高等数学B(上)复习资料

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1、华南理工大学网络教育学院高等数学(上)辅导一、求函数值例题：1、若 f(x) x2,(x) ex,则 f( (x) 一2解：f( (x) f(ex) exe2、若 f(x 1) 2x 1,则 f (x) .解：令x 1 t ,则x t 1所以 f(t) 2(t 1) 1 2t 3即 f(x) 2x 3二、常见的等价无穷小及等价无穷小替换原理常见的等价无穷小：x0时，x sin x tanx arcsinx arctanxxln(1 x) ex-1111 cosx x2, 1 x 1 x2 2无穷小替换原理： 在求极限过程中，无穷小的因子可以用相应的等价无穷小替换例题:, sin3 3x1、 l

2、im4 ?x 0x2解：当 x0,sin3x 3x ,lxm027 x 02、limx 0sin3x解：原式=lim 3x x 0 x1-cosx3、 lim os- ?x 0x21 o珈：当 x 0, 1- cosx x2原式=01 2 x 2_2 x4、limln。x 0 x解：当 x0, ln(1 + 3x)3x一 3x3.原式=.lim 3x x 0 x5、 limx 0e2x 1解：当 x0, e2x12x原式=.lim x 0 x2.三、多项式之比的极限1, lim3 x3x2 x2. xx 1lim -2 0 , lim -2x 3x x x 3x x四、导数的几何意义(填空题)

3、f (%)：表示曲线y “刈在点乂(乂0,”%)处的切线斜率曲线.y f(x).在点M(x0,f(x0)处的切线方程为：y f(x。) f (%)(x x。)曲线y f(x)在点M(x0,f(x0)处的法线方程为:y f(x。)丁丁x(x x。)f (x。)例题:1、曲线在点M (2,3)的切线的斜率.4 x解：y |(4 x)(4 x) (4 x)(4 x)(4 x)2_8_(4-x)22、曲线y解：ycosx在点M(0,1)处的切线方程. e(cosx)ex cosx(ex)x 2(e )xxsin xe cosxex x、2(e )所以曲线ycosx在点M(0,1)处的切线方程为: xe

4、1 (x 0),即 x y 1 03、曲线13瓦在点M (1,1)处的切线万程. x解：y2 5 2x33所以曲线y1L在点M (1,1)处的切线万程为: .x2y 1(x 1)，即 2x 3y 5 03五、导数的四则运算、复合函数的导数、微分复合函数求导的链式法则：dy dy duy f(u),u g(x) y fg(x):dx du dx或 y (x) f (u) g (x).微分：dy f (x)dx例题：1、设 y &_1，则 y ?解：y 1 x2 1 2 x2 1x一2x2 12、设 y sin x2,贝U y ?c角牛： y cosx x 2xcosx3、设 y 2sinx,则

5、dy ?解：y 2 ln2 sin x 2 cosxln 2则 dy 2sinx cosxln 2dx4、设 y sinex，则 dy ?.角牛：y cose e e cose所以 dy ex cosexdx、i丫225、设 y e ，则 dy ?(答案：2xe x dx)六、运用导数判定单调性、求极值例题：1、求y xln x的单调区间和极值.解：定义域x (0,)令y ln x 1 0,求出驻点x ex(0,e1)1 e(e1,)y-0+y单调减极小值点单调增函数的单调递减区间为(0,e1,单调递增区间为(e 1,)极小彳I为y(1)1 .e e2、求y xe x的单调区间和极值.解：定义

6、域x (,)令 y e x xex (1 x)ex 0,求出驻点 x 1x(,1)1(1,)y+0-y单调增极大值点单调减函数的单调递减区间为1,),单调递增区间为(，1),极大值为y(1) e 2 4、求函数f (x) - x x的极值.答案：极小值为y(1) 一, 3.23、求函数.f(x) ex .的单调区间和极值.解：定义域x (,)入x2令 f (x) 2xe ，得 x 0x(,0)0(0,)y+0-y单调增极大值点单调减单调递增区间：(，0),单调递减区间：(0,), 极大值为f (0) 1.2极大值为y( 1) 3七、隐函数求导例题：1、求由方程ex sin y xy2 0所确定

7、的隐函数数dy.dx解：方程两边关于x求导，得：ex cosy y (y2 2xygy) 02 x即 y y ecos y 2xy2、求由方程y cos(x y)所确定的隐函数ydydx解：方程两边同时关于 x求导，得：y sin(x y)(i y)即y y(x)的导y(x)的导数sin(x y)3、求由方程y sin(x y)所确定的隐函数y y(x)的导数dy 答案：dy cos(x y)dxdx 1 cos(x y)4、求由方程xy In x In y 0所确定的隐函数y y(x)的导数dy.答案：dy 八、洛必达法则求极限，注意结合等价无穷小替换原理 例题：-111、求极限lim -x

8、 0 e 1 sin xx解：原式limsinxx (e1)x 0 (e 1)sin x0时,sin x x, ex1 xsin x (ex 1)liml .当 xx 0x2x cosx elim x 0 2x_ _xsin x elimx 022、求极限lim 一 x 0 tan x解：原式=lim x Sinxx 0 x3x 0 时，tanxx1 cosxlim2x 0 3x2= limx 01x23x2当 x0时,1 cosx - x22e x 1 0 安,1、3、求 lim； (含菜. )x 0 x202九、原函数、不定积分的概念及其性质知识点：设F (x) f(x),则称F(x)是f

9、(x)的一个原函数, F(x) C是f(x)的全体原函数，且有：f(x)dx F(x) C例题:1、() 是函数3x x3的原函数.21432c 421412A. 3x 3 B. -x xC. x x D. x x4242解：因为 1x4 3x23x x342所以lx4 3x2是3x x3的原函数.422、（） 是函数xcosx2的原函数.2A. 2sin xB.2sin x2C.1 .一 sin2D. 1sinx22解：因为1sin x221/2、-(cosx )g2x2xcosx所以1sin x2是 2cosx2的原函数.3、Vx是(A.工2x解：因为 x的原函数B. -4-2 x12 x

10、C.In xD. Vx3所以Jx是3的原函数.2 x1 一4、（） 是函数1的原函数. xa 1r 1-,A.二 B. 二 C. lnx D. ln|x| xx1角牛:因为In | x| x所以ln |x|是1的原函数.x十、凑微分法求不定积分(或定积分)简单凑微分问题：e2xdx,cos5xdx, ln xd In x一般的凑微分问题：sin4xdx,sin x , dx, 1 cosxxV2 3x2dx ,In x ,dx x例题:解：注意到(1 x2)2x原式=/ 1 d 1 x2 参考公式dx 2 Jx C 2 ,1 x2x12、x ,2 3x2dx3x2)参考公式-2 -,xdx x

11、2 3解：注意到(2 3x2)6x原式=1 2 3x2d(2 6=1(2-3x2)3 C 93、- dx1 cosx解：注意到(1 cosx) sin x11原式=d(1 cosx)参考公式 dx ln|x| C1 cosxx=In |1 cosx | C4、ecos5xdx xdx解：原式=e5 xd(5 x)参考公式exdx ex C=e5 x C1珈：原式-cos5xd(5x)参考公式 cosxdx sinx C1 .一sin5x C 56、sin3xdx1珈：原式 -sin3xd(3x)参考公式 sin xdx cosx C1一 cos3x C 3十一、 不定积分的第二类换元法一一去根

12、号（或定积分）知识点：利用换元直接去掉根号：刀，,1 X , 1 x 等例题:解：令ex 11、求不定积分t ,则 ex t2 1x ln(t2 1)dx2tt2 1dt原式=1*dt 2*dtdt t 1.dtln|t 1| ln|t 1| Cln| ex 1 1| In 卜 ex 1 1| C2、4dx.01+ 一x解：令 JX t,则 x t2dx 2tdt当x 0寸，t 0;当x 耐，t 2席才一 2 12 t11ri+原工=2tdt 2 dt0 1+t01+t22 12( dtdt)00 1+t22(2 ln|t 1|0)2(2 In 3)3、0xx 1dx解：令，xF t,则 x

13、t2 1, dx 2tdt当x 0时，t 1;当x 1时，t J22 C原积分 1 (t2 1)t 2tdt.2422 1 (t t )dt1 12 -t5 -t353i1)十二、不定积分的分部积分法(或定积分)诸如 xsinxdx , xcosxdx ,xexdx , xe xdx ,xln xdx ,可采用分部积分法分部积分公式：u(x)dv(x) u(x)v(x) v(x)du(x)例题：1、求不定积分 xsinxdx.解 xsin xdx xd( cosx)xcosx ( cosx)dxxcosx cosxdxxcosx sin x C2、求不定积分 xexdx解 xe xdx xde

14、 xxee xdxxx cxe e C3、求不定积分xln xdx1 o珈 xln xdx In xd(- x2)1212 .-x Inx xdlnx2212%1z-x In x-xdx221 212c-x In x - x C 24十三、定积分的概念及其性质知识点：定积分的几何意义，奇偶对称性等例题：、, a 3 x21、定积分x3exdx等于.a2解：因为x3ex是x的奇函数，所以原式=0一 ,a 23 一.2、止积分 x sin xdx等于.a解：因为x2sin3x是x的奇函数，所以原式=03、定积分嗯xdx等于解：因为vsnx是x的奇函数，所以原式=o 1 x十四、变上限积分函数求导变

15、上限积分函数的导数公式(x).f(t)dt f (x) g (x)a3xF(x) f(t)dt,则 F(x) (C)a解 F(x) f(x3)g(x3)= 3x2f (x3)例题： 34x1、设函数 f (x)在a,b上连续，F (x) f(t)dt,则 F(x) a(C ).A. f(x) B. f (x3)C. 3x2f (x3) D. 3x2f (x)x222、设 f (x)1arctantdt，则f 3、设 f(x) 0 sintdt,则 f (x) sin x . 2xarctanx 十五、 凑微分法求定积分（或不定积分）思想与不定积分类似 例题：1、0 x2 , x3 1dx解：注

16、意到（x3 1） 3x2原式-x_1d（x3 1）参考公式 JXdx 3 0o .1=2（R）3909（2 & 1）十六、定积分的第二类换元法一一去根号（或不定积分,思想与不定积分类似例题：1、4 1=dx.0 1+JX解：令 jx t ,则 x t2dx 2tdt当x O寸，t 0;当x 耐，t 2原式=2 2tdt 2 2t 1 1dt01+t0 1+t22 12( dt dt)00 1+t22(2 ln|t 1|0)2(2 In 3)i 2、x、,x 1dx0解：令 Tx-7 t,则 x t2 1, dx 2tdt当x 0时，t 1;当x 1时，t J22 C原积分 1 (t2 1)t

17、2tdt-2422 1 (t t )dt加2 -t5 -t3531 (2 1)15十七、定积分的分部积分法(或不定积分)思想与不定积分类似例题：1、求定积分 2 xsin xdx . 02 xsin xdx0o2xd( cosx)XCOSX22 ( cosx)dx2 cosxdx0sin X2 12、求定积分i解 0xe Xdxxe0xdxi0xdeXxxe1e xdx0(e 1 0) e 2e 1 1十八、求平面图形面积知识点：X型积分区域的面积求法Y型积分区域的面积求法通过作辅助线将已知区域化为若干个 X型或Y型积分区域的面积求法例题:1、求由y lnx、x 0, y ln2及y ln7所围成的封闭图形的面积.解：由y lnx得x ey面积为Sln7(ey0)dyln2eylm7ln22、计算由曲线y Jx与直线y 1及x 0所围成的图形的面积.解：由y 得交点A为(1,1) y 11_面积为S (1 x)dx0x及x 2所围成的平面图形的面积.解：由yxy由 y面积为X得交点A为(2,2) 2x1得交点B为(1,1)2(X1一)dx x2ln |x|iln213、求由曲线y 1与直线y