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1、高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解三1 .(本小题满分13分)如图，已知双曲线 C:b2= 1(a0, b 与一条渐近线12交于点M, F是双曲线C的右焦点,八、.T-f(I)求证：OM_LMF；T(II)若|MF| = 1且双曲线C的离心率e的方程;(III)在(II)的条件下，直线13过点A(0,1)与双曲线C右支交于不同的两点P、并用代数方法给出证明Q且P在A、Q之间，满足AP =九AQ，试判断九的范围,解：(I) 丫右准线11 :l2 ： y = - xa2 a 二 M (一, cab一), c丁 F(c, 0),b22 a=(cab) cTMF =(c-b2ab.一) cT TO
2、M MF2,2a b2c2,2 a bOM MF、6(II) e =-1.a2 =2b2T|MF| = 1,b2 = 1, ab2 c二12,2 a b二1,2 2 b2(b2二双曲线C的方程为:2一y(iii)由题意可得0 儿1证明：设 I3： y=kx+1,点 P(xi, y1)，Q(x2, y2)fx - 2y =2,r 2 2由 得(1 2k )x -4kx +4 = 0y = kx 1: 13与双曲线C右支交于不同的两点P、Q1 -2k2 #0_ 2_2_ =16k2 +16(1 -2k2) 04k 一x1x2x1x221 -2k241 -2k22k 2k2 1k :二 01 -2k
3、2 :二 011分T-fA AP =九AQ ,二(Xi,y 1 -1)二九(X2, y2-1),得 x1 = &x 2(1 :： )x2(1)24k1 -2k16k_2-4(1 -2k )、,24x 2 :一21 -2k24k22-22k -122k2 -1、2:-1 k -，2,0 :二 2k2 -1：1,(1 丁 ；)242-210二九的取值范围是(0,1)13分2.(本小题满分13分)(x 三 0)已知函数f(x)=nx -(n -1) f(n -1)(n -1 x S(n) -S(n -1)对一切nN恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，
4、请说明理由.(IV)请构造一个与an有关的数列bn,使得lim(b1 +b2 Pfbn)存在，并求出 n .二这个极限值.解：(I)n N *,f (n) = n n -(n - 1) - f(n -1) = n f (n - 1)f (n) -f (n -1) = n1 分.f(1) -f(0) =1f(2) -f(1) =2f(3) -f(2) =3f(n) -f(n -1) = n将这n个式子相加，得f(n) -f(0) =12 3-+n = n(n 1)f(0) = 0n(n - 1)f(n)= 一(n N*)(II) S(n) S(n 1)为一直角梯形(n=1时为直角三角形)的面积，
5、该梯形的两底边的长分别为f(n1), f(n),高为1. S(n) -S(n -1)f(n -1) f(n) / an an1 1 n(n r 1) n(n 1) _ nV 一1005 nr , 10054 2010 ,2008, 2010, 2012,，29982222又 M =2000, 2002,(III)设满足条件的正整数N存在，则j.N=2010, 2012,，2998均满足条件它们构成首项为2010,公差为2的等差数列.设共有m个满足条件的正整数 N,则2010+2（m 1） =2998,解得m=495二M中满足条件的正整数 N存在，共有495个，N min =20109分(IV)
6、设 bn =工，即*=2 =2(-)11111ann(n 1) n n 110分3 b2%=2（1一2）（万一3） （3Y）（丁二） 一 百）显然，其极限存在，并且 lim( b1 , b2，-bn) = lim 2 - n_Jn 5 _2an2an注：bn= （c为非零常数），bn =（）在，bn =q（0|q1）等都能使 an2呵b1 +b2+一十bn）存在.19.（本小题满分14分）22设双曲线yT-=1的两个焦点分别为E、F2,离心率为2.a 3（I）求此双曲线的渐近线lP 1的方程;（II）若A、B分别为 卜l2上的点，且21AB| = 5尸/2 ,求线段AB的中点M的轨迹 方程，并
7、说明轨迹是什么曲线；（III）过点N（1, 0）能否作出直线l,使l与双曲线交于 P、Q两点，且OP - OQ = 0.若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.解：（I） 丫 e = 2,二 c2 =4a2丫 c2 =a2 +3,二 a =1, c=2x23，双曲线万程为y - - = 1,渐近线方程为 y=x4分33(II)设 A(X1,必)，B(X2, V2)，AB 的中点 M(x, y)- 2|AB|=5|FiF2|55.|AB|= |F1F2| = 2c=1022，、(x1 - x2)(yl - y2) 103 3乂y1=干*1，y2=-丁X2，2x=X+x2，2y = y1+y
8、2 333 ,、3 ,、二 y1 f = -(X1 X2), y1 -y2 = -(X1 +X2)33_.2.J 1-/3( yi -y2)2 -XiX2)二 1022二 3(2y)2 +1(2x)2 =100,即+3y- = 137525则M的轨迹是中心在原点，焦点在 x轴上，长轴长为10工3,短轴长为但3的椭圆.3(9分)(III)假设存在满足条件的直线l设 l: y=k(x1), l 与双曲线交于 P(x1，y1)、Q(x2, y?)丁 Op - OQ =0x1 x2y1y2 =0,2 ,.X1X2k (X1 -1)(X2 一 1) = 0X1 x?k2 IX1X2 - (X1x?) 1
9、1 = 0(i)y =k(x -1)由1 2 x2得(3k 1)x2 6k2x + 3k2 3 = 0y =13贝反 +X2 二-6k一 , X1X23k -13k2 -33k2 -1(ii)由(i) (ii)得 k2 +3 =0k不存在，即不存在?t足条件的直线l .14分3.(本小题满分13分)已知数列QJ的前n项和为Sn(nw N*),且Sn =(m + 1)man对任意自然数都成立，其中m为常数，且m 2, n w N )，试问当m为何值时,nlim bn(lgan)=nlim 3(b1b2 +b2b3 +b3b4 +13分+4力)成立?解：(I)由已知 Sn 1 = (m 1) -
10、man .1Sn=(m+1)man(2)由(1) (2)得：an书=man man书，即(m +1)an41 = man对任思n匚N者B成立. m为常数，且m =1(a b 0)的左焦点为F ,上顶点为 A ,过点A与AF垂直的直 a2 b2线分别交椭圆和 x轴正半轴于P, Q两点，且P分向量AQ所成的比为8： 5.(1)求椭圆的离心率;(2)若过A,Q, F三点的圆恰好与直线l : x + J3y+3 = 0相切，求椭圆方程.解：(1)设点 Q(x0,0),F(-c,0),其中 c = Ja2 b2,A(0,b).85由P分AQ所成的比为8 ： 5,得P( x, b),1313(183)22
11、 X0*2=1 =3X。= -a.,2而 FA = (c,b), AQ = (x，七)，FA _L AQ ,2b2_FA AQ = 0 .cx0 -b =0, X0 =.,c由知 2b2 =3ac,，2c2 +3ac 2a2 =0.212e2 +3e -2 =0:e =.2b2 _ 2(2)满足条件的圆心为 O7。C ,0)2c.22b -c2c圆半径r2 _c2 _c2= c,. O(c,0)，2cI c 3 I 由圆与直线l ： x +，3y+3=0相切得，匕上=2,222又 a = 2c,/. c = 1,a = 2,b = J3 .，椭圆方程为+ = 1 .432分4分5分6分8分10
12、分125.(本小题满分14分)（理）给定正整数n和正数b ,对于满足条件a1 -an；2b的所有无穷等差数列an,y取最大值时 bn的首项和公差.试求y =an书+and2 + 十a2n4的最大值，并求出（文）给定正整数n和正数b ,对于满足条件a1 _an噂2 =b的所有无穷等差数列an,试求y =an中+an* +a2n4的最大值，并求出y取最大值时 n的首项和公差.（理）解：设aj公差为d ,则an =a1 +nd,nd =an省a1 .3分y -an 1 - an .2 a2n 1=an 1(an 1 d) (an 1 nd)=(n 1)an i (1 2 n)dn(n 1)=(n 1
13、)an1 Ld二(n 1)(% 1 nd) = (n 1)(an 1 an 12- & )n 1 一八=-T- (3an + -a1)-7 分222又 a1 一an书之 b,，a1 W-b-an书.c.23an 1 a1 - -an 1c ，3、3an 1 - b = Tan 1 - 2)an + = 2时，等号成立.n 1.y = -2 (3an 1 - a1) -(n 1)(9 -4b)11分13分:94b 3当数列Gn 首项a1 =b + 一 ,公差d =-时,44n(n 1)(9-4b)y的最大值为(n 1)(9 -4b)14分（文）解：设 和）公差为d ,则an+=a +nd,nd
14、=an书a1 .3分y = an 1 , an 2 a2n 1=an 1(an 1 d)(an 1 nd)=(n 1 (1 2 n)dn(n 1)nd、二(n 1)an 1d =(n 1)0 1 万)= (n+1)(an+ +an*2 a1) =n(3an+ a1)，6 分p2.2又 al - an 1 - b,-al - -b - an 12二一an 13 29 -4b 9-4b3an 1 - b = -(an 1 -二)-24411分一.3当且仅当书二2时，等号成立.n 1 。、 (n 1)(9 -4b) - y = - - (3an 书-a1) =-28 ,94b 3当数列an 首项a1
15、 =b + ,公差d =时,44n，y的最大值为(n+1)(9-4b).8(n 1)(9-4b)13分14分6.(本小题满分12分)A1、A2分别为双曲线的垂直于x轴的直线交双曲线 x2 -2y2 =2于M、N不同两点,左顶点和右顶点，设直线AM与A2N交于点P (xo, y)(I)证明：x2 2y2为定值;x0(n)过p作斜率为-一0-的直线i,原点到直线i的距离为d,求d的最小值.2y0解(I)证明：设 M(Xi，yj 则 N(Xi，yj” 人(72,0), A2(点,0)一直线A M的方程为y =无尸(x + v, 2)x12直线A2N的方程为y = y1_ (x - 2)4分Xi -
16、22x，得 y2 =(x2 -2)x1 -2丁 X12 -2yf =2y2 = ：(x2 2)，即x2 +2y2 =21 P(x0, y0)是直线AM与A2N的交点. x2 2y2 =2为定值,一8分(n) l 的方程为 y y。=旦(xX0), 结合 X2 +2y2=2 整理得 X0x+2yy2 =0 2y02x24y2222 2y2，1 y210分Tx：+2y2=2 a yo 0,二 f (x)为增函数又f(x)在区间0,回上连续所以f(0) f(x) f(H),求得0 f(x) 口即f(x)的值域为0吊4分2fQ) f(x)一 f (2；X)，即 g(x)= 3sin J3,、1 ,2u x、八g (x) = 一( -cosx +cos)6分33x 0,二(0,二)21 x(0,二)3由g (x) =0,得* =6二当x亡(0,日)时,g (x) 0, g(x)为增函数8分丫 g(x)在区间0,叫上连续则gC)为g(x)的最小值对xW0,叫有g(x)之 g(6)=02f C) f (x)21 x 八因而一口Lf (厂1吩33数时2”(xUx)14分本资料来源于七彩教育网
高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解三
