考研数学三试题及解析

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1、2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数的可去间断点的个数为 (A)1. (B)2. (C)3. (D)无穷多个.（2）当时，与是等价无穷小，则(A)，. （B），. (C)，. （D），.（3）使不等式成立的的范围是(A).(B). (C). (D).（4）设函数在区间上的图形为1-2O23-1 1则函数的图形为(A)O231-2-11 (B)O231-2-11(C)O231-11 (D)O231-2-11（5）设均为2阶矩阵，分别为的

2、伴随矩阵，若，则分块矩阵的伴随矩阵为(A). (B). (C). (D).（6）设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且，若，则为(A). (B). (C). (D).（7）设事件与事件B互不相容，则(A). (B). (C). (D).（8）设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为，记为随机变量的分布函数，则函数的间断点个数为(A)0. (B)1. (C)2. (D)3.二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9） .（10）设，则 .（11）幂级数的收敛半径为 .（12）设某产品的需求函数为,其对应价格的弹性，则当需求量为10000件时，价格增加

3、1元会使产品收益增加 元.（13）设,，若矩阵相似于，则 .(14) 设，,为来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差，记统计量，则 .三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求二元函数的极值.（16）（本题满分10 分）计算不定积分 .（17）（本题满分10 分）计算二重积分，其中.（18）（本题满分11 分）（）证明拉格朗日中值定理，若函数在上连续，在上可导，则，得证.（）证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且.（19）（本题满分10 分）设曲线，其中是可导函数，且.已知曲

4、线与直线及所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的倍，求该曲线的方程.（20）（本题满分11 分）设,.（）求满足，的所有向量，.（）对（）中的任意向量,，证明,线性无关.（21）（本题满分11 分）设二次型.（）求二次型的矩阵的所有特征值.（）若二次型的规范形为，求的值.（22）（本题满分11 分）设二维随机变量的概率密度为（）求条件概率密度；（）求条件概率.（23）（本题满分11分）袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以、分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数.（）求；2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题和解析一、

5、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数的可去间断点的个数为：（ ）.1. 2 .3.无穷多个【答案】C 【解析】 则当取任何整数时，均无意义故的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是的解故可去间断点为3个，即（2）当时，与是等价无穷小，则（ ）.， . ， .， .，【答案】 【解析】为等价无穷小，则 故排除。另外存在，蕴含了故排除。所以本题选A。（3）使不等式成立的的范围是（ ）. .【答案】 【解析】原问题可转化为求成立时的取值范围，由，时，知当时，。故应选.（4）设函数在区间上的

6、图形为：1-2023-1O则函数的图形为（ ）.0231-2-11. 0231-2-11.0231-11.0231-2-11【答案】 【解析】此题为定积分的应用知识考核，由的图形可见，其图像与轴及轴、所围的图形的代数面积为所求函数，从而可得出几个方面的特征：时，且单调递减。时，单调递增。时，为常函数。时，为线性函数，单调递增。由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为。（5）设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若则分块矩阵 的伴随矩阵为（ ）. . .【解析】根据，若分块矩阵的行列式，即分块矩阵可逆故答案为（B）（6）设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且，若，则 为（ ）. . . .【答案

7、】 A【解析】，即：（7）设事件与事件B互不相容，则（ ）. . .【答案】 【解析】因为互不相容，所以，因为不一定等于1，所以不正确当不为0时，不成立，故排除只有当互为对立事件的时候才成立，故排除，故正确。（8）设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为，记为随机变量的分布函数，则函数的间断点个数为（ ）.0. 1 .2. 3【答案】 B【解析】独立（1）若，则（2）当，则为间断点，故选（B）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9） .【答案】【解析】 （10）设，则 【解析】由，故代入得，（11）幂级数的收敛半径为 【答案】【解析】由

8、题意知，所以，该幂级数的收敛半径为（12）设某产品的需求函数为,其对应价格的弹性，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元【答案】12000【解析】所求即为因为，所以所以将代入有。（13）设,，若矩阵相似于，则 【答案】2【解析】相似于，根据相似矩阵有相同的特征值，得到的特征值为3，0，0。而为矩阵的对角元素之和，。 (14) 设，,是来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差，记统计量，则 【答案】 【解析】由三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求二元函数的极值

9、。【解析】 故则而二元函数存在极小值（16）（本题满分10 分）计算不定积分 【解析】令得（17）（本题满分10 分）计算二重积分，其中.【解析】由得，（18）（本题满分11 分）证明拉格朗日中值定理，若函数在上连续，在上可导，则，得证.证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且.【解析】（）作辅助函数，易验证满足：；在闭区间上连续，在开区间内可导，且。根据罗尔定理，可得在内至少有一点，使，即（）任取，则函数满足；在闭区间上连续，开区间内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在，使得又由于，对上式（*式）两边取时的极限可得：故存在，且。（19）（本题满分10 分）设曲线，其中是可导函数，且.

10、已知曲线与直线及所围成的曲边梯形，绕轴旋转一周所得的立体体积值是绕曲边梯形面积值的倍，求该曲线方程。【解析】旋转体的体积为曲边梯形的面积为：，则由题可知两边对t求导可得 继续求导可得，化简可得，解之得在式中令，则，代入得。所以该曲线方程为：。（20）（本题满分11 分）设,求满足，的所有向量，.对中的任意向量,证明,线性无关。【解析】（）解方程 故有一个自由变量，令，由解得， 求特解，令，得 故 ，其中为任意常数 解方程 故有两个自由变量，令，由得求特解 故 ，其中为任意常数（）证明：由于 故 线性无关.（21）（本题满分11 分）设二次型求二次型的矩阵的所有特征值。若二次型的规范型为，求的值

11、。【解析】（） （） 若规范形为，说明有两个特征值为正，一个为0。则1) 若，则 ， ，不符题意2) 若 ，即，则，符合3) 若 ，即，则 ，不符题意综上所述，故（22）（本题满分11 分）设二维随机变量的概率密度为求条件概率密度求条件概率【解析】（I）由 得其边缘密度函数 故 即 （II）而（23）（本题满分11分）袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以、分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数。求.求二维随机变量的概率分布.【解析】（）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球 （）X

12、，Y取值范围为0，1，2，故 XY01201/41/61/3611/31/9021/9002010年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1) 若，则等于（A）0 （B）1 （C）2 （D）3(2) 设，是一阶线性非齐次微分方程的两个特解，若常数，使是该方程的解，是该方程对应的齐次方程的解，则（）（A） （B）（C） （D）(3) 设函数,具有二阶导数，且。若是的极值，则在取极大值的一个充分条件是（）（A） （B）（C） （D）(4) 设，,则当充分大

13、时有（）（A） （B）（C） （D）(5) 设向量组：可由向量组：线性表示，下列命题正确的是（A）若向量组线性无关，则 （B）若向量组线性相关，则（C）若向量组线性无关，则 （D）若向量组线性相关，则(6) 设为4阶实对称矩阵，且,若的秩为3，则相似于（A） （B）（C） （D）(7) 设随机变量的分布函数，则（A）0 （B） （C） （D）(8) 设为标准正态分布的概率密度，为上的均匀分布的概率密度，若为概率密度，则应满足（A） （B）（C） （D）二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 设可导函数由方程确定，则_.(10) 设位于曲线下方，轴上方

14、的无界区域为,则绕轴旋转一周所得空间区域的体积是_.(11) 设某商品的收益函数为，收益弹性为，其中为价格，且，则_.(12) 若曲线有拐点,则_.(13) 设，为3阶矩阵，且，则_.(14) 设，为来自整体的简单随机样本，记统计量，则_.三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分10分)求极限(16) (本题满分10分)计算二重积分，其中由曲线与直线及围成。(17) (本题满分10分)求函数在约束条件下的最大值和最小值(18) (本题满分10分)（）比较与的大小，说明理由（）设，求极限(19) (本题满分1

15、0分)设函数在上连续，在内存在二阶导数，且，（）证明：存在，使（）证明：存在，使(20) (本题满分11分)设，已知线性方程组存在2个不同的解（）求，（）求方程组的通解(21) (本题满分11分)设，正交矩阵使得为对角矩阵，若的第1列为,求，(22) (本题满分11分)设二维随机变量的概率密度为，,求常数及条件概率密度(23) (本题满分11分)箱内有6个球，其中红，白，黑球的个数分别为1，2，3，现在从箱中随机的取出2个球，设为取出的红球个数，为取出的白球个数，（）求随机变量的概率分布（）求答案解析（找了好久就只有这个网址）file:/C:/Users/hp/Desktop/%E5%A4%A

16、7%E4%B8%89%E4%B8%8B%E5%8D%8A%E5%AD%A6%E6%9C%9F/%E6%96%B0%E5%BB%BA%E6%96%87%E4%BB%B6%E5%A4%B9%20(2)/%E5%A4%A7%E4%B8%89%E4%B8%8A%E5%8D%8A%E5%AD%A6%E6%9C%9F/%E8%BF%91%E6%9C%9F/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%80%83%E7%A0%94%E7%9C%9F%E9%A2%98/2010%E5%B9%B4%E8%80%83%E7%A0%94%E6%95%B0%E5%AD%A6%E4%B8%89/2010%E5%B9%B4

17、%E8%80%83%E7%A0%94%E6%95%B0%E5%AD%A6%E4%B8%89%E7%9C%9F%E9%A2%98%E5%8F%82%E8%80%83%E7%AD%94%E6%A1%88-%E8%80%83%E7%A0%94-%E5%95%86%E5%9F%8E%E5%AD%A6%E7%BD%91.htm2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。(1) 已知当时，函数与是等价无穷小，则(A) (B) (C) (D) (2) 已知在处可导，且

18、,则(A) (B) (C) (D) (3) 设是数列，则下列命题正确的是(A) 若收敛，则收敛(B) 若收敛，则收敛(C) 若收敛，则收敛 (D) 若收敛，则收敛(4) 设, 则,的大小关系是(A) (B) (C) (D) (5) 设为3阶矩阵，将的第2列加到第1列得矩阵，再交换的第2行与第3行得单位矩阵记为，则(A) (B) (C) (D) (6) 设为矩阵, , 是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，,为任意常数，则的通解为(A) (B) (C) (D) (7) 设,为两个分布函数，其相应的概率密度, 是连续函数，则必为概率密度的是(A) (B) (C) (D) (8) 设总体服从参数的泊

19、松分布，为来自总体的简单随即样本，则对应的统计量，(A) (B) (C) (D) 二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 设，则_.(10) 设函数，则_.(11) 曲线在点处的切线方程为_.(12) 曲线，直线及轴所围成的平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积_.(13) 设二次型的秩为1，中行元素之和为3，则在正交变换下的标准型为_.(14) 设二维随机变量服从，则_.三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分10分)求极限.(16) (本题满分10分)已知函数具

20、有连续的二阶偏导数，是的极值，。求.(17) (本题满分10分)求(18) (本题满分10分)证明恰有2实根。(19) (本题满分10分)在有连续的导数，且，求的表达式。(20) (本题满分11分)设3维向量组，不能由，线性标出。求：()求；()将，由，线性表出.(21) (本题满分11分)已知为三阶实矩阵，且，求：() 求的特征值与特征向量；() 求(22) (本题满分11分) 已知，的概率分布如下：X01Y-101P1/32/3P1/31/31/3且，求：()的分布；()的分布；(). (23) (本题满分11分) 设在上服从均匀分布，由，与围成。求：()边缘密度；()。 试题答案 打开这

21、个网址是答案file:/C:/Users/hp/Desktop/%E5%A4%A7%E4%B8%89%E4%B8%8B%E5%8D%8A%E5%AD%A6%E6%9C%9F/%E6%96%B0%E5%BB%BA%E6%96%87%E4%BB%B6%E5%A4%B9%20(2)/%E5%A4%A7%E4%B8%89%E4%B8%8A%E5%8D%8A%E5%AD%A6%E6%9C%9F/%E8%BF%91%E6%9C%9F/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%80%83%E7%A0%94%E7%9C%9F%E9%A2%98/2011%E5%B9%B4%E8%80%83%E7%A0%94%

22、E6%95%B0%E5%AD%A6%E4%B8%89/2011%E5%B9%B4%E8%80%83%E7%A0%94%E6%95%B0%E5%AD%A6%E4%B8%89%E7%AD%94%E6%A1%88%EF%BC%88%E6%89%93%E5%BC%80%E8%BF%99%E4%B8%AA%E6%98%AF%E7%AD%94%E6%A1%88%EF%BC%89.htm2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线渐近线的条数为（）（A）0（B）

23、1（C）2（D）3（2）设函数，其中为正整数，则（A）（B）（C）（D）（3）设函数连续，则二次积分=（ ）（A）（B）（C）（D）（4）已知级数绝对收敛，条件收敛，则范围为（ ）（A）（B）（C）（D）（5）设其中为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ）（A） （B）（C） （D）（6）设为3阶矩阵，为3阶可逆矩阵，且，则（ ）（A） （B）（C） （D）（7）设随机变量与相互独立，且都服从区间上的均匀分布，则（ ）（A） （B） （C） （D）（8）设为来自总体的简单随机样本，则统计量的分布（ ）（A）（B）（C）（D）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指

24、定位置上.（9）_。（10）设函数，求_。（11） 函数满足，则（12） 由曲线和直线及在第一象限中所围图形的面积为？（13）设为3阶矩阵，,为的伴随矩阵，若交换的第一行与第二行得到矩阵,则_。（14）设是随机事件，互不相容，,则_。三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）计算（16）（本题满分10分）计算二重积分，其中D为由曲线与所围区域。（17）（本题满分10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x（件）和（y件），且固定两种

25、产品的边际成本分别为（万元/件）与（万元/件）。1）求生产甲乙两种产品的总成本函数(万元)2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本。3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。（18）（本题满分10分）证明：（19）（本题满分10分）已知函数满足方程及1）求表达式2）求曲线的拐点（20）（本题满分10分）设，（）求（）已知线性方程组有无穷多解，求，并求的通解。（21）（本题满分10分）三阶矩阵，为矩阵的转置，已知，且二次型。1）求2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。（22）（本题满分10分）已知随机变量以及的分布律如下表所示，X012P1/21/31/6Y012P1/31/31/3XY0124P7/121/301/12求：（1）；（2）与.（23）（本题满分10分）设随机变量和相互独立，且均服从参数为的指数分布，.求（1）随机变量的概率密度；（2）.以下是答案