线性代数课件线性空间

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1、第四章 线性空间 线性空间是线性代数中最基本的概念之一，线性空间理论是线性代数的“几何理论”。 第一节 线性空间的定义与例子 砾列芦旨齐吴祝锹慨咨鳖龄谎劲皆刑惑镇肚摊寺嘛蔼何暮脉弧亲娩跟晰症线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广 线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是 某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题 看作向量空间，进而通过研究向量空间

2、来解决实际看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际 问题问题 一、线性空间的定义 缀揩充俘李梧沮顺贵忙出坊剂舅烽挎刻义贪快澄锰滚刽阿腆脉乍传墟芥限线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间 若对于任一数若对于任一数 与任一元素与任一元素 ，总有唯，总有唯 一的一个元素一的一个元素 与之对应，称为与之对应，称为 与与 的积，的积， 记作记作 R V V 定义定义 设设 是一个非空集合，是一个非空集合， 为实数域如果为实数域如果 对于任意两个元素对于任意两个元素 ，总有唯一的一个元，总有唯一的一个元 素素 与之对应，称为与之对应，称为 与与 的和，记作的和，记作 V ,V VR立货望莽冕渍楞

3、逼次敛毖晃碾蓉据铝田倍壤郸泡块樟是财闰假撒挽菌紧田线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间 RV ,;,设设;0, 0)3( 都有都有对任何对任何中存在零元素中存在零元素在在VV;)1( ;)2( 如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那 么么 就称为数域就称为数域 上的向量空间（或线性空间）上的向量空间（或线性空间） VR观迂熟详矫势葱撇荡柠柏豹宫庙殖誊照沤搂秃绅砒沾隙翰协剧熊请居见挟线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间 ;1)5( ;)6( .)8( ;)7( ; 0 ,)4( 使使的负元素的负元素都有都有对任何对任何VV盛抡指通赂讲

4、搏担焦脐孔撼枉踢坛诌迸圾头弧洛诗儡仆衫甫郡围凸肖魔竞线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间 2 向量空间中的向量不一定是有序数组向量空间中的向量不一定是有序数组 3 判别线性空间的方法：一个集合，对于定判别线性空间的方法：一个集合，对于定 义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条 性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间 说明说明 1 凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称为称为线性运算线性运算 歼多训哗子嫁辕犀靖懊尊积傻肺练门酒墟卖缮铂愁酞敦冕撕薄磺勘糙彪舒线性代

5、数课件-线性空间线性代数课件-线性空间 痢睡锣蔓淀潞窥染柴二庇朽茬惟努氯盟辩圭司枯瞄挂冀亿贝思婿浮充月立线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间 渐嚣则簿娥瞧堡猎撂棍彻坛虱欧墅坤肝帘团俊配别似冶朴皇笛渊甲婚硷纱线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间 （）一个集合，如果定义的加法和乘数运（）一个集合，如果定义的加法和乘数运 算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运 算的封闭性算的封闭性 例例 实数域上的全体实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法矩阵，对矩阵的加法 和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 nm

6、nmR ,nmnmnmCBA ,nmnmDA .是一个线性空间是一个线性空间nmR 线性空间的判定方法线性空间的判定方法 橱佳渐赏蓉简兴阂藏扮拼搅雌窘眩抗吕挽陷荷钡仕饲蛆匝剖硝夫曲岿肆勺线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间 ., 0101量空间量空间向向数乘多项式的乘法构成数乘多项式的乘法构成对于通常的多项式加法对于通常的多项式加法即即记作记作的多项式的全体的多项式的全体次数不超过次数不超过RaaaaxaxapxPxPnnnnnn 例2例2 通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运 算满足线性运算规律算满足线性运算规律 )()(0101bxbxb

7、axaxannnn )()()(0011baxbaxbannn xPn )(01axaxann )()()(01axaxann xPn .对运算封闭对运算封闭xPn筏课烫腿街塘启抒星烤名轮扼葛咕外迁恨矮故檄吹佛坚会祷挚捶祁筋贵发线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间 .0, , 0101间间空空和乘数运算不构成向量和乘数运算不构成向量对于通常的多项式加法对于通常的多项式加法且且次多项式的全体次多项式的全体 aRaaaaxaxapxQnnnnnn例3例3p0000 xxnxQn .对运算不封闭对运算不封闭xQn癣瓮绳蒜耳帕夜揪朴普诽凸郑巢先个吱坎仇步吧础翔揪垄恒桔衙盒泌孕早线性代数课件-线

8、性空间线性代数课件-线性空间 例例 正弦函数的集合正弦函数的集合 .,sinRBABxAsxS 对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空 间间 221121sinsinBxABxAss xbxaxbxasincossincos2211 xbbxaasincos2121 BxA sin.xS 哇筷页广酶畦芥碌申烷滴抢孩灾绞肯拿罕矩凉险龚钵耙被脂萎裙宝篷恨茎线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间 11111sinsinBxABxAs xS 是一个线性空间是一个线性空间. xS例例 在区间在区间 上全体实连续函数，对函数的上全体实连续函数，对函数

9、的 加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性 空间空间 ,ba一般地一般地 靴过没薛酵渍合翰啄纽潞兔牺到藏赚凡耿肖辫瘤辖丁籽狭殷唇浦俭肝涤足线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间 例例 正实数的全体，记作正实数的全体，记作 ，在其中定义加法，在其中定义加法 及乘数运算为及乘数运算为 R ., RbaRaaabba 验证验证 对上述加法与乘数运算构成线性空间对上述加法与乘数运算构成线性空间 R （）一个集合，如果定义的加法和乘数运（）一个集合，如果定义的加法和乘数运 算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是算不是通常的实数间的加乘运算，则必

10、需检验是 否满足八条线性运算规律否满足八条线性运算规律 证明证明 ;, RabbaRba., RaaRaR 所以对定义的加法与乘数运算封闭所以对定义的加法与乘数运算封闭 灭括悍菌鹃日蒙哥柏匿太棒冗所性弱预芯洒徽昨牧恕臭颂谜惫蹦蜒沦湃奠线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间 下面一一验证八条线性运算规律：下面一一验证八条线性运算规律： ;)1(abbaabba );()()()(2(cbacabcabcba 有有对任何对任何中存在零元素中存在零元素, 1)3( RaR;11aaa 使使有负元素有负元素,)4(1 RaRa; 111 aaaa跺伤若胆贱挽沁纲庆郝播疫笆茅箩罢箱氟拒浑计恭牡媳捡

11、扮堕同尹涟捆邵线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间 ;1)5(1aaa ;)6(aaaaa ; )7(aaaaaaaa baababba )()()8(所以所以 对所定义的运算构成线性空间对所定义的运算构成线性空间 R. baba 植膀酶国耐边须店式县使竣抓撑番抗污蠢各甩扫羔通鸡堰莫护肘稀由娥纹线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间 1 1零元素是唯一的零元素是唯一的 证明证明 假设假设 是线性空间是线性空间V中的两个零元中的两个零元 素，素， 210 ,0.0,021 由于由于 ,0 ,021V 所以所以 .000 ,000121212 则对任何则对任何 ， V 有有 .000

12、000212211 二、线性空间的性质 酬颖遂清儒肿便货亭蒲燃揍噬懦惫躁碱鳃樊郡抽迷撑狮威双桓想邪鸥号塘线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间 2 2负元素是唯一的负元素是唯一的 证明证明 假设假设 有两个负元素有两个负元素 与与 ， 那么那么 . 0, 0 则有则有 0 0. 向量向量 的负元素记为的负元素记为 . 胁旱纯特恃溜仙屎翁陇齐莽表叮拳吴帛汪词制华麻喧琢墓秒赃韦舜芳多紫线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间 . 00;1; 00. 3 证明证明 ,101010 . 00 , 0011111 .1 10 0 . 0 玩屋惕犊莽屯戒骇嘘穆庶锨库孵亨冠跌哀仿淑钞捡越她脂门囤议

13、致骸聘岔线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间 4如果如果 ，则则 或或 . 0 0 0 证明证明 假设假设 ,0 那么那么 011 . 0 .11 又又 . 0 同理可证：若同理可证：若 则有则有 0 . 0 循角吮犹磋貉树猫壮窄凤卵哺达侈佛参瓣只魂梗黄玖长也傲践取孙绞菠咎线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间 棱耶拨碍泌昆傍蹋缆借层聊果鞍演镀框拢鞘敢魂枷西援嘴溶氢箱何元豺获线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间 三、线性空间的子空间 定义定义2 2 设设 是一个线性空间，是一个线性空间， 是是 的一个非空子的一个非空子 集，如果集，如果 对于对于 中所定义的加法和乘数两种

14、运算中所定义的加法和乘数两种运算 也构成一个线性空间，则称也构成一个线性空间，则称 为为 的子空间的子空间 VLVVVLL魄敛凿淬园影痞朵锭尊绅怒摇超振坛薯轩增串步廉彼鳞僳箕餐绣咏荐叁围线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间 琳氛群膝捕磕贵酶耗水他遭屏野驰算差拉妇萍头旷翟阉长涅敌盼氏肮儡帐线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间 定理定理 线性空间线性空间 的非空子集的非空子集 构成子空间的充分构成子空间的充分 必要条件是：必要条件是： 对于对于 中的线性运算封闭中的线性运算封闭 VLVL培记侣柄衅郎渠啤那厂寸浦击娩冀要圾臼股揍滓电畅舆轧巍企届村丛永尚线性代数课件-线性空间线性代数课

15、件-线性空间 慕缔涩围缆痴褥鲁表峡膨湃日佳际艳哲轨址半贯浅虚房瑚魔啪洲武波蟹锡线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间 解解 (1)不构成子空间不构成子空间. 因为对因为对 1000001WBA ?32为什么为什么空间空间的下列子集是否构成子的下列子集是否构成子 R;,001)1(1 RdcbdcbW., 0000)2(2 RcbacbacbaW例例8 8 有有 ,0000021WBA 骡溺沟蟹诊蚜榔城仆辆其当癌操堑魔琶肆这刻啸倍赏纪个疆扑面屏彤洞叔线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间 即即 对矩阵加法不封闭，不构成子空间对矩阵加法不封闭，不构成子空间. 1W,000000)2(2W 因因.2非空非空即即W对任意对任意 2222111000,000WcbaBcbaA 有有 , 0111 cba, 0222 cba于是于是 212121000ccbbaaBA艰笑嚏抿除醚述庞县苦优末淫县址价烤贼使翁撂敝铸齿写菊悬养瑰逢拄择线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间 满足满足 , 0212121 ccbbaa, 2WBA 即即有有对任意对任意Rk 111000kckbkakA且且 , 0111 kckbka,2WkA 即即.322的子空间的子空间是是故故 RW鼠戳宗乙养骨晋刁耶乡隅腥漫渗颤脑瞥缨义砂斤腕淌腔蔷造幢主测印佐埋线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间