控制系统的时域数学模型

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1、2-1控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型1、线性元件的微分方程、线性元件的微分方程2、控制系统微分方程的建立、控制系统微分方程的建立3、线性系统的基本特性、线性系统的基本特性4、线性定常微分方程的求解、线性定常微分方程的求解5、非线性微分方程的线性化、非线性微分方程的线性化数学模型：数学模型：描述系统输入，输出变量以及内部各描述系统输入，输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。变量之间关系的数学表达式。静态数学模型静态数学模型：变量的各阶导数为：变量的各阶导数为0。动态数学模型动态数学模型：变量的各阶导数不为：变量的各阶导数不为0。 分类分类动态数学模型动态数学模型 微分方程微分

2、方程差分方程差分方程状态方程状态方程传递函数传递函数结构图结构图频率特性频率特性时域中常用时域中常用 频域中用频域中用 复数域中用复数域中用 建立数学模型的方法建立数学模型的方法：解析法、实验法。：解析法、实验法。电阻、电容、电感(补充)RCL+)(tui(t)u(t)= i (t)R)(tui(t)i(t)=dttduC)(u(t)=C1i(t)dti(t)(tu+u(t)=Ld i (t)dti(t)=dttuL)(1+i(t)=Rtu )(1、线性元件的微分方程、线性元件的微分方程RLC无源网络无源网络(P21),(P21),弹簧质量阻尼器弹簧质量阻尼器(P22)(P22) )t (u)

3、t (Ridt)t )iCdt)t (diLi1 dt)t ( iC)t (uo1)t (u)t (udt)t (duRCdt)t (udLCiooo 22 maF牛顿定律方向见图外力),t (F. 1相反方向与比弹簧恢复力与位移成正)t (x),t (kx. 2相反方向与成正比阻尼器阻力与位移速度)t (x,dt)t (dxf. 322dt)t (xda 加速度22dt)t (xdmdt)t (dxf)t (kx)t (F )t (F)t (kxdt)t (dxfdt)t (xdm 22电枢控制直流电机(P22)aaaaaaE)t (iRdt)t (diL)t (u ：电枢回路电压平衡方程电

4、枢反电势：)t (CEmea 电磁转矩方程：)t (iC)t (Mamm ：电机轴上转矩平衡方程)t (M)t (M)t (fdt)t (dJcmmmmm 电机轴上总的转动惯量 mJ系数电机轴上总的粘性摩擦 mf)t ()CCfR(dt)t (d)JRfL(dt)t (dJLmemmammamamma 22)t (MRdt)t (dML)t (uCcacaam 可得下式：忽略aL)t (MK)t (uK)t (dt)t (dTcammm21 电机的时间常数 mT电机的传递系数 1K减速器(P23)两个啮合齿轮的线速度相同，传送的功率相同两个啮合齿轮的线速度相同，传送的功率相同2211 rr22

5、11 MM2121ZZrr 齿数与半径成正比12ZZi 速比为输出的微分方程：为输入以21 ,)t (i)t (ZZ)t (112121 （1） 确定系统的输入变量和输出变量。确定系统的输入变量和输出变量。2、 控制系统微分方程的建立控制系统微分方程的建立 一个系统通常是由一些环节连接而成一个系统通常是由一些环节连接而成的，将系统中的每个环节的微分方程求出的，将系统中的每个环节的微分方程求出来来 ，便可求出整个系统的微分方程。，便可求出整个系统的微分方程。列写系统微分方程的一般步骤：列写系统微分方程的一般步骤： 根据各环节所遵循的基本物理规律，分根据各环节所遵循的基本物理规律，分别列写出相应的

6、微分方程，并构成微分方别列写出相应的微分方程，并构成微分方程组。程组。（2） 建立初始微分方程组。建立初始微分方程组。 将与输入量有关的项写在方程式等号右将与输入量有关的项写在方程式等号右边，与输出量有关的项写在等号的左边。边，与输出量有关的项写在等号的左边。（3）消除中间变量，将式子标准化。）消除中间变量，将式子标准化。uiR1负负载载SMTGk1k2功功放放u2u1uautcR2R1R1R+m etiuk)uu(ku:1111 运放)udtdu(ku:11222 运放23:ukua功放ccammmmMkukdtdT: 直流电机mi: 1齿轮系 ttku:测速发电机ccigigmMkukdt

7、dukdtdT 负载扰动力矩 cM位置随动系统原理图位置随动系统原理图(补充补充)W1负载负载W2urucu放大器放大器电机电机减速器减速器测速电机测速电机uutua操纵手柄操纵手柄r m c m m c c r r +_+_SMTGJ L fLW1W2EuutuuaRaLaifZ1Z2放大器放大器操纵手柄操纵手柄测速电机测速电机电机电机负载负载电位器对电位器对减速器减速器r r c c 方块图的绘制W1W2+_+_SMTGJ L fLEuutuuaRaLaifZ1Z2放大器放大器m c r r c )()()(maxtktEtuccc )()()(tututucr dttdktumtt)()

8、( )()(ttkcr )()(tuktuaa )()()(22tukdttddttdTammmm )(1)(titmc )()()(maxtktEturrr 位置随动系统位置随动系统结构图绘制结构图绘制)()()(tututut u操纵手柄操纵手柄W1JLfLW2uruc放大器放大器电机电机减速器减速器测速电机测速电机uutuam m c c r 3、 线性系统的基本特性线性系统的基本特性叠加性和均匀性（或齐次性）叠加性和均匀性（或齐次性） 对线性系统进行分析和设计时，如果有几对线性系统进行分析和设计时，如果有几个外作用同时加于系统，则可以将它们分别处个外作用同时加于系统，则可以将它们分别处

9、理，依次求出各个外作用单独加入时系统的输理，依次求出各个外作用单独加入时系统的输出，然后将它们叠加。出，然后将它们叠加。4、线性微分方程的求解、线性微分方程的求解方法方法 解析法解析法拉普拉斯变换拉普拉斯变换步骤：步骤：1、将系统微分方程进行拉氏变换，得到以、将系统微分方程进行拉氏变换，得到以s为变为变量的代数方程。量的代数方程。2、解变换方程，求出系统输出变量的象函数表、解变换方程，求出系统输出变量的象函数表达式。达式。3、将输出的象函数表达式展开成部分分式。、将输出的象函数表达式展开成部分分式。4、对部分分式进行拉氏反变换，即得微分方程、对部分分式进行拉氏反变换，即得微分方程的全解。的全解

10、。r(t) =(t), c(0) = c(0) = 0 + 2c (t) = r(t) +2d2c(t)dt2dc(t)dt 用一个例子来说明采用拉氏变换法用一个例子来说明采用拉氏变换法解线性定常微分方程的方法。解线性定常微分方程的方法。4、线性微分方程式的求解线性微分方程式的求解例例 已知系统的微分方程式，求系统的已知系统的微分方程式，求系统的 输出响应。输出响应。解：解：将方程两边求拉氏变换得：将方程两边求拉氏变换得：求拉氏反变换得：求拉氏反变换得：s2C(s) + 2sC(s) + 2C(s) = R(s)R(s) = 1 C (s) = s2 + 2s +21=(s+1)2 + 11c

11、(t) = e t sin t 输出响应曲线输出响应曲线 c(t)r(t)r(t)t0c(t)5、非线性微分方程的线性化、非线性微分方程的线性化 绝大多数物理系统在参数某些范围绝大多数物理系统在参数某些范围内呈现出线性特性。当参数范围内呈现出线性特性。当参数范围不加限不加限制时，所有的物理系统都是非线性的。制时，所有的物理系统都是非线性的。 对每个系统都应研究其线性特性和相对每个系统都应研究其线性特性和相应的线性工作范围应的线性工作范围。线性系统具有叠加性和齐次性。线性系统具有叠加性和齐次性。 叠加性：叠加性：x x1 1(t)(t)y y1 1(t)(t)x x2 2(t)(t)则则 y y

12、2 2(t)(t)x x1 1(t)+x(t)+x2 2(t) (t) y y1 1(t)+y(t)+y2 2(t) (t) y=xy=x2 2 二阶系统是非线性的二阶系统是非线性的因为它不满足叠加性因为它不满足叠加性齐次性：齐次性：为常数为常数 x(t)x(t)y(t)y(t)则则 x(t) x(t) y(t) y(t) y=mx+b y=mx+b 系统也不是线性的，因为它不满系统也不是线性的，因为它不满足齐次性。足齐次性。y=mx+b y=mx+b 对在工作点对在工作点(x(x0,0,y,y0 0) )附近作小范围附近作小范围变化的变量变化的变量x x和和y y而言，而言，则是线性的。则是

13、线性的。非线性系统非线性系统 设设又又 则则 x=xx=x0 0+ +x x y=yy=y0 0+ +y yy y0 0=mx=mx0 0+ +by y0 0+ +y=y=mx+b=y=mx+b =m=mx0+m+mx+b+by=my=mx x 大部分非线性系统在一定的条件下大部分非线性系统在一定的条件下可近似看成线性系统。可近似看成线性系统。y(t)=gx(t)y(t)=gx(t)线性化：线性化：设非线性元件为设非线性元件为: :系统的正常工作点为系统的正常工作点为x x0 0 有条件地把非线性数学模型有条件地把非线性数学模型近似处理成线性数学模型。近似处理成线性数学模型。 若非线性函数连续

14、，且各阶导数存若非线性函数连续，且各阶导数存在，可在工作点附近按泰勒级数展开在，可在工作点附近按泰勒级数展开.=g(x=g(x0 0)+)+ +dgdgdxdxx=xx=x0 0d d2 2g gdxdx2 2x=xx=x0 0(x-x(x-x0 0) )2 22!2!x-xx-x0 01!1! 当当(x- xx- x0 0) )小范围波动时，略去高于小范围波动时，略去高于一次的小增量项，方程可简化为一次的小增量项，方程可简化为 ： y(t)=g(xy(t)=g(x0 0)+)+dgdgdxdxx=xx=x0 0(x-x(x-x0 0) )=y=y0 0+m(x-x+m(x-x0 0) ) m

15、为工作点处的斜率。最后可改写为工作点处的斜率。最后可改写成下列线性方程：成下列线性方程：y=m=mx x(y-y(y-y0 0)=m(x-x)=m(x-x0 0) )或或 非线性系统的线性化步骤非线性系统的线性化步骤1）写出原始方程）写出原始方程2）将非线性函数线性化，并将增量符号）将非线性函数线性化，并将增量符号略略去，可得非线性函数的增量线性化方程。去，可得非线性函数的增量线性化方程。3）将非线性函数的增量线性化方程代入原）将非线性函数的增量线性化方程代入原始方程。始方程。解：解： 按泰勒级数展开为按泰勒级数展开为 dh(t)dh(t)dtdth(t)h(t)+a+a=q=qi i(t)(

16、t)Adh(t)dh(t)1 1= =q qi i(t)(t)dtdtA Ah(t)h(t)2A2A+ +a ah h0 0d d+ +dhdhh h0 0h h0 0= =h(t)h(t)h hd d2 2dhdh2 22!2!+1 1h h0 0(h-h(h-h0 0)+)+h h(h-h(h-h0 0) )2 2略去高于一次的增量项得略去高于一次的增量项得h h2 2+ +1 1h h0 0= =h h0 0h hd d+ +dhdhh h0 0h h0 0= =h(t)h(t)h hy(t)=h(t)h21y(t)0 为：线性化 处处理理非非线线性性函函数数例例 将液位控制系统非线性微

17、分方程线性化将液位控制系统非线性微分方程线性化.线性化处理中应注意以下几点：线性化处理中应注意以下几点：（1）必须确定系统处于平衡状态时各部）必须确定系统处于平衡状态时各部 件的工作点，在不同的工作点，非件的工作点，在不同的工作点，非 线性曲线的斜率是不同的。线性曲线的斜率是不同的。（2）线性化是以直线代替曲线，略去了）线性化是以直线代替曲线，略去了 式中二阶以上项，如果系统工作范式中二阶以上项，如果系统工作范 围较大，将带来较大误差，所以非围较大，将带来较大误差，所以非 线性数学模型的线性化是有条件的。线性数学模型的线性化是有条件的。（3）对于某些典型非线性系统，其非）对于某些典型非线性系统，其非 线性特性是不连续的，在不连续线性特性是不连续的，在不连续 点附近不能得出收敛的泰勒级数，点附近不能得出收敛的泰勒级数， 因而就不能进行线性化，只能采因而就不能进行线性化，只能采 用非线性理论进行分析处理。用非线性理论进行分析处理。典型非线性系统典型非线性系统 输出输出0输入输入近似特近似特性曲线性曲线(a)饱和非线性饱和非线性 真实特真实特性曲线性曲线输出输出0输入输入(b)死区非线性死区非线性 输出输出0输入输入(c)间隙非线性间隙非线性 输出输出0输入输入(d)继电非线性继电非线性