高等数学公式大全(精华版)

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1、高等数学复习公式1 u1第2页共15页导数公式:(tgx)(ctgx) (secx) (cscx) (ax)2sec x2csc xsecx tgxcscx ctgxIna(lOgax)1xlna基本积分表:tgxdxIn cosxctgxdxIn sin xsecxdxIn secxtgxcscxdxIn cscxctgx C高等数学公式(arcsin x)(arccos x)(arctgx)(arcctgx)dx2- cos xdxsin xsecx2.1 x1,1 x212x11 x22.sec xdxcsc2 xdxtgxdxsecxtgx Cctgx Cdx22a xcscxctgx

2、dxcscx Cdx22a xdx2a a x1, x仆一 arctg 一 Cdx22x aa xdxshxdxchxdx_ _ _x arcsinadx2一In2sinn xdxocos0xdxx x2 a2dxx、x2 a22In achxshx22_ln( x x a ) C aIn22 ,x a dx2a / ln(x22 a ln x22、 x2 a2) C三角函数的有理式积分:- 2usin x 2-,cosxdxa . x .一 arcsin - C2上2， udx2du1 u2高等数学复习公式第21页共15页一些初等函数:两个重要极限:双曲正弦：shx双曲余弦：chx双曲正切:

3、thx.sinx .lim 1x 0 x1 xlim(1 )x e 2.7182818284590452shx exchx exarshx ln(xx2 1)archx ln(xx2 1)1 . 1 x arthx -ln2 1 x三角函数公式:诱导公式：丁、曾数 角Asincostgctg-a-sin acos a-tg a-ctg a90 - acos asin actg atg a90 + acos a-sin a-ctg a-tg a180 - asin a-cos a-tg a-ctg a180+a-sin a-cos atg actg a270 - a-cos a-sin actg

4、 atg a270 + a-cos asin a-ctg a-tg a360 - a-sin acos a-tg a-ctg a360 + asin acos atg actg a和差角公式:sin()sincoscossincos()coscossinsin、tgtgtg()1 tgtg、ctgctg1ctg()ctgctg和差化积公式:sinsin2sincos22sinsin2 cossin 22coscos2coscos 22cos cos 2 sinsin22倍角公式:sin 2cos2ctg2tg22sin cos222cos21 1 2sin2ctg212ctg2tg1 tg22

5、 cos2 sinsin3cos3tg33sin4sin34cos33cos3tg tg321 3tg2半角公式:sin 一2tg21 cos1 cos1 cos sinsin 1 cos正弦定理：sin Absin Bsin C2R1 cos cos-2 .21 cos 1 cos sin ctg 二2 1 cos sin 1 cos余弦定理：c2 a2 b2 2abcosC,反三角函数性质：arcsin x arccosx2arctgx 一 arcctgx2高阶导数公式莱布尼兹( Leibniz )公式:n(n)八 k (n k) (k)(uv) Cnu vk 0(n)nu(n 1)Vn(

6、n 1)2!(n 2)Vn(n 1) (nk!k 1) (n k) (k)u Vuv(n)中值定理与导数应用： 拉格朗日中值定理:f(b)f(a) f ( )(b a)柯西中值定理：上但 匚口 F(b) F(a) F ()当F(x) x时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理曲率:弧微分公式:ds v1 y 2dx,其中 y tg平均曲率：K:从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；s： MM弧长。M点的曲率:dds直线：K 0;半径为a的圆:定积分的近似计算:b矩形法：ab梯形法：af(x)f(x)b抛物线法：f (x)aaz(y。 nyib ar 1 /一(yon 2b a盂 (yo定积分应用相

7、关公式:功：W水压力:引力：Fmm2k2-r函数的平均值：y(1yn 1)yn)yn),k为引力系数1 b, f(x)dxb a a a均方根：1 f2(t)dt:b a,空间解析几何和向量代数:yi22y2)3yn 1 V4yn 2) 4(yi y3yn 1 )空间2点的距离：d M 1M 2向量在轴上的投影：Pr ju AB,、2,、2,、2.(X2 Xi) (y2 yi) (Z2 zi)aB cos ,是aB与u轴的夹角。Prju(ai a2) Prjai Prja2a b a b cosaxbx ayby azbz,是一个数量两向量之间的夹角： cosaxbxaybyazbz,ax2

8、ay2a；、bx2by2 bz2ijka b sin .例:线速度:cab axavaz, cxyz，bxbybz向量的混合积：abc (a b) cax ay az bx by bza b c cos , 为锐角时,cxcycz代表平行六面体的体积平面的方程：1、点法式：A(x xo) B(y yo) C(z 4) 0,其中 n A,B,C, M o(x0, yo,z)2、一般方程：Ax By Cz D 03、截距世方程：- 1abc平面外任意一点到该平面的距离：d .几Byo CzD. ,A2 B2 C2空间直线的方程:x xomyyoz zon pxxomtt,其中sm,n,p;参数方程

9、：yyontzzoPt二次曲面：2221、椭球面：勺4 J 1abc222、抛物面： 匕 z,(p,q同号)2P 2q 八3、双曲面：2 z2 c2 z2 c11(马鞍面)22单叶双曲面：T2 a2 b222双叶双曲面：三二 a b2多元函数微分法及应用x fx(x,y) xy z fy(x,y) y全微分：dz dx dy x y全微分的近似计算：z dz, u . u . u .du dx dy dz多元复合函数的求导法：z fu(t)，v(t)竽z fu(x,y),v(x,y)uz v- tv tz u z当u u(x,y), v , u . u .du dx dyxv(x, y)时，d

10、vdxxdyy隐函数的求导公式:隐函数F(x,y) 0,dydx隐函数 F(x,y,z) 0,旦Fy Fxd2ydx2昌+(FyFx) dyFy，dxFzFy fz隐函数方程组：F(x，y，u，v)G(x,y,u,v)(F,G)(u,v)FvGv1 J1 J(F,G) (x,v) (F,G) (y,v)1 J1 J(F,G) (u,x) (F,G) (u,y)微分法在几何上的应用:x空间曲线yz(t)(t)在点M (x0,y0, z0)处的切线方程:(t)xx0(t0)y t)z z0(t0)在点M处的法平面方程:(to)(x x。)(t0)(yy0)(to)(z z)若空间曲线方程为：为则切

11、向量T G(x,y,z) 0曲面F(x,y,z) 0上一点M的，yoz),则：1、过此点的法向量：n Fx%, yoz), Fy(x0,y0, ), Fz(x0, yoz)3、过此点的法线方程:x x0Fx(x0,y0,z)2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(x xq) Fy(x0,y0,z0)(y yo) Fz(x0, y0 z)(z 4) 0y yz z0Fy(x0, y,z0)Fz(x0, y,z)方向导数与梯度:函数z f (x, y)在一点p(x, y)沿任一方向l的方向导数为: -f cossinl x y其中为x轴到方向l的转角。函数z f (x, y)在一点 p(

12、x, y)的梯度：gradf (x,y) i j x y它与方向导数的关系是：f grad f (x, y) e,其中e cos i sin j,为l方向上的 单位向量。-f是gradf (x, y)在l上的投影。多元函数的极值及其求法：设 fx(xo,yo)2AC B2则：AC B22AC B2fy(xo,yo) 0,令：fxx(xo, yo) A, fxy(xo, yo)B,fyy(x,yo) C0时 A 0,(Xo, y)为极大值A 0,(x0, yO)为极小值0时，无极值0日t,不确定重积分及其应用:f (x, y)dxdyDf (r cos ,r sin )rdrdD22曲面z f(

13、x, y)的面积 A 1zz dxdyd , x y平面薄片的重心x (x,y)d-M x D x M (x, y)dDMyy (x,y)dD(x, y)dD对于y轴I y2x (x, y)dD平面薄片(位于xoy平面)对z轴上质点M (0,0, a),(a0)的引力:Fxf 一D 2 (x(x,y)xd3，a2“Fy f 一D 2 (x(x， y)yd3, a2)FzfaDFx,Fy,Fz，其中:(x, y)xd(x23222y a )柱面坐标和球面坐标:x r cos柱面坐标：y r sinf (x, y, z)dxdydzF(r, ,z)rdrd dz,其中：F(r, ,z) f (r

14、cos , r sin , z)x r sin cos球面坐标： y r sin sin ,dv rd r sind dr r2sin drd dz r cosf (x, y,z)dxdydz F(r,、2)r sin drd d2r(,)2，d d F(r, , )r sin dr000重心：x - x dv,My dv,z dv,其中M xdv转动惯量：I x (y2 z2) dv,1y(x2 z2) dv,22Iz (x y ) dv曲线积分:第一类曲线积分(对弧 长的曲线积分)：设f (x,y)在L上连续，L的参数方程为：x y (t)f(x,y)ds f (t), (t),2(t)2

15、(t)dt (L(t )，则:特殊情况:y (t)第二类曲线积分(对坐 标的曲线积分)：设L的参数方程为x ，则: y (t)(t) Q (t), (t)dt(Pcos Qcos )ds 其中L和分别为P(x,y)dx Q(x,y)dy P (t), (t)L两类曲线积分之间的关系：Pdx Qdy LL上积分起止点处切向量 的方向角。Q PQ P格林公式：(一 一)dxdyPdx Qd册林公式：(一 一)dxdy ： Pdx Qdyd x yld x yl一一 Q P1当P y,Q x,即： 2时，得到D的面积：A dxdy xdy ydxx yd2l平面上曲线积分与路径无关的条件:一 Q P

16、 、,且二一。江息奇点，如(0,0),应 x y1、G是一个单连通区域;2、P(x,y), Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数减去对此奇点的积分，注意方向相反！ 二元函数的全微分求积：, Q P_ .在=一时，Pdx Qdy才是二兀函数u(x,y)的全微分，其中：x y (x.y)u(x,y) P(x, y)dx Q(x, y)dy,通常设 x0 y0 d (x0,yo)曲面积分：对面积的曲面积分：f(x,y,z)ds fx, y,z(x, y)、；1 z2(x,y) zy (x, y)dxdyDxy对坐标的曲面积分：P(x, y, z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x, y,z

17、)dxdy,其中：R(x, y, z)dxdyRx, y,z(x, y)dxdy,取曲面的上侧时取正 号；D xyP(x, y, z)dydz Px(y,z), y,zdydz,取曲面的前侧时取正 号；DyzQ(x,y, z)dzdx Qx, y(z,x),zdzd为取曲面的右侧时取正 号。Dzx两类曲面积分之间的关系：Pdydz Qdzdx Rdxdy (Pcos Qcos Rcos )ds高斯公式: PQR、,(一 一 一)dvPdydz Qdzdx Rdxdy (Pcos Qcos Rcos )dsxyz高斯公式的物理意义通量与散度：散度：div 上_Q _R,即：单位体积内所产生的流体

18、质量，若div0,则为消失x y z通量： A ndsAnds(Pcos Qcos Rcos )ds,因此，高斯公式又可写 成： div Adv o Ands斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系:RQPRQ(一 )dydz ( )dzdx ( yzz xxP) dxdy ydydz dzdx dxdy上式左端又可写成： xyzPQRcos空间曲线积分与路径无 关的条件： , y z z-Pdx Qdy Rdz cos cosyzQRRQPxxy向量场A沿有向闭曲线的环流量：PdxQdy Rdz A tds常数项级数：等比数列：1 q q2等差数列：1 2 3调和级数:1 - 12 3级数审

19、敛法：1 qn1 q(n 1)n21是发散的 n1、正项级数的审敛法 根植审敛法（柯西判 别法）：1时，级数收敛设：l|mn-U，则1时，级数发散01时，不确定2、比值审敛法：1时，级数收敛设：limU,则1时，级数发散n UUn1时，不确定3、定义法：sn u1 u2un;limsn存在，则收敛；否则发 散。n交错级数u1u2u3u4（或u1u2u3,un0）的审敛法莱布尼兹定理：un un 1 .，如果交错级数满足 n，那么级数收敛且其和s u1,其余项rn的绝又t值rn un 1 lim un 0n绝对收敛与条件收敛：u1 u2 un ,其中un为任意实数；（2）5 皿 u3un如果（2

20、）收敛，则 肯定收敛，且称为绝对 收敛级数；如果（2）发散，而（1）收敛，则称（1）为条件收敛级数。2收敛；n工Fnp p调和级数：1发散，而 （-收敛; nn1时发散1时收敛哥级数:数轴上都收敛，则必存/x 1时，收敛于xn (1 x|x 1时,发散a1x a2x2anxn,如果它不是仅在原点收敛，也不是在全求收敛半径的方法：设函数展开成哥级数:函数展开成泰勒级数:余项：Rnf(n1)( )(x(n 1)!X0XXX使R在limnan 1anR时收敛R时发散，其中R称为收敛半径。R时不定0时，R1an 1是(3)的系数,则0时,时，R 0f (x0)2f (x)f(x)(x x0) -(x

21、x)2!(n).f(x0)n(x x) n!x0)n 1, f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：lim Rn 00时即为麦克劳林公式:f(x) f(0) f(0)x Ff(n)(0) n xn!些函数展开成骞级数:(1 x)mm(m 1) 21 mxx2!m(m 1) (m n 1) n;:;xn!(1x1)sinx x5 x5!2n 1欧拉公式:ixe cosxi sinxf(t) A。其中,a0An sin( nn 1aAo，an1)nx(2n 1)!cosx或sin xt ) a2n 2An sin n，bnix eix ee2ix e2ix(an cosnxbn sin nx)n

22、1An cosn,正交性：1,sin x,cosx,sin 2x,cos2x sin nx,cosnx上的积分=0。傅立叶级数：t x。任意两个不同项的乘积在f(x)a。(an cosnx bnsinnx), 周期n 1其中anf(x)cosnxdx(n 0,1,2bnf (x)sinnxdx(n 1,2,31 43211TT -224152正弦级数:an余弦级数:bn2：10, bn0，an1221321I142142f (x)sin nxdxf(x)cosnxdx0周期为2l的周期函数的傅立叶级数:2（相力口）62一（相减）121,2,30,1,2f(x)f(x)a02bn sin nx是

23、奇函数an cosn娓偶函数f(x) a0(an cos-nx bnsinn_x), 周期 2l2 n 1llanbn一 f (x) cos dx l l1 1n x .一 f (x)sindxl il(n 0,1,2 )(n 1,2,3 )微分方程的相关概念: 一阶微分方程：y f(x, y) 或 P(x,y)dx Q(x,y)dy 0(x,y),即写成y的函数，解法：x分离变量，积分后将2代替u,(u) ux可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化 为g(y)dy f(x)dx的形式，解法: g(y)dy f (x)dx 得：G(y) F (x) C称为隐式通解。齐次方程：一阶微分方 程可

24、以写成6 f(x,y) dxydydudu,、dx设u,贝Uux ,u(u),xdxdxdxx即得齐次方程通解。一阶线性微分方程:1、一阶线性微分方程：dy P(x)y Q(x) dxP(x)dxC)e/当Q(x) 0Bt,为齐次方程，y Ce x、当Q(x)训，为非齐次方程，y ( Q(x)e P(x)dxdx2 贝努力方程：dy P(x) y Q(x)yn,(n 0,1) dx全微分方程：如果P(x, y)dx Q(x, y)dy 0中左端是某函数的全微 分方程，即:u 、udu(x, y) P(x, y)dx Q(x,y)dy 0,其中:一 P(x,y),一 Q(x,y) xyu(x,y

25、) C应该是该全微分方程的 通解。二阶微分方程：d2y dx2P(x)dx Q(x)yf(x”f(x)f(x)0寸为齐次0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法:(*) y py qy 0,其中p, q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：()r2 pr q 0,其中r2, r的系数及常数项恰好是(*)式中y , y , y的系数;2、求出()式的两个根r1,r23、根据r1,r2的不同情况，按下表写 出(*)式的通解：r1, r2的形式(*)式的通解两个不相等实根(p2 4q 0)rix2xy CieC2e两个相等实根(p2 4q 0)y (ci C2x)erix一对共轲复根(p2 4q 0)rii ,2ipJ,4q p222y e x (Ci cos x C2 sin x)二阶常系数非齐次线性微分方程y py qy f(x), p,q为常数f(x) exPm(x)型，为常数；f (x) exP(x)cos x Pn(x) sin x型平面薄片的转动惯量：对于x轴Ixy2 (x, y)d ,D