连续时间傅立叶变换

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1、信号与系统实验报告 实验四 连续时间傅立叶变换4.1连续时间傅立叶变换的数字近似1 求CTFT的解析表达式。可将看作，。g=sym(exp(-2*t)*Heaviside(t);g2=subs(g,-t,t);x=g+g2;fx=fourier(x);2 创建一个向量，它包含了在区间t=0:tau:T-tau 上（其中和），信号的样本。clc;t=0:0.01:10-0.01;y=exp(-2*(t-5).*(0.5+0.5*sign(t-5)+exp(2*(t-5).*(0.5+0.5*sign(-t+5);plot(t,y);3 键入y=fftshift(tau*fft(y)计算样本。因为

2、对于基本上为零，就能近似用个样本分析中计算出信号的CTFT。clc;t=0:0.01:10-0.01;y=exp(-2*(t-5).*(0.5+0.5*sign(t-5)+exp(2*(t-5).*(0.5+0.5*sign(-t+5);y=fftshift(0.01.*fft(y);y=abs(y);plot(t,y);axis(4,6,-0.1,1.2);4.构造一个频率样本向量w，它按照 w=-(pi/tau)+(0:N-1)*(2*pi/(N*tau);与存在向量Y中的值相对应。5.因为是通过时移与相联系的，所以CTFT就以线性相移项与相联系。利用频率向量w直接由Y计算的样本，并将结果

3、存入x中。clc;t=0:0.01:10-0.01;tau=0.01;N=10/0.01;y=exp(-2*(t-5).*(0.5+0.5*sign(t-5)+exp(2*(t-5).*(0.5+0.5*sign(-t+5);y=fftshift(0.01.*fft(y);w=-(pi/tau)+(0:N-1)*(2*pi/(N*tau);x=exp(j*5*w).*y;6.利用abs和angle画出在w标定的频率范围内X的幅值和相位。对于相同的值，也画出在1中所导出的解析式表达式的幅值和相位。CTFT的近似值与解析导得的相符吗?若想在一张对数坐标上画出幅值，可以用semilogy，这是会注意

4、到，在较高的频率上近似不如在较低的频率上好。因为用了样本近似，所以在时间段长度内，信号变化不大的那些信号的频率分量近似程度会更好一些。clc;tau=0.01;T=10;t=0:tau:T-tau;N=T/tau;y=exp(-2*(t-5).*(0.5+0.5*sign(t-5)+exp(2*(t-5).*(0.5+0.5*sign(-t+5);y=fftshift(0.01.*fft(y);w=-(pi/tau)+(0:N-1)*(2*pi/(N*tau);x=exp(i*5*w).*y;xp=abs(x);xf=angle(x);subplot(211)plot(t,xp);subplo

5、t(212)plot(t,xf);7.利用abs和angle画出Y的幅值和相位，它们与X的图比较后怎样？能估计到这一结果吗？clcsyms s w;g=sym(exp(-2*s)*Heaviside(s);g2=subs(g,-s,s);y=g+g2;fw=fourier(y,s,w);ff=atan(imag(fw)/real(fw);fp=abs(fw);tau=0.01;T=10;t=0:tau:T-tau;N=T/tau;y=exp(-2*(t-5).*(0.5+0.5*sign(t-5)+exp(2*(t-5).*(0.5+0.5*sign(-t+5);y=fftshift(0.01

6、.*fft(y);w=-(pi/tau)+(0:N-1)*(2*pi/(N*tau);x=exp(i*5*w).*y;xp=abs(x);xf=angle(x);subplot(211)hold onplot(t,xp);ezplot(fp,-10:10)hold offsubplot(212)hold onplot(t,xf);ezplot(ff,-10:10)hold off4.2连续时间傅立叶变换性质1键入Y=fftshift(fft(y)，计算向量Y的傅立叶变换。键入 w=-pi:2*pi/N:pi-pi/N*fs;将对应的频率值存入向量w中。利用w和Y在区间内画出该连续时间傅立叶变换

7、的幅值。 函数ifft是fft的逆运算。对于偶数长度的向量，fftshift就是它本身的逆。对于向量Y，N=8192，这个逆傅立叶变换能用键入以下命令而求得 y=ifft(fftshift(Y); y=real(y);由于原时域信号已知是实的，所以这里用了函数real。然而，在fft和ifft中的数值舍入误差都会在y中引入一个很小的非零虚部分量。一般说来，逆CTFT不必是一个实信号，而虚部可以包含有显著的能量。当已知所得信号一定是实信号时，并且已经证实所除掉的虚部分量是没有意义的，real函数才能用于ifft的输出上load splaty=y(1:8192);N=8192;fs=8192;Y=

8、fftshift(fft(y);sound(y,fs);w=(-pi:2*pi/N:pi-pi/N)*fs;subplot(211)plot(w,Y);title(Y);y=ifft(fftshift(Y);y=real(y);subplot(212)plot(w,y);title(y);2 置Y1=conj(Y)并将Y1的逆傅立叶变换存入Y1中，用real(y1)以确保y1是实的，用sound(y1,fs)将y1放出。已知的逆傅立叶变换是如何与联系的，能解释刚才听到的是什么吗？load splaty=y(1:8192);N=8192;fs=8192;Y=fftshift(fft(y);Y1=

9、conj(Y);y1=ifft(fftshift(Y1);sound(y1,fs);w=(-pi:2*pi/N:pi-pi/N)*fs;plot(w,y1);答：刚才听到的是y信号反过来放的声音。 的CTFT可以用它的幅值和相位写成 式中。对于许多信号，单独用相位或幅值都能构造出一个有用的信号的近似。例如，考虑信号和，其CTFT为 3.只要是实信号，用解析方法说明和一定是实的。解：因为即y(t)=又因为是实信号故和一定是实的。4.构造一个向量Y2等于Y的幅值，并将Y2的逆傅立叶变换存入向量y2中，用sound放出这个向量。load splaty=y(1:8192);N=8192;fs=8192

10、;Y=fftshift(fft(y);sound(y,fs);w=(-pi:2*pi/N:pi-pi/N)*fs;Y2=abs(Y);y2=ifft(fftshift(Y2);sound(y2,fs);plot(w,y2);5.构造一个向量Y3，它有与Y相同的相位，但是幅值对每个频率都等于1。并将Y3的逆傅立叶变换存入向量y3中，用sound放出这个向量。load splaty=y(1:8192);N=8192;fs=8192;Y=fftshift(fft(y);sound(y,fs);w=(-pi:2*pi/N:pi-pi/N)*fs;Y3=Y./abs(Y);y3=ifft(fftshif

11、t(Y3);sound(y3,fs);plot(w,y3);6.根据刚才听到的这两个信号，代表一个声音信号你认为傅立叶变换的那个部分是最关键的：幅值或相位？答：相位是最关键的。 7.用向量y创建一个向量y4，它包含有本该以8192Hz从采样所得到的样本。load splaty=y(1:8192);N=8192;fs=8192;sound(y,fs);y4=y(1:2:8192);sound(y4,fs);w=(-pi:2*pi/N:pi-pi/N)*fs;w4=(-pi:2*pi/(N/2):pi-pi/(N/2)*(fs/2);subplot(211)plot(w,y);title(y);s

12、ubplot(212)plot(w4,y4);title(y4);8.用y4=sound(y4,fs)放出y4。利用比较y4的傅立叶变换与y的傅立叶变换，能说明在高音上的变化吗？信号压缩是如何影响它的傅立叶变换的？load splaty=y(1:8192);N=8192;fs=8192;sound(y,fs);y4=y(1:2:8192);sound(y4,fs);Y=fftshift(fft(y);Y4=fftshift(fft(y4);w=(-pi:2*pi/N:pi-pi/N)*fs;w4=(-pi:2*pi/(N/2):pi-pi/(N/2)*(fs/2);subplot(211)pl

13、ot(w,Y);title(Y);subplot(212)plot(w4,Y4);title(Y4);信号在时域中压缩（a1）等效于在频域中扩展。9创建向量x，它由下式给出 注意，x是一个长度为2*N的向量。load splaty=y(1:8192);N=8192;fs=8192;sound(y,fs);j=1;for i=1:2:(2*8192) x(i)=0; x(i+1)=y(j); j=j+1;end10.利用函数filter完成在x上的线性内插。这里要用到的线性内插器的单位冲激响应是h=1 2 1/2。load splaty=y(1:8192);N=8192;fs=8192;soun

14、d(y,fs);j=1;for i=1:2:(2*8192) x(i)=0; x(i+1)=y(j); j=j+1;endh=1 2 1;a=2;y=filter(h,a,x);11.用sound(y5,fs)放出y5。用比较y5和y的傅立叶变换，能解释在音调上的变化吗？load splaty=y(1:8192);N=8192;fs=8192;sound(y,fs);j=1;w=(-pi:2*pi/N:pi-pi/N)*fs;w5=(-pi:2*pi/(N*2):pi-pi/(N*2)*(fs*2);for i=1:2:(2*8192) y5(i)=0; y5(i+1)=y(j); j=j+1

15、;endsound(x,fs);Y=fftshift(fft(y);Y5=fftshift(fft(y5);subplot(211)plot(w,Y);subplot(212)plot(w5,Y5)4.3连续时间傅立叶变换的符号计算1定义符号表达式x1和x2代表下面连续时间信号： 需要用函数Heaviside来表示单位阶跃函数。x1=sym(Heaviside(t)*0.5*exp(-2*t);x2=sym(Heaviside(t)*exp(-4*t);2 对于1中所定义的和，用解析方法计算它们的CTFT在的值，即（不应该先求来作这道题）CTFT在的值是怎样与时域信号关联的？clc; syms

16、 tx1=sym(Heaviside(t)*0.5*exp(-2*t);x2=sym(Heaviside(t)*exp(-4*t);fx1=simple(int(x1, t, -inf, inf);fx2=simple(int(x2, t, -inf, inf);31所定义的信号中，哪一个在时域衰减得更快？根据这一点，你能预期在频域哪一个衰减得更快？x1=sym(Heaviside(t)*0.5*exp(-2*t);x2=sym(Heaviside(t)*exp(-4*t);subplot(211);ezplot(x1,-1:5);axis(-1,5,-0.1,0.8)subplot(212)

17、;ezplot(x2,-1:5);axis(-1,5,-0.1,1.2)X2在时域衰减得更快,X1在频域衰减得更快.4 用函数fourier计算和得CTFT。定义x1和x2是由fourier产生的符号表达式。用ezplot产生和的幅值图。这些图能对2和3中的答案进行确认吗？syms t w;x1=sym(Heaviside(t)*0.5*exp(-2*t);x2=sym(Heaviside(t)*exp(-4*t);fw1=fourier(x1,t,w);fw2=fourier(x2,t,w);ffw1=maple(convert,fw1,piecewise);ffw2=maple(conve

18、rt,fw2,piecewise);ffp1=abs(ffw1);ffp2=abs(ffw2);subplot(211);ezplot(ffp1,-100:100);axis(-20,20,-0.1,0.3);title(fourier(x1);subplot(212);ezplot(ffp2,-100:100);axis(-20,20,-0.1,0.3);title(fourier(x2);5定义符号表达式y1代表下面连续时间信号： 它可以作为两个Heaviside函数之差。y1=sym(Heaviside(t+2)-Heaviside(t-2);6.用解析方法求的CTFT，。syms t

19、w;y=sym(Heaviside(t+2)-Heaviside(t-2);F=int(y*exp(-1i*w*t),t, -inf, inf);ezplot(F,-4*pi:4*pi);axis(-4*pi 4*pi 0 5)title(fourier(y1);7定义符号表达式y2表示信号。你能像对y1那样用两个Heaviside函数之差来完成，或者恰当地对y1应用subs。syms t w;y1=sym(Heaviside(t+2)-Heaviside(t-2);y2=subs(y1,t-2,t);fw=fourier(y2,t,w);ffw=maple(convert,fw,piecew

20、ise);ffp=abs(ffw);ezplot(ffp,-4*pi:4*pi);axis(-4*pi 4*pi 0 2.5)title(fourier(y2);8利用fourier求y1和y2的CTFT，并将它们存入Y1和Y2中。倘若Y1不是你所期望得到的表达式，那么试试在所得表达式上用simple以便得出更为熟悉的形式。syms t w;y1=sym(Heaviside(t+2)-Heaviside(t-2);y2=subs(y1,t-2,t);Y1=fourier(y1,t,w);Y2=fourier(y2,t,w);9用ezplot产生和的幅值图。比较这两张图情况如何？由这两个信号在时

21、域之间的关系能预测到这个结果吗？syms t w;y1=sym(Heaviside(t+2)-Heaviside(t-2);y2=subs(y1,t-2,t);Y1=fourier(y1,t,w);fY1=maple(convert,Y1,piecewise);fpY1=abs(fY1);Y2=fourier(y2,t,w);fY2=maple(convert,Y2,piecewise);fpY2=abs(fY2);hold onezplot(fpY1,-4*pi:4*pi);ezplot(fpY2,-4*pi:4*pi);axis(-4*pi 4*pi 0 4.5)10 下面几部分的CTFT

22、。将写成和两个信号之和。将选为因果信号，选为反因果信号，即。用解析方法计算的CTFT，。syms t w;v1=sym(exp(-2*t)*Heaviside(t);v2=sym(exp(2*t)*Heaviside(-t);v=v1+v2;vf=int(v*exp(-i*w*t),t, -inf, inf);ezplot(vf,-10:10);11 用fourier求v的CTFT的符号表达式V。这个表达式等效于在10中用解析法求得的表达式吗？syms t w;v1=sym(exp(-2*t)*Heaviside(t);v2=sym(exp(2*t)*Heaviside(-t);v=v1+v2

23、;vf=fourier(v,t,w);vw=maple(convert,vf,piecewise);vp=abs(vw);ezplot(vp,-10:10);12 定义f是信号的符号表达式，用fourier定义F是f的CTFT的符号表达式。注意，F中含有一个未被求值的积分。这个未被求值的积分对所有值都收敛吗？syms t a w;f=sym(exp(-a*t)*Heaviside(t);F=fourier(f,t,w);当a=0时此未被求值的积分不收敛。13用subs设置F1中的值等于5，然后在这个置换的结果应用simple。所得结果是所期望的吗？syms t a w;f=sym(exp(-a*t)*Heaviside(t);F=fourier(f,t,w);F1=simple(subs(F,5,a);