高二数学推理与证明知识点与习题

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1、知识点精编推理与证明一、推理1.推理：前提、结论2.合情推理：合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。3.演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行

2、证明题型1用归纳推理发现规律1、观察： 疗+/52而；在5+T652/T； J3V3+Jl9+T31),证明方程f(x)=0没有负数根x 1三、数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数N的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：证明当n=n0时命题成立；(2)假设当n=k(k亡N+且kn0)时命题成立，证明n=k+1时命题也成立.在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法1 .下列表述正确的是演绎推理是由一般到特殊的推理；类比D.B.若(a + b)c = ac + bc”类推出(a b)c= ac bcD. f ab)n =

3、anbn 类推出(a+ b)n = an + bn”归纳推理是由部分到整体的推理；归纳推理是由一般到一般的推理;推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理A.； B.；C.；2 .下面使用类比推理正确的是A.若a 3=b 3MUa=b”类推出 若a0=b0Ua = b”a b a bC. 若(a+b)c =ac+bc” 类推出=_+_(cw() ”c c c3 .有一段演绎推理是这样的：直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线bg平面豆，直线a匚平面a ,丰直线b /平面ot ,则直线b /直线a”的结论显然是错误的，这是因为A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.

4、非以上错误4 .用反证法证明命题：主角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是A.假设三内角都不大于 60度B.假设三内角都大于 60度C.假设三内角至多有一个大于60度D.假设三内角至多有两个大于60度01235 .在十进制中2004 =4父10十0M101十0M102+2父103 ,那么在5进制中数码2004折合成十进制为A. 29B. 254C. 602D. 20041 _an 26.利用数学归纳法证明1+a+a2印11+anV(a01,nwN ), 时，在验证n=1成立时，左边应该是1 - aA.1B.1 + aC.1 + a + aD.1 + a+a+a7.某个命题与正整数

5、 n有关，如果当n =k(k w NQ时命题成立，那么可推得当n=k+1时命题也成立.现已知当n = 7时该命题不成立，那么可推得A .当n=6时该命题不成立B .当n=6时该命题成立 C.当8.用数学归纳法证明 边应增添的式子是(n 1)(n 2) (n n) =2n 1 2 :n=8时该命题不成立 D .当n=8时该命题成立(2n 1) ”( n w N +)时，从 力=卜到 n = k +1 ”时，左A. 2k +1B, 2(2k+1)2k 1C.k 19.已知n为正偶数,n =k(k之2为偶数).111用数学归纳法证明 1 -2 3 4时命题为真，则还需要用归纳假设再证2k 2D.k

6、1111= 2(、7+；+十二)时，若已假设 n 2 n 4 2nA. n=k+1时等式成立B. n=k+2时等式成立C. n= 2k+2时等式成立D. n = 2(k+2)时等式成立11 . 一同学在电脑中打出如下若干个圈：洞法一圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前120个圈中的 M勺个数是 。12 .类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB、AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：222AB +AC =BC。若二棱锥 A-BCD的二个侧面 ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则二棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为.13 .从 1=1, 1-4=-(1+2),1-

7、4+9=1+2+3,1-4+9-16=- (1+2+3+4), 推广到第 n 个等式为.14 .设平面内有n条直线 (n之3),其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f (4)=;当n 4时，f (n) =_ (用含n的数学表达式表示)。15 .观察以下各等式:sin2 300 cos2 600 sin 300 cos600 = - sin2 200 cos2500 sin 200 cos5004sin2150 cos2 450 sin150cos450 = 34分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明.

8、16 .证明下列各题：二 2n(n 2(、,为 -1)：二11 x 1 y (2)若X、y都是正实数，且x + y2,求证：2,一B , sin(- B) =c0sB同理可得sin B cosC, sin C cos A.sinA + sin B +sin C cos A + cosB+ cosC5、分析法解析要证Va一 Jb Ja -b,只需证(J一 Jb)2 (Ja _ b)2即 a + b - 2jOb a- b ,只需证b a ab ,即证b a显然b a成立，因此 日一b va 一b成立【名师指引】注意分析法的“格式”是“要证 一只需证-，而不是“因为-所以-6、反证法解析假设是f(

9、x) = 0的负数根，则X00且1且ax0=9二2二0cax01= 0曳二？1，X0 1Xo 11解得2 X0 2,这与X0 0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根一、选择题：DCABB CABBB二、填空题：11、13、三、1、解析因n是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k+2,故选B(22221412、hiBCD = SAABC + SAACD + SiABD1-4 + 9-16 + 上 1)二 J =1) n 1 1 (1 +3 + n)14、解：如图，4条直线有5个交点，故f (4) =5,由f (3) =2, f (4) =f (3) +3分析可得，从n-1条直线

10、增加为 n条直线时，交点的数目会增加 n-1, f (n) =f (n-1) +n-1,累加可得一(n -2)(n -1 2) (n -2)(n 1)f (n) -2 3 IH (n -2) (n -1)= 一 22 一 一 1.一一： 315、猜想：sin 二 +cos (a +30 ) +sin a cos(c( +30 )=- 4证明:sin2 二，coJ(二，300) sin.：cos(w 二 300)=1cosH +1+cos(60+2u)sin(3C0+2a)sin300cos(600 2：)-cos2：10=1 - 2 sin。 - 2：)-21-2sin(30 2： )sin

11、300一 =1 222101-sin(302：)-310103=-sin(302： ) -sin(30 2：)=-4 224知识点精编知识点精编不等式 12.23. n(n 1) ；g(n 1)2解析(1)当n=1时，左= J2,右=2,不等式成立1O(2)假设当n=k时等式成立，即 F2十。2，3+十、；k(k+1)(k+1)21 ,则 1 2、.2 3.,k(k 1),(k 1)(k 2) -(k 1)2, (k 1)(k 2)2(k 1)2. (k 1)(k 2) -() = (k 1)(k 2) -() () :二 022212、2 3-,k(k。，.(k 1)(k 2)，T(k F 12,当n=k+1时， 不等式也成立综合(1) (2),等式对所有正整数都成立【名师指引】(1)数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；(2)归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形；(3)由k推导到k+1时，有时可以“套”用其它证明方法，如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面 310、(1)用数学归纳法证明：n +5n能被6整除；(2)求证 n 3+(n +1)3 +(n +2)3 (ne N)能被 9 整除 11 1112、用数学归纳法证明：1 + + + +1(n w N ,且n 2).3n 10