ARMA模型的参数估计主要内容

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1、第六章 ARMA模型的参数估计主要内容6.1 AR(p)模型的参数估计问题: 已知的AR(p):,.(1.1)由去估计和.1. AR(p)模型的Yule-Walker估计自回归系数由自协方差函数惟一确定.白噪声的方差由决定.现获, , 则作(1) ;(2) ;(3) 只要不全同, 则正定, 得惟一, .实用中, Levinson递推公式(无需求逆, 快):(1)(2) ,.以上Yule-Walker估计的最大优点是:即最小相位(只要正定).定理1.1(参见18) 若独立同分布, , 则当时, 有(1) ;(2) (3) ,.由上(2)得: . (其中是中相应元素)置信水平0.95的渐近区间:.

2、2. AR(p)模型的最小二乘估计设是的估计, 称使残差的最小的为最小.记当正定时, 有惟一的.理论表明:,.即两种估计差别不大. 对二乘估计,也有大样本性质定理1.2若,独立同分布,是最小二乘估计, 则当时, 有3. AR(p)模型的最大似然法设模型的 , 则从而得关于的似然函数为通过解似然方程结果同最小二乘法.例1.1 设白噪声, 模型为分别用Yule-Walkey法和最小二乘法估计参数.结果见程序ese6_1_1.m4. AR(p)模型的定阶问题若偏相关系数, 则认为.以上结果由以下定理保证.定理1.3 若AR(p)中是独立同分布,则对任何, 有.为了检验, 可借助极限分布.定理1.4

3、若AR(p)中是独立同分布的, , 则对确定的, 有推论1.5 在定理1.4的条件下, 对, 有.(证明略见196页)故有95%的概率落在.因此取的估计可能较高.实际中, 常用AIC准则:(1) 分别取(上界或较大数); (2) 求AR(k)时的;(3) 计算 (4) 称为AIC定阶.注1: 一般(真), 并无, 即不相合;注2: 通常, 略高的阶数比低的阶数要好. 有利历史数据利用, 等.为克服不相合, 改用BIC(k)函数定阶.(上界)注3: 若是独立同分布的, 则BIC(k)是强相合的;注4: 当不大, BIC定阶偏低,会失真, 宜取AIC.5. AR(p) 模型的拟合检验设由已得, ,

4、 , 对残差: ,用4.3白噪声检验: 若符, 则认可, 并用于预测, 否则重估、改用MA(q), ARMA(p,q).6. AR(p)序列的谱密度的估计,代入.注5: 若是独立同分布的,是由AIC或BIC定阶的, 则一致收敛到.例1.2 取附录B7中的300个数据, 对AR模型的阶数分别为上界,解Y-W方程, 4截尾的. 所以用B7数据拟合出AR模型的阶数应为4, 即通常AIC定阶略高, 下图即为用以上模型产生的300个数据, 重复1000次中定阶的结果, 定阶有别. 但充分多数据和大数重复后, 定阶的情况很接近. 例1.3 对用B7数据拟合出的模型, 进行拟合检验.(1) 中心化: ;(2

5、) 计算残差:;()(3) 计算的自相关系数;(4) 计算卡方值: (假设是白噪声的统计量);(5) 计算临界值(6) 判断: 所有, 则不能拒绝残差是独立的白噪声的假设, 即认可.6.2 MA(q)模型的参数估计MA(1)模型: , .不难得: , 于是得: , 即,可解得: , (,时).估计值: ,(独立白噪声).1. 一般可逆MA(q)模型的矩估计及其计算若先知,则有及个非线性方程 ()反之, 若先知, 由上方程, 可解得.线性迭代法求解法:(1) 用求;(2) 初值: 任取(3) 迭代:(4) 停止: .(5) 检验可逆条件, 不满足, 重取初值, 重算.也可用3.1中的方法(MA(

6、q)的是截尾的)(1) 用求;(2) 作(3) 分别计算和其中:. 合理性由以下定理给出.定理2.1若MA(q)中是独立同分布的, 则当充分大后,几乎必然满足可逆条件.实用可逆充分条件是: .2. MA(q)模型的逆相关函数法简介想法: 视 MA模型AR模型, 故先求AR模型参数, 而后求MA模型参数, 即:AR(p)方法步骤:(1) 用,求,用AIC等法定出AR(p)的阶;(2) 取, 用Y-W方程确定;(3) 用引理2.2, 计算, 即(),(4) 利用Y-W方程和求得()和.3. MA(q)模型的新息估计方法简介设, ;则样本新息: ;预测均方差: ;前证可表: , 递推得,当较大时,

7、得: 新息的估计,由此对较大的, 得近似MA(q)模型从而有与比;合理的估计: ;具体的新息估计步骤:(1) 用, 取, 计;(2) 用递推公式 约定,(3) 取.方法的理论依据为定理2.3(18) 略.4. MA(q)模型的定阶方法(后截尾特点)(1) (2) AIC定阶1) 假设已获得的上界;2) 逐个计算MA(m)()的;3) 计算4) 比出最小值的最小作为的估计.5. MA(q)模型的拟合检验设由已得, , , 令 和 ,对, 声 若 为白噪声, 则认可模型, 否则重新估计拟合模型. 或改用AR(p), ARMA(p,q)例2.1设是3.1例1.1中197个化学浓度的数据, 对数据建立

8、MA(1)模型为拟合检验步骤:(1) 取;(2) 计算残差: 令,(3) 计算的自相关系数;(4) 计算是白噪声的统计量;(5) 计算临界值(6) 判断: 若所有, ,则不能拒绝残差是独立的白噪声的假设.模型通过检验.6. MA(q)序列的谱密度的估计把,代入得谱估计: .若参数是相合估计, 则是的相合估计.例2.2 模拟计算MA(2)模型.分别用(1) 矩估计方法;(2) 逆相关函数方法;(3) 新息估计方法;对来上述模型100个(或300个)数据进行参数估计.结果见程序tse6_2_2.m篇曹赏卡拭如叁按咳党您遏例吨连攘荤颂孤统雷憨蜀蓄鞋案犊袍毡馆碱视魏麦荚驻竖矽台乖独谓绰符甫钮氮淤浙寄盔

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