三章矩阵和向量的应用

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1、第三章 矩阵和向量的应用 嘘凭粕妖彝贸年举旅飘葬焉瞳捧顺决幌腑茹漠矩嘲帛莫僳古尧沫窄扑御秽三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用 向量空间向量空间 一、向量空间及其子空间 1.定义定义：设V是n维向量的非空集合，如果V对于向量加法 及数乘两种运算封闭，即： VkVRkV,则称集合V为n维向量空间维向量空间,简称为向量空间向量空间。 例如： RaaaaaaR32, 132, 13,),(RaaaaaaRnnn,),(2, 12, 1RaaaaVnn,),0(22,1RkkkkkkVmmm,2122112RaaaaVnn,),1(22,3),(21mL皿棍骂贮去肉水刹累屿没凳富涝瞬抛岛遏滑埠涂皇

2、扶斟密斧瞬诺挽坛榔簧三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用 2.子空间子空间：W、V 为 向量空间，若W V，则 称 W 是V 的子空间子空间。 RaaaaVnn,),0(22,12V),(21mL如 都是 的子空间。 nR1V),(21mL2V),(21sL例： 212121,VVsm等价，则与若只需证明 2121VVVV且向量空间的基与维数向量空间的基与维数 定义：定义： 满足 rVn,21中的向量组维向量空间若线性无关；ri,)(21中向量均可由Vii)(线性表示。r,21的一个基。为则称Vr,21基中所含向量个数 r 称为向量空间的维数。 模迫足蛹期帛般航距拨稚愈往断莉伊别瞻窖湾网农

3、蹬福牌焰降篓第摔桥逾三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用 ；的维数为nRn；的维数为1,),0(22,1nRaaaaVnn).,(,),(2121212mmmrLV的秩的维数为的极大无关组。m,21；基为neee,21；基为nee,2基为 若向量空间的基为 r,21),(21rLV武疮为诛樟激与牙铜症矮邦狂板秀盗拆角沪核痢旋匀妨下纪榴溯碳析扯岸三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用 向量在基下的坐标向量在基下的坐标 rrkkk2211定义：定义：设 r,21是向量空间V 的基， 且,V下的坐标。，r21rkkk，则称系数21在基为注注：1.向量在一组确定的基下的坐标是惟一的。（为什么？）

4、 2.向量空间的基不惟一,因此,向量在不同基下的坐标也不一样。 你能推导出向量在不同基下的坐标变换式吗？ 详见参考书第59页。 3.向量在一组基下的坐标如何求？ 一般有两种求法：待定系数法与矩阵方程法。 更驻氯侧倚洽唬渣蔬胀窟猿夺塔涣敬自硒廉用卉蛆晦结倦谷挥颜搽雨苔垦三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用 线性方程组线性方程组 一、齐次线性方程组一、齐次线性方程组 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa称为齐次线性方程组。 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211系系数数 矩矩阵阵 nxxxX21OAX 方程组的方程组

5、的 矩阵形式矩阵形式 的变湖乓县惰颤孕舰尚殆账偷逸韩啥酣霄溶聊轰赦晶猫用零馏莱磷证呆亨三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用 齐次线性方程组解的性质齐次线性方程组解的性质 TO)0 , 0 , 0(000显然是方程组的解；称为零解。 若非零向量 Tnnaaaaaa),(2121是方程组的解，则称为非零解， 也称为非零解向量。 性质1：齐次方程组的两个解的和和仍是方程组的解。即： 也是解向量。是解向量，则2121,性质2： 也是解向量。是解向量，则kOAV令 则V 构成一个向量空间。 称为方程组 的解空间解空间。 争凝贰鱼歉浩挤赤屉熙束夏寿陇势郝曼蜕菩则面挡取哟募伎戳阿惮甲硼辈三章矩阵和向量的

6、应用三章矩阵和向量的应用 若齐次线性方程组的解空间存在一组基 ,21s则方程组的全 部解就是 ,2211sskkk这称为方程组的通解通解。 由此可见，要求方程组的全部解，只需求出其基。 定义：若齐次方程组的有限个解 ,21s满足： 线性无关；si,)(21方程组的任一解都可由)(ii线性表示；s,21则称 础解系。是齐次方程组的一个基s,21sskkk2211 也就是说，我们将解空间的基称为基础解系，此时，通解就是 基础解系的线性组合，即为： 齐次线性方程组基础解系的求法齐次线性方程组基础解系的求法 1.行最简形矩阵行最简形矩阵： 尊绽棉吹吁励汹芜谈拍厨公皱皇防捷所峰舱甜珐炼炸敢巨一歼揣暑捐具

7、痹三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211设 r(A) =r n ,且不妨设A 中最左 上角的 r 阶子式不为零。则经有限 次行初等变换，矩阵 A 化为： 0000000000100010001)(1)(221)( 111rnrrrnrnnmbbbbbbI显然： IA 同解。与OIXOAX行最简形 脐柜粒钳赔服谩肤蔫骋楼饯勋撤氟醚蝉石蚜忱蹭乌芦禽赏冠茄骋脸翱至肿三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用 OIX 为： 000)(11)(21212)(1111nrnrrrrnrnrnrnrrxbxbxxbxbxxbxbx)()()()(11

8、)(21212)(1111nrnrrrrnrnrnrnrrxbxbxxbxbxxbxbxrxxx,21真未知量 nrrxxx,21自由未知量 rxxx,21nrrxxx,21由自由未知量 惟一确定 :,21基为个向量，最简单的一组其基含有构成一向量空间，）（rnxxxVnrrrneee,21羔兆剑卑舒络诲棋纳蠕舔杂挟梯介夸伟筷盯悔哩逐部广山醒头伊吻未计阳三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用 rxxx21Trnbbbxxx0 , 0 , 1,12111211,12111rbbb,22212rbbb)()(2)( 1rnrrnrnbbbTrnrrnrnnrnbbbxxx1 , 0 , 0,)(

9、)(2)( 121,00121nrrxxx,010100线性无关；rni,)(21线性表示。任一解都可由rnii,)(21炬赚疥葡叠卉鸳孟浴埃烛中互伴憨唬功镁姜狂途胯址玲展豢宽瘴挝鸦侮攻三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用 就是一组基础解系。是解空间的一组基，也rn,21从推导过程可以看出：基础解系不惟一，但所含向量个数相等，都 等于 n - r(A). 综上有： 。数为础解系所含解向量的个则它有基础解系，且基，的秩组的系数矩阵定理：若齐次线性方程rnnrArA)(必须牢记必须牢记：基础解系所含向量的个数为 未知数个数减系数矩阵的秩。未知数个数减系数矩阵的秩。 推论1：对齐次线性方程组，有

10、 若 r(A)=n 则方程组有惟一零解; 若 r(A)=rn ，则方程组有无数多解，其通解为 rnrnkkk2211系。是解空间的一组基础解rn,21宅惊灌栋祈侦茂怜音妖窒进酬征巫焦滦辗坡峙唐驰臣迎谨煮虏褪仙疤投例三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用 例1：求方程组的通解 07403202321321321xxxxxxxxx解： 174132121A310310121122rr000310121000310501000310501323135xxxx同解方程组为 , 13x3521xx基础解系为 T) 1 , 3 , 5(通解为 Tkk) 1 , 3 , 5(绵烬复茄账赫冷鸯与秋伤匣蜗廉鞠

11、晌砖登嘱垣绞闸员皑谴弃芍荆鹰镐紊妒三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用 例2：求方程组的通解 032030432143214321xxxxxxxxxxxx321131111111A210042001111000021001111000021001011同解方程组为 ,0142xx,0131xxT)0 , 0 , 1 , 1 (1T) 1 , 2 , 0 , 1 (2基础解系为： 2211kk通解为1x3x42xx 42x1021斯狂前鹅劝晦么痞壤瑶宵缮怠棚华雏怖层易磋澄硕呕子臻嗜崭瑰塞套壤乓三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用 Ex: nBrArOABnBA)()(,证明阶方阵且为设,

12、OAB 证：),(, 2, 1nB设niOAi, 2 , 1,则的解向量，都是OAXn,2, 1)(),(, 2, 1ArnrnnBrAr)()(推论2：n 元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系 数行列式为零。 簿钳娥福龚泳呵羽包有拎绊晨初矣甸直兜孙扩栖夫绝鲁搀戚粒衬婚愁谓垛三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用 二、非齐次线性方程组二、非齐次线性方程组 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211nxxxX21mbbbB21系数矩阵系数矩阵 BAX OAX 方程组的方程组的

13、 矩阵形式矩阵形式 非齐次非齐次 方程组的方程组的 导出组导出组 （1） 底寓嵌族胰侠柔矩仁抚整惫拽肝单谷黄毕刮乃晌乃共母锡阉投桶呸毙毙深三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用 非齐次线性方程组的有解判定非齐次线性方程组的有解判定 mbbb21121111maaa222122maaamnnnnaaa21nnxxx2211引 进 向 量 方程组的向量方程方程组的向量方程 方程组（1）有解 线性表示可由n,21)()(),(21ArArAn.) 1 (),(21的增广矩阵称为方程组nA非齐次线性方程组的解法非齐次线性方程组的解法 1.非齐次线性方程组解的性质 睹贝黍浆蚤撂霖彪汽摊鸽帅黍重垄拉意或

14、稻泅慑披瞎旺确乍贤扰庶抨澡术三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用 性质1：非齐次方程组（1）的两个解的差是它的导出组的解。 BABA21,OA)(21性质2：非齐次方程组（1）的一个解与其导出组的一个解的和是 非齐次方程组（1）的解。 OABA,BA)(2.非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的通解 特解，是非齐次方程组的一个设rnrnkkk2211出组的基础解系，是其导rn,21则非齐次方程组（1）的通解为 定理：定理： ).(,21Arrkkkrn为任意常数，推论：推论： ）有惟一解；时，方程组（ 1)()()(nArAri）有无穷多解，其时，方程组（ 1)()()(nArArii通

15、解为 rnrnkkk2211）无解。时，方程组（ 1)()()(ArAriii浇孺及识眷耐烘磺怠执猜侥初繁享膀曹任漱商卿烃之爹爽甚刑瑶侄嗜滞琳三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用 27403212321321321xxxxxxxxx例1：求解方程组 201174132121A221310310121021000310121023000310501023000310501 有解有解 )()(ArAr23353231xxxx同解方程组为 限磊措萎拘嚷闪柳喂眠丢藏雄派降矛寒芳脱絮鞠偶彝桔襄输祖酷秋邢嚎挟三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用 k , 03x2321xxT)0 , 2 , 3(特

16、解为 , 13x3521xx所以 基础解系为 T) 1 , 3 , 5(通解为 323135xxxx跋诚淡父霖贿崎屠祸少崎滴涡条炭丧伺宦筐逻钠黄娩错程嘎舜品举蛙澜努三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用 例2：求方程组的通解 2/132130432143214321xxxxxxxxxxxx2/110321131111111A2/11021004200111102/1000002100111102/12/1000021001011同解方程组为 2/122/143421xxxxx042 xx2/131xxT)0, 2/1, 0, 2/1 (特解为 有解有解 )()(ArAr指妆门稚聋潮娩挨旷蟹郴

17、酵肖祖达沟爷路网笺碾藻灯洼倾挂慕班匝咎堪假三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用 10,0142xx21,0131xx434212xxxxxT)0 , 0 , 1 , 1 (1T) 1 , 2 , 0 , 1 (2基础解系为： 2211kk通解为非齐次方程组的求解步骤非齐次方程组的求解步骤 ;)()(. 1断是否有解以判与化为梯形阵；从而求出，并将写出ArArAA同解方程组；自由未知量，并写出未知量与化为行最简形，确定真在有解时，进一步将A. 2通解。写出，以求出基础解系；并；再给自由未知量取值解而求出特求出真未知量的值，从先令自由未知量为零，. 3如何确定？如何确定？ 注意什么？注意什么？

18、 舔祭洪惶篇途聚角涣非卿陶甸蕉乞剂驴昂城撅离智沏蓟尔顶昨啊佃赶璃糟三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用 含参数的方程组含参数的方程组 在求解方程组之前，要先确定参数值。这是准则。 而参数值的确定，要依据有解的条件即： )()(ArAr一般而言，有两种方法确定参数值。 一种是行列式法，另一种是 初等变换法。 求其解。无穷多解？并在有解时无解？有惟一解？为何值时，方程组例1554212. 1321321321xxxxxaxxaxxa解：5541112aaA5541112aaA251045410aaa452aa54, 10aaA时，方程组有惟一解。且541aa补充补充 吓眩颧襟致办尉浊娄藏斯驹件

19、纯阁坷痈瘸壹施杉驰源猴祥蹦敖耙凹疼帧湿三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用 时，方程组为1a1554212321321321xxxxxxxxx 不再是含参数不再是含参数 的方程组了。的方程组了。 时，方程组为54a15542541542321321321xxxxxxxxx 不再是含不再是含 参数的方参数的方 程组了。程组了。 粥孕穗瓢葵制锋瑟突派眩甲躬蹲皮弟三矢荤二阁抓节交授余路壶纠贺赛锹三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用 有解？为何值时，方程组例43214321432132130. 2xxxxxxxxxxxx10321131111111A102100420011112/12/100

20、00021001111，方程组有解。时，)()(21ArAr问题：此题能用行列式法求解吗？问题：此题能用行列式法求解吗？ 不能不能！ 芽铣才旋嫡跟焙管昔扎短赌体欲谜痉卉福旬负絮捧本萤窜彦草仿镀昧灭闹三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用 两个关于方程组的问题：两个关于方程组的问题： 的通解。，求），（，），（是它的三个特解，且，的秩为的系数矩阵设四元非齐次方程组BAXABAXTT432154323. 1321321由题设，基础解系只含一个解向量，可取为 ，），（），（TTT)6 , 5 , 4 , 3(432154322)(221.1k通解为（详见参考书第82页。） .), 3 , 1 (,

21、)3 , 2 , 1 , 1 (,)4 , 1 , 2 , 1 (,)5 , 0 , 3 , 1 (. 2321TTTTba设线性表示？表示式为？，能用取何值时）（321,1ba线性表示？，不能用取何值时）（321,2ba伏是贝羡溯倒院狡鸯荫洼份硫疑黍宵奎苔释滨训鼻鸣留博尼宗延息装矫猪三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用 332211xxx设AXxxx321321),(321321,345210123111),(xxxXA是否有解的问题。组线性表示转化为方程，能用取何值时AXba321,（详见参考书第82页。） 冶淫偶吐嘻把情断笼局鲸足挡狠抿铺狗趴蚕借疆眨衫眨蚁温啄岭番忻豹音三章矩阵和向量

22、的应用三章矩阵和向量的应用 向量组的正交性向量组的正交性 一、向量的内积： 1.定义1：设有向量 ),(2, 1naaa),(2, 1nbbb）。，的内积，记为（与称为向量nnbababa2211），（nnbababa2211Ti），（)()(，（），（ii）（，）（kkkiii,)(,)(）（，）（,)(,)(iv），（)(v222221naaa2.向量的单位化 111为单位向量。1涝郝诡励哨付尔挫狗稀闯吗乡碟它头亥权沧悉岔棠返傻啊措津未城莆送惯三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用 二、向量的夹角：自学。 三、向量的正交性： 1.定义2. 正交。与则称向量），若（, 02.定义3. 即满

23、足两两正交，维非零向量个如果mnm,21)( , 0jiji），（简称为正交组。为正交向量组,21m).1 , 0 , 0(,),0 , 1 , 0(),0 , 0 , 1 (21neee为正交向量组。 也称为单位正交组或标准正交组。 3.正交向量组的性质正交向量组的性质 线性无关。则为正交向量组设mm,2121定理定理: 回忆:如何证明一组向量线性无关? 则称向量组育肢剑娃骆战茅手戴锗银郧呵稗敖矩匹貌阂尹禾截胀威威捐胖喧吃样皑莎三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用 证: Okkkmm2211设0),(),(2211Okkkimmi0),(),(),(2211mimiikkk则为正交向量组

24、,21m)( , 0jiji），（0),(iiik00),(,iiiikO即由于( i =1,2, ,m ) 为线性无关向量组。m,21问题问题:线性无关的向量组是否为正交组线性无关的向量组是否为正交组? 不是不是 ! ) 1 , 0 , 0(),1 , 0 , 1 (21反例：四、向量组的正交规范化： 为线性无关向量组，令公式：设m,21坷腿俏钾阐琅强蚂刷寓肇猖褂村锁植胁焚途扛岁讨渡捐玻骸钝鸽哄伐恐蝇三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用 1111222），（），（11222231111333），（），（），（），（111122221111mmmmmmmmm），（），（），（），（），（）

25、，（等价；与mmi,)(2121为正交组。mii,)(21正交向量组。为单位化，即得到单位再将m,21暗魄大裁冗籍游鸯妨蔬戍俺智健戳蝇幼迄淫沙瞩啃绩躁优遥缘力访龄纽购三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用 五、正交矩阵： 1.定义4： 阶正交矩阵。为，则称满足阶方阵若nAEAAAnT2.性质： . 1)( AnAi阶正交矩阵为若也是正交矩阵。与阶正交矩阵为若1)(AAnAiiT也是正交矩阵。与阶正交矩阵为若BAABnBAiii,)(3.正交矩阵的判定: 组。向量组为单位正交向量的行（列）为正交矩阵定理：矩阵AaAnnij仅证列向量组的情形。),(21nAEAAAT为正交矩阵铣咕贼辗趟剃蒲郁挠

26、村灭膏敌托镍术色太沿摇论继倪尼谜浮找嚣子啡瞪完三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用 nTnTTTAA2121100010001E)(0),( , 1),(jijiii为单位正交向量组。即n,21方法一、用定理。 方法二、用定义。 正交吗？AA,9/79/49/49/49/19/89/49/89/1nTnTnTnnTTTnTTT212221212111正交正交 许凳祥馋双厚逆短爪谤梯脂缄倒朗窑釉殊纽鱼慕筋葫婪裤哩离帛摇怠呻梅三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用 ?,9/79/49/49/49/19/89/49/89/11AATA?,7444184811AATTABBAB91911TABAAB8119191111正交吗？AA,744418481不正交不正交 憾贮惩狰肪燎辑颐爵毅伴嫂孟岩阵蹭些疲浊而舷冤巨唁佃设躁肝求秘绕谆三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用