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1、张清新 矩阵的可交换空间的多项式表示的等价条件矩阵的可交换空间的多项式表示的等价条件张清新（数学与应用数学系 指导老师：杨忠鹏）摘要：钱微微文章钱微微,蔡耀志.论矩阵可交换的充要条件.大学数学,2007，23（5）给出了与给定矩阵可交换的矩阵可表示为的多项式的充要条件。本文指出这个结果是错误的，并分析了产生错误原因，利用已有文献结论，本文把与给定矩阵可交换的矩阵可表示为的多项式构同为9个等价条件。关键词：矩阵可交换 标准型 块 多项式Abstract: The article of Weiwei QianWeiwei Qian,Yaozhi Cai. A Discussion of Neces
2、sary and Sufficient Conditions for the Exchange Matrix.2007,23(5) gives the necessary and sufficent conditions that the exchange matrix with a given matrix can be expressed as polynomial.This paper points out that the result of the above article is wrong,and analysis the cause of the errors.Through
3、the conclusions of the existed,the paper make the exchange matrix with a given matrix can be expressed as polinomial conformate with nine equivalent conditions.Keyword: Exchangeable matrix Jordan standard Jordan block Polynomial0 符号说明 多项式的次数 空间的维数 复数域上行列矩阵全体 矩阵的最小多项式 矩阵的特征多项式 矩阵的可交换空间 矩阵的多项式空间 阶特征值为
4、的块1 引言 矩阵可交换是代数中相当重要的内容，矩阵运算与普通数域的代数运算有很大的差别，最为重要的差别就是矩阵运算一般不满足交换律。若两矩阵满足，则就具有重要的性质，如同时可上三角化(见文献2)。由于它的重要性，引起了一系列的问题，近年来，越来越多的学者和专家开始从事对矩阵交换的性质和可交换条件的研究.大家可以发现数量阵是与一切矩阵可交换，任意矩阵都与其多项式矩阵可交换。在文献1中，作者研究了命题任意矩阵都与其多项式矩阵可交换的逆命题，其主要结论为:一个矩阵化为约当标准型 后，若中没有纯量矩阵的约当块，那么与可交换的矩阵其充要条件为是的次多项式:本文首先举例说明钱微微文章中主要结论的错误，并
5、从理论上证明其错误，然后从矩阵的内部结构 标准型出发，讨论矩阵为什么情况时，给出并证明了与等价的八个命题。定义1.1(见文献3) 一个矩阵称为非减次矩阵，是指的每个特征值的几何重数为1 定义1.2 阶矩阵的可交换空间定义1.3 阶矩阵的多项式空间定义1.4 (见文献4) 形式为的矩阵称为块，其中是复数。 2 关于钱微微文章的讨论 2.1 钱微微文章的主要结论钱微微文章先对块进行分类，在标准型中的块有三种类型：1），互不相同且都是的特征值。2），为任意实数，它也是的特征值，而且是多重根。3），为任意实数，它也是的重特征值。在此分类基础上文献1给出了以下命题：命题1（见文献1定理2） 一个矩阵化为
6、约当标准型后，若中没有纯量矩阵的约当块,那么与可交换的矩阵其充要条件为可化为的次多项式，即 该命题也可表示为：一个矩阵化为约当标准型后，若中没有纯量矩阵的约当块,那么.2.2 钱微微文章主要结论的反例对于命题1我们可举一例如下，例1 设 , ,所以,故与可交换A化为约当标准型为，其约当块有两块,都属于上述约当块分类的，故都不属于约当块，所以矩阵都满足命题1的前提，故由命题1可知可化为的次多项式，即可化为的3次多项式，即存在，使得,变形得，即但是因为 ,则=与矛盾。这说明虽然与可交换，但是不能表示为的3次多项式因此例1说明文献1的主要结论命题1是错误的。2.3 钱微微文章证明过程的错误 首先我们
7、引入钱微微文章对于命题1的证明。引理2.3.1 (见文献1引理2) 当矩阵为对角阵 ,即 ,且互不相同时 ,与它可交换的 矩阵必可表示成 的 次多项式。引理2.3.2 (见文献1引理3) 当为约当块矩阵，即时，与其可交换的矩阵也可写成的 次多项式。命题1（见文献1定理2） 一个矩阵化为标准型后，若中没有纯量矩阵的块,那么与可交换的矩阵其充要条件为可化为的次多项式，即证明 对于与可交换的矩阵应满足的方程中,若将化成标准型,其中为满秩阵为标准型. 将代入上面方程,得若令，则方程化成.这就表明:要求的可交换矩阵,可先求的标准型的可交换矩阵,则与可交换的矩阵由于本定理的前提中表明标准型中没有型（纯量矩
8、阵块）,型块由引理2.3.1即知与可交换的矩阵可表示为的次多项式. 对于型块,由引理2.3.2即知与可交换的矩阵也必可表示为的次多项式. 由定理条件现在只有这两种类型的块,所以与可交换的矩阵必可表示为的次多项式,那么与可交换的矩阵必为。这就证明了在定理前提下与可交换矩阵的充要条件为.以上是文献1对于命题1的证明，其证明时误以为与标准型可交换的矩阵都是与分块形式相同的准对角型。实际上，若中存在两个块的特征值相同的话，则与可交换的矩阵未必都是与分块形式相同的准对角型，如下例：例2 设，其中，则存在与可交换的矩阵，为非准对角型。 证明 设与具有相同的分块 因为，即即比较以上两矩阵的元素可得，由文献可
9、得，令不全为零时，则，故为非准对角型。其次文献1对于块的分类有些不合理，与已有的通行做法存在这差异，根据文献4知块一般分为一级块和多级块，其实就是个不同的一级块，是个相同的一级块，是一个的多级块。 实际上一个阶矩阵化为标准型后，中没有纯量矩阵的矩阵是十分普遍，由命题1可得矩阵满足是十分普遍的，若矩阵满足，则必满足，我们由文献5知，由文献6知,由此可得若矩阵满足，则必满足，我们知道这类矩阵是极为特殊的，所以命题1与实际有着极大的差别。因此，钱微微文章的断言是错误的，其实在过去的一些教材与文章都曾散落一些结论有关为什么情况时，但并未引起注意。 通过大量的学习与调研，在对一些文献结论归纳总结，本文得
10、到了与等价的8个命题。3、中每个矩阵都是的多项式的判别3.1 预备知识引理3.1.1 (见文献8引理1)设，分别是阶块，其特征值不相等，若,则。证明 设，由，得比较以上两矩阵的元素可得，由由；由由递推过程可以看出：，故。引理3.1.2 (见文献8引理4) 设为给定的阶块，则与的可交换矩阵具有形式 证明 设，因,化简得即 得 对照可得； 故引理3.1.3 (见文献3定理3.2.4.1)设是给定的非减次矩阵，则。 证明 任取,则必成立，所以,任取，设是的标准型。如果，那么且,如果能够证明，那么。因此，只要假定本身就是一个矩阵就可以了。因为是非减次的，所以假定 ，其中，是的个不同的特征值，如果把写成
11、的上述形式相同的分块形式，那么的相应非对角子块具有形式 ，。因为特征值和是不同的，根据引理3.1.1,可以得出是这些方程的唯一解，因此矩阵必须是分块对角矩阵 ，其中每个，交换性假设是说，对于所以,有如果记，其中 ，那么这些恒等式变成，i=1,2,，k,。由于的特殊形式,根据引理3.1.2可以得出每个必须是具有Toeplitz形式的上三角矩阵，即 ，（*）其中沿着各对角线的诸元素取常值。如果可以构造楚一些次数至多是所谓多项式，且具有性质：对所有，而，那么将满足。定义 ，的次数=,由此可见，对所有有，这是因为。显然不一定等于，可是它是非奇异矩阵（因为诸是各不相同的），且像关于的任一个多项式那样，具
12、有形式（*）。因为形如（*）的任意非奇异矩阵的逆具有同一形式，有因为这种形式的任意两个矩阵的乘积还是同一形式，所以矩阵 是具有Toeplitz形式（*）的上三角矩阵，每个这样的矩阵可以写成关于的一个多项式，例如因此，存在一个次数至多是的多项式，使得 =，如果现在令，的次数至多是n-1 ，如果，则，所以，故,则，综上所述，。引理3.1.4(见文献6引理2) 设和为阶矩阵的特征多项式和最小多项式，则=当且仅当的所有初等因子两两互素或的初等因子组仅由一个次数为的初等因子构成。 引理3.1.5(见文献7) 矩阵的最小多项式是的特征多项式的一个因式，即，且是的最后一个不变因子。 引理3.1.6 (见文献
13、7) 设是一个准对角矩阵，的最小多项式为，i=1,2,s,那么的最小多项式 引理3.1.7(见文献7) 阶若当块的最小多项式为。引理3.1.8(见文献7)设阶矩阵，则矩阵的多项式空间的维数等于矩阵A最小多项式的次数，即且。 证明 设，则为的一组基。先证它们线性无关，否则若存在不全为零的数使 这与为的最小多项式矛盾。再任取 ,下证可由线性表出。事实上，任取，存在，使 =+ ，其中或 ，若，则，当然可由线性表出。若， ，不妨设 = ，则 ， 综上所述，=，因为，故。引理3.1.9 (见文献9定理3和文献5推论) 对于给定矩阵，则且，其中为矩阵的不同特征值的个数，表示第个特征值的块个数，表示第个特征
14、值第个块的阶数。 3.2 等价条件定理 设矩阵，则以下命题等价1)2）为阶全阵环的交换子环3)4）的不变因子为5）的所有初等因子两两互素6）7）8）9) 矩阵是非减次矩阵证明 “12”因且为阶全阵环的交换子环，故为阶全阵环的交换子环。“23” 假设，由引理3.1.4知至少有一对不互素的初等因子（不妨设） ，即且不妨设的标准型为这样从 得 ， 令 ，对任意的,则。因此 和 都是在中，由 及 知,即此时是不可交换的，这就证明了为阶全阵环的交换子环时，。“34”因， 根据引理3.1.5 可得，则=，因，对照可得所以， 即证得的不变因子为“45” 因的不变因子为设为的个不同的特征值，则=其中 则矩阵的
15、初等因子为因为当时，则与互素，即的所有初等因子两两互素。“56” 的所有初等因子两两互素，由引理3.1.8知，故，又因，所以。 “67”根据引理3.1.8 可得，因，则。“73” 根据引理3.1.7 可得，因，则，根据引理3.1.5可得，又因，所以。“39” 因，且，故设为的个不同的特征值，则可分解为=其中，根据引理5知矩阵的最小多项式= ，又因为，且，所以则矩阵的初等因子为可得矩阵的若当标准型为其中，是的个不同的特征值， ，根据标准型可得的每个特征值的重数为1，则为非减次矩阵。“83” 假设，由引理3.1.4知至少有一对不互素的初等因子（不妨设） ，即且，所以对于特征值至少存在两个块，则因为
16、对于任意的,当时，则 (其中为矩阵的不同特征值的个数，表示第个特征值的块个数，表示第个特征值第个块的阶数。)由引理9可得与已知矛盾。所以。“91”由引理3.1.3可得。“18” 因，则，根据引理3.1.9可得，根据引理3.1.8可得,故。由“”可得命题“1)” “2)” “3)” “4)” “5)” “6)” “7)” “9)”均等价，由“”可得“1)”“3)” “8)” “9)”均等价，根据等价的传递性知以上9个命题均等价，证毕。结束语本文首先举例说明文献1的主要结论关于矩阵可交换性不正确,再从理论上找出文献1主要结论出现错误的原因，然后从矩阵的内部结构 标准型出发，讨论矩阵为什么情况时，给
17、出并证明了与等价的8个命题。实际上大家可以发现在等价的9个命题中，有许多的等价或充分或必要条件零星的散落在一些文章中，9个等价条件从本质上看就是为非减次矩阵，从外观上就是矩阵的最小多项式的次数为。也许还有更多的等价条件，但它们的根源是一样。致谢首先非常感谢杨忠鹏教授抽出大量的时间对我进行论文指导，并在指导过程中提出了大量行之有效的意见和建议，在他的悉心指导和不断的鼓励下使得本文顺利完成。而在整个过程中我受益良多，不仅拓广了知识面，而且提高了解题的严谨度，同时感受到了杨教授勤奋治学，刻苦钻研的精神，而杨教授严谨的治学态度已深深的影响了我。所以，在此，谨向杨教授表示衷心的感谢和崇高的敬意！同时，对
18、给予我大量帮助的数学系的各位老师和领导表示衷心的感谢！参考文献1钱微微,蔡耀志.论矩阵可交换的充要条件J.大学数学,2007，23（5）:143-146.2曾梅兰.线性变换及矩阵可交换的性质与应用J.孝感学院学报，2006，26（3）:44-45.3（美）合恩（Horn,R.A）等著杨奇译.矩阵分析M.北京：机械工业出版社，2005.4.王萼芳,石生明.高等代数（第三版）M.北京：高等教育出版社，2003.5金辉.与方阵可交换的矩阵空间结构的探讨J.数学理论与应用，2001，121（3）:40-44.6杨忠鹏.关于“方阵中心化子的几个性质”的注记J.衡阳师专学报,1994，（6）:60-64.7李师正.高等代数解题方法与技巧M.北京:高等教育出版社,2004.8唐建强.与可交换的矩阵空间的维数J.河北师范大学学报，1997，21（1）:23-25.9程正东 吴波 王圣东.n阶矩阵的可交换空间的维数J.工科数学,2000,16（4）:18-122.10张禾瑞.高等代数（第四版）M.北京：高等教育出版社，1997.11徐仲等.高等代数（北大第三版）导教导学导考M.西安：西北工业大学出版社，2004.15
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