值域.解：y = 令 , 则证 与 不共线|y| = | | = 1 1 y 1故函数的值域为（1，1）说明：本题要求学生要学会模拟，联想，构造两个向量，用向量的平等关系得出函数的值域。2、三角中的应用例2 若、 (0 , )，求满足等式：coscoscos() =的 , 的值 解： 原等式可化为：(1cos) cossinsin=cos构造向量 = (1cos，sin) ，=( cos， sin) | = = = (1cos) cos sinsin = cos又 ( )2 |2|2 ( cos)2 22cos 即

4、(cos)2 0 cos = ， = 同理： = = = 说明：本题从三角运算的角度思考是一道较难较繁的题目，但是如果能将右式转化为向量之积、取模，并运用向量不等关系，这能较容易得出 , 的值，这又是向量的一个妙用。3解几中的应用例3 （2003年高考）已知常数a 0，向量 = (0，a)，= (1，0)。经过原点O以为方向向量的直线与经过定点A(0，a)以为方向向量的直线相交于点P，其中R，试问：是否存在两个定点E、F，使得为|PE|+|PF|定值。若存在，求出E、F的坐标，若不存在，说明理由。OM解：设 = = (0，a) (1，0) = (，a)ON = 2 = (1，0) 2(0，a)

5、 = (1，2a)ONOAAN = = (1，2a) (0，a) = (1，2aa)又设：P（x，y） P为直线OM与AN的交点OMOP 与 共线 ax = y APAN与 共线 x(2aa) = ya 由消入得: y(ya) = 2a2x2即： = 1 ()(1)当a = 时，方程是圆方程，故不存在合本题意的定点E和F(2)当0 a 时，方程表示椭圆，焦点E (0，( a + ) ,F (0，(a )合本意题说明：本题考查平面向量的概念和计算，求轨迹方程的方法，椭圆的方程和性质，利用方程断定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题的能力。4立体几何中应用例4 已知正三棱锥的

6、侧棱为l，侧棱顶角为，求证：当0 时，三棱锥的高h = 证明：如图1，正三棱锥P-ABC中，PO平面ABCCOPOPAAOPBBOPCPOPAPBPCAOBOCOAOBOCOPOPAPBPCPCPCPAPOPAPBPCPAPBPB = + = + = + P A O C B 图13 = （ + + ）+ （ + + ）又 点O是正ABC的内心，易得 （ + + ）= 0 = ( + + )即： ( )2 = (| |2 + | |2 + | |2 + 2| | | cos +2| | | cos + 2| | | cos)= (l2 + l2 + l2 + 2 l2cos + 2 l2cos

7、+ 2 l2cos)= l2 (1 +2 cos)当0 时， cos 1 0 1 +2 cos 3PO | | = 即 h = 说明：本题如果利用第二册（下A）来解有一定难度，但此处利用现代的向量几何手段来解题，显然容易多了。这正好显示了这一工具的强大功能。 5.解实际应用题6kg m 3kg 图2例5 如图2，一条轻绳（绳的质量忽略不计）跨过同一高度的两个空滑轮，两端分别拴牢质量为6kg和3kg的物体，在滑轮间的一段绳b悬挂第三物体，为使这个系统保持平衡，试求第三个物体的质量m(kg)的取值范围.解：取为原点，建立如图3所示的直角坐标系。P1. 第一、二、三物体的受力状况依次用向量，表示，设

8、分别与轴正方向的夹角为，则，依题得：即解得：在中，= =36=则0=即10 012m (m0)m说明：用平面向量知识解答实际应用题，这又是一种新的发展趋势三、高考命题趋势及应试对策。1 随着新教材的逐步推广，使用“平面向量”将会成为命题热点，而且将从对平面向量的基本性质、基本运算的考查为主，逐步过渡到重视对轴象的向量符号的理解能力，灵活解决问题的能力的考查。2 仍旧遵循“在知识网络交汇处设计试题”的原则，重视考查学生的综合能力。比如，从03年的新高考卷子中，更加体现了这一命题立意。因此在复习时，要重视向量与其它知识的交叉、融汇。3 向量的应用非常广泛，它可以应用于几何、代数、三角及一些实际的应用性问题，随着向量知识的深入，以向量为工具的题目已经出现在高考中，这种趋势以后还会加强。将一个实际问题，转化为向量之间的关系问题，用向量建立一个数学模型是一个难点问题。在复习课教学中应注意多举例，引导学生思考并及时总结，逐步培养学生用向量工具解题的思维方向。参考文献：甘大旺用平面向量解答实际应用题，赵春详利用向量解三角问题，杨新兰平面向量在解题中的应用参加2004年泉州市高三数学工作交流。第 5 页 共 5 页