高等数学教案ch3中值定理与导数的应用

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1、高等数学教案迎中值定理与导数的应用第三章中值定理与导数的应用教学目的：1、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2、 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。3、 会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。4、 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。5、 知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。6、 知道方程近似解的二分法及切线性。教学重点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理；2、函数的极值，判断函数的单调性和求函数极值的方法；3、函数图

2、形的凹凸性；4、洛必达法则。教学难点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用；2、极值的判断方法；3、图形的凹凸性及函数的图形描绘；4、洛必达法则的灵活运用。3 1中值定理一、罗尔定理费马引理设函数f(x)在点xo的某邻域U(xo)内有定义 并且在xo处可导 如果对任意x U(xo)有f(x) f(xo)(或 f(x) f(xo)那么f (xo) o罗尔定理 如果函数y f(x)在闭区间a, b上连续 在开区间(a, b)内可导 且有f(a) f(b)那 么在(a, b)内至少在一点使得f ( ) 0简要证明(1)如果f(x)是常函数则f (x) 0定理的结论显然成立(2)如果f(x)不是常函数

3、 则f(x)在(a b)内至少有一个最大值点或最小值点不妨设有一最大值点 (a b)于是f ( ) f ( ) lim f(x) f( ) 0Xxf ( ) f ( ) lim f(x) f( ) 0xx所以 f (x)=0.罗尔定理的几何意义二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函数 内至少有一点(a b)使得等式f(x)在闭区间a b上连续 在开区间(a b)内可导 那么在(a b)f(b) f(a) f ( )(b a)成立拉格朗日中值定理的几何意义f(b) f(a) () b a重庆三峡学院高等数学课程建设组定理的证明引进辅函数令(x) f(x) f(a) fbf) (x a)容易

4、验证函数 可导且f(x)适合罗尔定理的条件(a) (b) 0(x)在闭区间a b上连续在开区间(a b)内(x) f (x)根据罗尔定理可知在开区间(a b)内至少有一点f(b) f(a)b a使()0即f(b)由此得ff(a) f ()b a即f(b) f(a) f ( )(b a)定理证毕f(b) f(a) f ( )(b a)叫做拉格朗日中值公式这个公式对于b0或x0)或 x x x ( x0)应用拉格朗日中值公式得f(x x) f(x) f (x x) x (0 1)如果记f(x)为y则上式又可写为y f (x x) x (0 1)试与彳分d y f (x) x比较d y f (x)x

5、是函数增量y的近似表达式 而f (x x)x是函数增量y的精确表达式作为拉格朗日中值定理的应用我们证明如下定理定理 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零那么f(x)在区间I上是一个常数证在区间I上任取两点xi x2(xix2)应用拉格朗日中值定理就得f(x2) f(xi) f ( )(x2 xi)(xi x2)由假定f ( ) 0所以f(x2) f(xi) 0即f(X2)f(X1)因为X1 X2是I上任意两点所以上面的等式表明f(x)在I上的函数值总是相等的这就是说f(x)在区间I上是一个常数例2证明当x 0时 ln(1 x) x1 x证 设f(x) ln(1 x)显然f(x)在区间0 x上

6、满足拉格朗日中值定理的条件根据定理就有f(x) f(0) f ( )(x 0) 0 x。1由于f(0) 0 f (x) L 因此上式即为 1 xln(1 x)人又由0 x有ln(1 x) x1 x三、柯西中值定理设曲线弧C由参数方程X F(x)Y f(x)(a x b)那么在曲线C上必表示 其中x为参数 如果曲线C上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线有一点x使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB曲线C上点x 处的切线的斜率为dY _f_(J dX F()弦AB的斜率为f(b) f(a)F(b) F(a) 于是f(b) f(a)f ()F(b) F(a) F ()柯西中值定理如果函数f(x

7、)及F(x)在闭区间a b上连续 在开区间(a b)内可导且F (x)在(a b)内的每一点处均不为零那么在(a b)内至少有一点 使等式f(b) f(a)f ()F(b) F(a)F ()成立显然 如果取F(x) x那么F(b) F(a) b a F (x) 1因而柯西中值公式就可以写成f(b) f(a) f ( )(b a) (a b)这样就变成了拉格朗日中值公式了3. 3泰勒公式对于一些较复杂的函数为了便于研究往往希望用一些简单的函数来近似表达由于用多项式表示的函数 只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算便能求出它的函数值因此我们经常用多项式来近似表达函数在微分的应用中已经知道当|x|

8、很小时 有如下的近似等式ex 1 x ln(1 x) x这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子但是这种近似表达式还存在着不足之处首先是精确度不高这所产生的误差仅是关于x的高阶无穷小其次是用它来作近似计算时不能具体估算出误差大小因此对于精确度要求较高且需要估计误差时候就必须用高次多项式来近似表达函数同时给出误差公式设函数f(x)在含有xo的开区间内具有直到(n 1)阶导数现在我们希望做的是找出一个关于(x xo )的n次多项式pn(x) a o a i(x xo) a 2(x xo) 2 a n (x xo)n来近似表达f(x)要求Pn(x)与f(x)之差是比(x xo)n高阶的无穷小并给出误

9、差| f (x) Pn (x)|的具体表达式na n (x xo)我们自然希望pn(x)与f(x)在xo的各阶导数(直到(n 1)阶导数)相等 这样就有2pn(x) a o a i(x xo) a 2(x xo)pn (x) a i 2 a 2(x xo)n 1na n(x xo)pn (x) 2 a 2 3 2a 3(x xo)pn (x) 3!a 3 4 3 2a 4(x xo)n (n 1)a n (x xo)n 2n (n 1)(n 2)a n (x xo)n 3pn (n)(x) n! a n于是pn(xo) a o p n (xo ) a 1 pn (xo )2! a 2 p n

10、(x) 3!a 3pn (n)(x) n! a n按要求有f(xo)pn(xo)ao f(xo)pn(xo)a 1 f(xo)pn(xo)2! a 2 f(xo)pn(xo)3!a 3f (n)(xo) p n (n)(xo) n! an从而有1 一，1 一，1 一,a o f(xo) a 1 f(xo)a2f(xo)a33j f(xo)an-n!f (n)(xo)1 一ak 1f(k)(xo)(k o 1 2 n)K!于是就有pn(x)f(X0)f(X0)(XX0)1 f(X0)(XX0)2-1! f (n) (Xo)(xX0)nnn泰勒中值定理如果函数f(X)在含有xo的某个开区间(a b

11、)内具有直到(n 1)的阶导数则当x在(a b)内时f(x)可以表示为(xxo)的一个n次多项式与一个余项Rn(x)之和f(x)f(Xo)f(Xo)(XXo)1 f(Xo)(XXo)2；f 叫Xo)(X%)nRn(x)2!n!f(n 1)()其中 Rn(x)(n ；)!，(x xo)n 1 (介于 xo与 x之间)这里多项式pn(x)f(Xo)f(Xo)(XXo)gf(Xo)(XXo)2、f(n)(Xo)(XX)n称为函数f(x)按(X Xo)的哥展开的n次近似多项式公式1c1f (X)f (Xo)f(Xo)(XXo)f(Xo)(XXo)2: f (Xo)(xXo)nRn(x)称为f(x)按(

12、x Xo)的哥展开的n阶泰勒公式 而Rn(x)的表达式f (n 1)()其中R(x) 鲁(x Xo)n 1 (介于x与xo之间)(n 1)!称为拉格朗日型余项当n o时 泰勒公式变成拉格朗日中值公式f(x) f(xo) f ( )(x xo)(在 xo 与 X 之间)因此 泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广如果对于某个固定的n当x在区间(a b)内变动时|f(n 0(x)1总不超过一个常数M 则有估计式f (n 1)()网x)| |xo)n1| &x xo|n1R(x)及 lim ox Xo (x xo)n可见 妆xxo时 误差|Rn(x)|是比(x xo)n高阶的无穷小即Rn (x) o(

13、x xo)n在不需要余项的精确表达式时n阶泰勒公式也可写成1c1f (x)f (Xo)f(Xo)(XXo)a f(Xo)(XXo)2n! f (n)(Xo)(XXo)no(xXo)n当Xo o时的泰勒公式称为麦克劳林公式就是f(x) f(0) f(0)x 粤x2f(n)(0)-nj(-)xn Rn(x)或 f(x) f(0) f (0)xf (0) x2 1Txf (n)(0)f()xn o(xn) n!其中R(x)f(n 1)( )xn 1(n 1)!由此得近似公式f(x) f(0) f (0)x f20)x2f(n)(0) xnxn!误差估计式变为岛(x)| (nM|xn 1 1)!例1.

14、写出函数f(x) ex的n阶麦克劳林公式解因为f(x)(x)所以f(0) f (0)(0)(x)f (n)(0)f( n)(x) exex 1-x2 2!xn 1 (0并有ex 1x2 2!这时所产性的误差为e xWx1Ie|x|(n 1)!当x 1时可得e的近似式ex 1 112!1n!其误差为Rn|0则f(x)在a b上的图形是凹的(2)若在(a b)内f (x)0则f(x)在a b上的图形是凸的简要证明只证(1)设x1，x2xi x2 a b且xi x2记xo x1 2x2由拉格朗日中值公式 得f(xi) f(xo) f ( i)(xi xo) f ( i)jxLyx2xi 1 xf(x

15、2) f(xo) f ( 2)(x2 xo) f ( 2)jx2yxix 2 x2两式相加并应用拉格朗日中值公式得f(xi) f(x2) 2f (xo) f ( 2) f (川色色 f ( )( 2 i) 0 i 2即fa)2f(x2)f(红卢)所以f(x)在a b上的图形是凹的拐点连续曲线y f(x)上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点确定曲线y f(x)的凹凸区间和拐点的步骤(i)确定函数y f(x)的定义域(2)求出在二阶导数f (x)(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点(4)判断或列表判断 确定出曲线凹凸区间和拐点注根据具体情况(i) (3)步有时省略例i判断曲线y In

16、x的凹凸性ix2因为在函数y In x的定义域(0)内 y 0所以曲线y In x是凸的重庆三峡学院高等数学课程建设组高等数学教案迎中值定理与导数的应用iT2判断曲线y x3的凹凸性解 y 3x 2 y 6x由y 。得x 0因为当x0时y 0时y 0所以曲线在0)内为凹的例3 求曲线y 2x 3 3x 2 2x 14的拐点解 y 6x2 6x 12一 一 一 1、y 12x 6 12(x 1)令y 0得x - 2因为当x 2时y 0当x 之时y 0所以点(-202)是曲线的拐点例4 求曲线y 3x 4 4x3 1的拐点及凹、凸的区间解函数y 3x 4 4x3 1的定义域为()(2) y 12x

17、3 12x2 y 36x2 24x 36x(x 2)3，(3)解方程y 0得xi 0 x2 23(4)列表判断(0)0(0 2/3)2/3(2/3)f (x).00f(x)111/27在区间(0和2/3)上曲线是凹的在区间0 2/3上曲线是凸的点(0 1)和(2/3 11/27)是曲线的拐点例5问曲线y x 4是否有拐点？解 y 4x 3 y 12x 2当x 0时y0在区间()内曲线是凹的因此曲线无拐点例6求曲线y Vx的拐点解(1)函数的定义域为()1 22 2) y 33x2y 9x3x2(3)无二阶导数为零的点二阶导数不存在的点为x 0(4)判断 当x0当x0时y 0因此 点(0 0)曲

18、线的拐点诳5函数的极值与最大值最小值一、函数的极值及其求法极值的定义定义 设函数f(x)在区间(a, b)内有定义 xo (a, b)如果在xo的某一去心邻域内有 f(x) f(xo) 则称f(xo)是函数f(x)的一个极大值 如果在xo的某一去心邻域内有f(x) f(xo)则称f(xo)是函数f(x) 的一个极小值设函数f(x)在点xo的某邻域U(xo)内有定义如果在去心邻域 U(xo)内有f(x) f(xo)(或f(x) f(xo)则称f(xo)是函数f(x)的一个极大值(或极小值)函数的极大值与极小值统称为函数的极值使函数取得极值的点称为极值点函数的极大值和极小值概念是局部性的如果f(x

19、o)是函数f(x)的一个极大值 那只是就xo附近的一个局部范围来说f(xo)是f(x)的一个最大值 如果就f(x)的整个定义域来说 f(xo)不一定是最大值关于极小值也类似极值与水平切线的关系在函数取得极值处曲线上的切线是水平的但曲线上有水平切线的地方函数不一定取得极值定理1 (必要条件)设函数f(x)在点xo处可导 且在xo处取得极值那么这函数在xo处的导数为零即f (xo) o证为确定起见假定f(xo)是极大值(极小值的情形可类似地证明)根据极大值的定义在xo的某个去心邻域内对于任何点x f(x)f(xo)均成立于是当xxo时f(x) f(xo)ox x因此 f (xo)lim f(x)

20、f(xo) ox X0x xo当xxo时f(x) f(xo) ox xo因此 f (xo)lim f(x) f (xo) ox % x xo从而得到f (xo)o简要证明假定f(xo)是极大值根据极大值的定义 在xo的某个去心邻域内有f(x) f(xo)于是f (xo) f (xo)lim f(x) f(xo) ox X0x xo同时 f (%) f (xo)lim -(x)-1(x1 ox X0x xo从而得到f (xo)o驻点使导数为零的点(即方程f (x) 0的实根)叫函数f(x)的驻点定理1就是说可导函数 f(x)的极值点必定是函数的驻点但的过来函数f(x)的驻点却不一定是极值点考察函

21、数f(x) x3在x。处的情况定理2 (第一种充分条件)设函数f(x)在点x0的一个邻域内连续在x0的左右邻域内可导(1)如果在xo的某一左邻域内f (x) 0在xo的某一右邻域内f (x) 0那么函数f(x)在xo处取 得极大值(2)如果在xo的某一左邻域内f (x) 0在xo的某一右邻域内f (x) 0那么函数f(x)在xo处取 得极小值(3)如果在xo的某一邻域内f (x)不改变符号那么函数f(x)在xo处没有极值定理2(第一种充分条件)设函数f(x)在含xo的区间(a, b)内连续 在(a, xo)及(xo, b)内可导(1)如果在(a, xo)内f (x) 0在(xo, b)内f (

22、x) 0那么函数f(x)在xo处取得极大值(2)如果在(a, xo)内f (x) 0在(xo, b)内f (x) 0那么函数f(x)在xo处取得极小值(3)如果在(a, xo)及(xo, b)内f (x)的符号相同那么函数f(x)在xo处没有极值定理2 (第一充分条件)设函数f(x)在xo连续 且在xo的某去心邻域(xoxo) (xo xo)内可导(1)如果在(xoxo)内f (x)0在(xoxo)内f (x)0那么函数f(x)在xo处取得极大值(2)如果在(xoxo)内f (x)0在(xoxo)内f (x)0那么函数f(x)在xo处取得极小值(3)如果在(xoxo)及(xo xo)内f (x

23、)的符号相同那么函数f(x)在xo处没有极值定理2也可简单地这样说当x在xo的邻近渐增地经过 xo时 如果f (x)的符号由负变正 那么f(x)在xo处取得极大值 如果f (x)的符号由正变负那么f(x)在xo处取得极小值 如果f (x)的符号并不改变那么f(x)在xo处没有极值(注定理的叙述与教材有所不同)确定极值点和极值的步骤(1)求出导数f (x)(2)求出f(x)的全部驻点和不可导点(3)列表判断(考察f (x)的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况以便确定该点是否是极值点如果是极值点还要按定理2确定对应的函数值是极大值还是极小值)(4)确定出函数的所有极值点和极值例1求函数f(x

24、) (x 4)V(x 1)2的极值解(1)f(x)在()内连续 除x 1外处处可导且f (x)5(x 1)33 x 1(2)令f (x) 0得驻点x 1 x 1为f(x)的不可导点(3)列表判断x(1)1(1 1)1(1)f (x)/叫导0f(x)033,4重庆三峡学院高等数学课程建设组高等数学教案迎中值定理与导数的应用(4)极大值为f( 1) 0极小值为f(1)334定理3 (第二种充分条件)设函数f(x)在点xo处具有二阶导数且f (xo) 0f (x0) 0那么当f (x0) 0时(1)当 f (x0) 0 时证明在情形函数f(x)在x0处取得极大值函数f(x)在x0处取得极小值由于f

25、(x0) 0按二阶导数的定义有根据函数极限的局部保号性f (x) f (x0) cf (x0) lim 0x 5 x x0当x在x0的足够小的去心邻域内时f(x) f(x0) 0x x0但f (x0) 0所以上式即从而知道对于这去心邻域内的x来说当x x0 0即x x0时f (x) 0根据定理 类似地可以证明情形(2)简要证明在情形(1)由于f (x0)四0x x0(x)与x x0符号相反因此 当x x0 0即x x0时f (x) 0f(x)在点x0处取得极大值f (xo) 0按二阶导数的定义有f (x0)limx xf (x) f(x。)根据函数极限的局部保号性XM 0 x x0从而在该邻域

26、内当x x0时.f (x) lim x x0 x x0在x0的某一去心邻域内有f (x) 0当x x0时f (x) 0根据定理2 f(x)在点x0处取得极大值定理3表明如果函数f(x)在驻点x0处的二导数f(x0)0那么该点x0一定是极值点并且可以按二阶导数f (x0)的符来判定f(x0)是极大值还是极小值但如果f (x0) 0定理3就不能应用讨论 函数f(x)x4 g(x) x3在点x 0是否有极值？提示 f (x) 4x 3 f (0) 0 f (x) 12x2 f (0) 0 但当 x 0 时 f (x) 0 当 x 0 时 f (x) 0 所以 f(0) 为极小值g (x) 3x2 g

27、 (0) 0 g (x) 6x g (0) 0 但 g(0)不是极值.例2求函数f(x) (x2 1)3 1的极值解(1)f (x) 6x(x2 1)2(2)令 f (x) 0 求得驻点 x11 x2 0 x3 1(3)f (x) 6(x2 1)(5x2 1)(4)因f (0) 6 0所以f (x)在x 0处取得极小值极小值为f(0) 0(5)因f ( 1) f (1) 0用定理3无法判别 因为在1的左右邻域内f (x) 0所以f(x)在1处 重庆三峡学院高等数学课程建设组没有极值同理f(x)在1处也没有极值二、最大值最小值问题在工农业生产、工程技术及科学实验中常常会遇到这样一类问题在一定条件

28、下怎样使“产品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”等问题 这类问题在数学上有时可归结为 求某一函数(通常称为目标函数)的最大值或最小值问题极值与最值的关系设函数f(x)在闭区间a b上连续则函数的最大值和最小值一定存在函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得如果最大值不在区间的端点取得则必在开区间(a b)内取得在这种情况下最大值一定是函数的极大值因此 函数在闭区间a b上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中最大者同理 函数在闭区间a b上的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者最大值和最小值的求法设f(X)在(a b)内的驻点和不可导点

29、(它们是可能的极值点)为与X2xn则比较f(a) f(x 1)f(xn) f(b)最小的便是函数f(x)在a b上的最小值的大小其中最大的便是函数f(x)在a b上的最大值例3求函数f(x) |x2 3x 2|在3 4上的最大值与最小值解 f(x)x2 3x 2x2 3x 2x 3,1 2,4 x (1,2)f (x)2x 32x 3x ( 3,1) (2,4) x (1,2)在(3 4)内f(x)的驻点为x 2不可导点为x 1和x 2由于f( 3) 20 f(1) 0 f(2) 4 f(2) 0 f(4) 6比较可得f(x)在x 3处取得它在3 4上的最 大值20在x 1和x 2处取它在3

30、4上的最小值0例4 工厂铁路线上AB段的距离为100km工厂C距A处为20km AC垂直于AB为了运 输需要 要在AB线上选定一点 D向工厂修筑一条公路已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比3: 5为了使货物从供应站 B运到工厂C的运费最省 问D点应选在何处？解 设 AD x (km)则 DB 100 xCD 、202 x2400 x2设从B点到C点需要的总运费为 y那么y 5k CD 3k DB (k是某个正数)即 y 5k . 400 x2 3k(100 x) (0 x 100)现在 问题就归结为 x在0 100内取何值时目标函数 y的值最小 先求y对x的导数y k(5x3)

31、 CD 400 x2400 x2解方程y 0得x 15(km)由于y|x0400 ky|xi5 380ky |x做500 kh 口 其中以y|x15 380k为最小 因此当52AD x 15km时总运费为最省例2 工厂C与铁路线的垂直距离 AC为20km, A点到火车站B的距离为100km.欲修一 条从工厂到铁路的公路 CD.已知铁路与公路每公里运费之比为 3:5.为了使火车站B与工厂C间 的运费最省，问D点应选在何处？解 设AD x (km) B与C间的运费为y则y 5k CD 3k DB 5k 400 x2 3k(100 x) (0 x 100)其中k是某一正数由 y k(一e 2 3)

32、0 得 x 15 .400 x2 I由于y|x0400 ky|x15 380 ky|x100500k Ji总 其中以y|x 15 380k 为最小 因此当5AD x 15km时总运费为最省注意f(x)在一个区间(有限或无限开或闭)内可导且只有一个驻点x0并且这个驻点x0是函数f(x)的极值点 那么 当f(x0)是极大值时f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值 当f(x0)是极小值时f(x。)就是f(x)在该区间上的最小值f(x)确有最大值或最小值而应当指出实际问题中往往根据问题的性质就可以断定函数重庆三峡学院高等数学课程建设组高等数学教案迎中值定理与导数的应用X0那么不必讨论f(xo)h和宽

33、b应如何选择才且一定在定义区间内部取得这时如果f(x)在定义区间内部只有一个驻点是否是极值就可以断定f(X0)是最大值或最小值例6把一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁问矩形截面的高能使梁的抗弯截面模量W (W bh2)最大？6解b与h有下面的关系h 2 d 2 b 21 . c因而 W -b(d2 b2)(0bd)这样 W就是自变量b的函数b的变化范围是(0 d)现在 问题化为b等于多少时目标函数W取最大值？为此 求W对b的导数W -(d2 3b2)解方程W 0得驻点b J-d由于梁的最大抗弯截面模量一定存在而且在(0 d)内部取得 现在 函数W -6b(d2 b2)在(0 d)内只有一个驻

34、点所以当b、gd时W的值最大 这时h2 d2 b2 d2 -d2 -d2 33即h身d:h:b 、3;2:1解把W表示成b的函数W 6bh2 -b(d2 b2) (0b0相反时s0 dsdx dx,1 y2是dsVT户dx这就是弧微分公式因为当x 0时 s MN x又s与同号 所以ds s ( x)2 ( y)2y、22lim lim -lim 1 ()2. 1 y2dxx 0 xx 0|x|x0 x因此ds 1 y 2dx这就是弧微分公式二、曲率及其计算公式曲线弯曲程度的直观描述设曲线C是光滑的在曲线C上选定一点M 0作为度量弧s的基点设曲线上点M对应于弧s在点M处切线的倾角为曲线上另外一点

35、N对应于弧s s 在点N处切线的倾角为我们用比值|一|即单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段MN的平均弯曲程度I s|记K 一 称K为弧段MN的平均曲率 s记K lims 0 s称K为曲线C在点M处的曲率在lim d一存在的条件下s 0 sdsd ds曲率的计算公式设曲线的直角坐标方程是y f(x)且f(x)具有二阶导数(这时f (x)连续 从而曲线是光滑的)因为tan y 所以sec2 d y dxy dx y 9 dx )c21 tan22dx又知ds盘y2 dx从而得曲率的计算公式k M|y2|32ds (1 y2)32例1计算直线y a x b上任一点的曲率例2计算半径为R的圆上任

36、一点的曲率讨论1计算直线y a x b上任一点的曲率提示：设直线方程为y ax+b,则y a, y 0.于是K 0.2.若曲线的参数方程为x (t), y 给那么曲率如何计算?提示K 122U)1 2(t)2(t)3/23计算半径为R的圆上任一点的曲率提示圆的参数方程为 x R cos t y R sin t例1.计算等双曲线xy 1在点(1 1)处的曲率1x22 x3因此曲线xyy |x 11 y |x 1 21在点(1 1)处的曲率为K |y I21_(1 y2)3 2 (1 ( 1)2)32.22例4抛物线y ax 2 bx c上哪一点处的曲率最大?解由y a x 2 bx c得y 2a

37、 x b y 2a 代入曲率公式得K I2a|1 (2ax b)23 2显然当2ax b 0时曲率最大曲率最大时x 2ba对应的点为抛物线的顶点因此抛物线在顶点处的曲率最大最大曲率为K |2a|三、曲率圆与曲率半径设曲线在点使 |DM | K 1D叫做曲线在点设曲线在点M(x y)处的曲率为K (K 0)在点M处的曲线的法线上 在凹的一侧取一点 D 以D为圆心 为半径作圆这个圆叫做曲线在点 M处的曲率圆 曲率圆的圆心 M处的曲率中心 曲率圆的半径 叫做曲线在点 M处的曲率半径M处的曲率为 K(K 0)在曲线凹的一侧作一个与曲线相切于M且半径为 K 1的圆则这个圆叫做曲线在点M处的曲率圆其圆心叫做曲率中心 其半径叫做曲率半径曲线在点M处的曲率K(K 0)与曲线在点M处的曲率半径工K 1 K有如下关系例3设工件表面的截线为抛物线y 0.4x 2现在要用砂轮磨削其内表面问用直径多大的砂轮才比较合适？解砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径y 0.8x y 0.8y|x 0 0yx 0 0.8把它们代入曲率公式 得一1y |0 8(1 y 2)3 2 0 8抛物线顶点处的曲率半径为K 1 1 25所以选用砂轮的半径不得超过1.25单位长 即直径不得超过 2.50单位长