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1、高考数学二轮复习练习：专题限时集训09立体几何中的向量方法如图(1)，在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，点E为AD的中点，沿BE将ABE折起至PBE，如图所示，点P在平面BCDE上的射影O落在BE上.图(1) 图(2)(1)求证：BPCE；(2)求二面角BPCD的余弦值. 如图，在四边形ABCD中，ABCD，BCD=，四边形ACFE为矩形，且CF平面ABCD，AD=CD=BC=CF.(1)求证：EF平面BCF；(2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.如图，在三棱柱ABCDEF中，侧面ABED是边长为2的菱形，且ABE=
2、，BC=.四棱锥FABED的体积为2，点F在平面ABED内的正投影为点G，且点G在AE上，点M在线段CF上，且CM=CF.(1)证明：直线GM平面DEF；(2)求二面角MABF的余弦值. 如图，三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长均相等.D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点.(1)证明：EF平面A1CD；(2)若三棱柱ABCA1B1C1为直棱柱，求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD为矩形，AB=2，BC=2，点P在底面上的射影在AC上，E是AB的中点(1)证明：DE平面PAC；(2)若PA=PC，且PA与平面PBD所成的角的正弦值为，求二面角D
3、PAB的余弦值答案详解解：(1)证明：因为点P在平面BCDE上的射影O落在BE上，所以平面PBE平面BCDE，易知BECE，所以CE平面PBE，而BP平面PBE，所以PBCE.(2)以O为坐标原点，以过点O且平行于CD的直线为x轴，过点O且平行于BC的直线为y轴，直线PO为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B，C，D，P.所以=(1,0,0)，=，=，=(0,2,0).设平面PCD的法向量为n1=(x1，y1，z1)，则有，即，令z1=，可得n1=.设平面PBC的法向量为n2=(x2，y2，z2)，则，即，令z2=，可得n2=(2,0，).所以cosn1，n2=.考虑到二面角BPCD为钝角
4、，则其余弦值为.解：(1)证明：在梯形ABCD中，设AD=CD=BC=1，ABCD，BCD=，AB=2，AC2=AB2BC22ABBCcos =3.AB2=AC2BC2，BCAC.CF平面ABCD，AC平面ABCD，ACCF，而CFBC=C，AC平面BCF.四边形ACFE是矩形，EFAC，EF平面BCF.(2)由(1)知，以CA，CB，CF所成直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=CD=BC=CF=1，令FM=(0)，则C(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，M(，0,1)，=(，1,0)，=(，1,1)，设平面MAB的法向量为n1=(x，y，z)，则，即
5、，令x=1，则n1=(1，)，为平面MAB的一个法向量.易知n2=(1,0,0)是平面FCB的一个法向量，设平面MAB与平面FCB所成锐二面角为，则cos =.0，当=0时，cos 有最小值，点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，此时二面角的余弦值为.解：(1)证明：因为四棱锥FABED的体积为2，所以VFABED=22FG=2，所以FG=.又BC=EF=，所以EG=，易知AE=2，则点G是AE的靠近点A的四等分点.过点G作GKAD交DE于点K，连接FK，则GK=AD=CF.又MF=CF，所以MF=GK，又MFGK，所以四边形MFKG为平行四边形，所以GMFK，又FK平面D
6、EF，GM平面DEF，所以直线GM平面DEF.(2)连接BD，设AE，BD的交点为O，以OB所在直线为x轴，OE所在直线为y轴，过点O的平面ABED的垂线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0，1,0)，B(，0,0)，F，M，=(，1,0)，=，=.设平面ABM，平面ABF的法向量分别为m=(x1，y1，z1)，n=(x2，y2，z2)，则得不妨取x1=x2=1，则m=(1，1)，n=，所以cosm，n=，易知二面角MABF是锐二面角，故二面角MABF的余弦值为.解：(1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，ACA1C1，且AC=A1C1，连接ED，在ABC中，因为D，E分别为棱AB，
7、BC的中点，所以DEAC，DE=AC.又F为A1C1的中点，可得A1F=A1C1，所以A1FDE，A1F=DE，因此四边形A1FED 为平行四边形，所以EFA1D，又EF平面A1CD，A1D平面A1CD，所以EF平面A1CD.(2)法一：(几何法)因为底面ABC是正三角形，D为AB的中点，所以CDAB，又AA1CD，AA1AB=A，所以CD平面A1ABB1.如图在平面A1ABB1内，过点B作BGA1D，交直线A1D于点G，连接CG，则BG平面A1CD，所以BCG为直线BC与平面A1CD所成的角.设三棱柱的棱长为a，可得A1D=，由A1ADBGD，可得BG=，在RtBCG中，sinBCG=.所以
8、直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.法二：(向量法)设A1B1的中点为O，连接OC1，OD，因为三棱柱ABCA1B1C1为直棱柱，所以OD平面A1B1C1，所以ODOC1，ODOA1.又A1B1C1为等边三角形，所以OC1A1B1.以O为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设三棱柱的棱长为a，则O(0,0,0)，B，C，A1，D(0，a,0).所以=，=，=.设平面A1CD的法向量为n=(x，y，z)，由，得.设x=2，解得n=(2,1,0).设直线BC与平面A1CD所成的角为，则sin =.所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.解：
9、(1)证明：在矩形ABCD中，ABBC=1，且E是AB的中点，tanADE=tanCAB=，ADE=CAB.CABDAC=90，ADEDAC=90，即ACDE.由点P在底面ABCD上的射影在AC上，可知平面PAC平面ABCD，且交线为AC，DE平面PAC.(2)记AC与BD的交点为O，PA=PC，且O是AC的中点，POAC.平面PAC平面ABCD，PO平面ABCD.取BC的中点F，连接OE，OF，底面ABCD为矩形，OEOF.以O为坐标原点，分别以OE，OF，OP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0)，B(1，0)，D(1，0)设P(0,0，a)，则=(1，a)设平面PBD的法向量为c=(x1，y1，z1)，又=(2,2，0)，=(0,0，a)，则有令x1=，得y1=1，平面PBD的一个法向量为c=(，1,0)由=，得a=1.设平面PAD的法向量为m=(x2，y2，z2)，又=(2,0,0)，=(1，1)，则有令y2=1，得z2=，m=(0,1，)设平面PAB的法向量为n=(x3，y3，z3)，又=(0,2，0)，=(1，1)，则有令x3=1，得z3=1，n=(1,0,1)cosm，n=，二面角DPAB的余弦值为.
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