微分几何第2章曲面论第三节曲面的第二基本形式

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1、10/12/20213 曲面的第二基本形式1.1.曲面的第二基本形式；曲面的第二基本形式；2.2.曲面上曲线的曲率；曲面上曲线的曲率；3.3.Dupin指标线；指标线；4.4.曲面的渐近方向和共轭方向；曲面的渐近方向和共轭方向；5.5.曲面的主方向和曲率线；曲面的主方向和曲率线；6.6.曲面的主曲率、曲面的主曲率、Gauss曲率和平均曲率；曲率和平均曲率；7.7.曲面在一点邻近的结构；曲面在一点邻近的结构；8.8.Gauss曲率的几何意义曲率的几何意义.3.1 曲面的第二基本形式曲面的第二基本形式1.1.切平面到曲面上点的无穷小有向距离切平面到曲面上点的无穷小有向距离2),(: )(Cvurr

2、S .P: )(C)(),(svvsuu )(),(svsurr 或或)(sQ.)(ssP .n，nPQ ).)(的的离离差差上上的的点点到到曲曲面面为为平平面面其其中中PS . 下下面面计计算算nPQ nPPQP )(nPPnQP nPP .O)(sr)(ssr nsrssr )()(nsrsr )(212 2)(21snrn )0(时时 s2)(21srn 221dsrn .22dsrn 即即dsdvrdsdurrvu 22dtrdr 22dsudrdsdudsdvrdsduruuvuu 22dsvdrdsdvdsdvrdsdurvvvvu 222222)()(dsvdrdsudrdsdv

3、rdsdvdsdurdsdvdsdurdsdurvuvvvuuvuu 2dsrn 22222vdrudrdvrdudvrdurnvuvvuvuu 22)()(2)(dvnrdudvnrdunrvvuvuu .,nrNnrMnrLvvuvuu 令令rdndsrn 222 则则222NdvMdudvLdu 2.2.曲面的第二基本形式曲面的第二基本形式定义定义的的二二次次微微分分形形式式关关于于dvdu,222NdvMdudvLdu .式式称称为为曲曲面面的的第第二二基基本本形形.表表示示用用II即即22222NdvMdudvLdurdndsrnII 其其中中nrNnrMnrLvvuvuu ,.量量

4、称称为为曲曲面面的的第第二二类类基基本本注注义义：第第二二基基本本形形式式的的几几何何意意.2 II计算公式：计算公式：用用定定义义计计算算：)1(nrNnrMnrLvvuvuu ,)2(vuvurrrrn 2FEGrrvu ,),(2FEGrrrLvuuu ,),(2FEGrrrMvuuv .),(2FEGrrrNvuvv .但但不不是是正正定定的的)3(在在切切平平面面上上，vurr,，0, 0 nrnrvu求求微微分分得得：上上式式两两边边关关于于vu, 0 uuuunrnr, 0 uvvunrnr, 0 vuuvnrnr, 0 vvvvnrnr与与定定义义比比较较可可知知：,uuuun

5、rnrL vuuvnrnrM ,uvnr .vvvvnrnrN rdndII )4(事事实实上上，0 rdn，02 rdnrdnd.2rdndrdnII 故故).,(:)()5(yxfzS 若若曲曲面面，则则),(,yxzyxr ，于是于是, 0 , 1prx ，, 1 , 0qry ，其中其中yfqxfp ，, 0 , 0rrxx ，, 0 , 0srxy ，, 0 , 0tryy .22222yftyxfsxfr ，.)1(2)1(2222dyqpqdxdydxpI yxyxrrrrn .11 ,22qpqp nrLxx ,122qpr nrMxy ,122qps nrNyy ,122qp

6、t 222222221121dyqptdxdyqpsdxqprII 例例1 1.sin,sincos,coscos的的第第二二基基本本形形式式求求球球面面 RRRr 解：解：cos,sinsin,cossin RRRr 0 ,coscos,sincos RRr ,cos222 RrE , 0 rrF,22RrG 2FEGrrn cossinsincossin0coscossincoscos13212RRRRReeeR sin,sincos,coscos 0 ,sincos,coscos RRr 又又0 ,cossin,sinsin RRr sin,sincos,coscos RRRr nrL

7、nrM nrN ,cos2 R , 0 ,R ：球球面面的的第第二二基基本本形形式式为为).cos(222 RddRII 例例2 2.)(22的的第第一一和和第第二二基基本本形形式式计计算算抛抛物物面面yxaz 解：解：，ayyzqaxxzp22 .20222222ayztyxzsaxzr ，.)41(8)41(2222222dyyaxydxdyadxxa 222222221121dyqptdxdyqpsdxqprII 222222222244124412dyyaxaadxyaxaa 2222)1(2)1(dyqpqdxdydxpI 3.2 曲面上曲线的曲率曲面上曲线的曲率.P.P1.1.曲面

8、上曲线的曲率曲面上曲线的曲率),(: )(vurrS P.)(C)(),(svsurr )(),(svvsuu n由由伏伏雷雷内内公公式式，, kr .)(点点的的曲曲率率在在为为曲曲线线其其中中PCkr nknr 则则,cos k 22dsrdnrn 又又22dsrdn .III 222222cosGdvFdudvEduNdvMdudvLduIIIk 2.2.法截线、法曲率法截线、法曲率.PSdvdud:)( n法法截截面面)(0C法法截截线线,)(00kPC的的曲曲率率为为在在点点设设法法截截线线,0 主主法法向向量量为为,0n 则则,0),(00 或或 n0 ndvdud:)( .PS)

9、(0C法法截截线线0 法法截截面面,0IIIk ,0IIIk 即即,的的正正侧侧弯弯曲曲时时取取正正号号法法截截线线向向 n.的的负负侧侧弯弯曲曲时时取取负负号号法法截截线线向向 n定义定义)(法法曲曲率率为为：的的法法曲曲率率曲曲面面在在给给定定点点沿沿一一方方向向nk 的的负负侧侧弯弯曲曲法法截截线线向向的的正正侧侧弯弯曲曲法法截截线线向向nknkkn00,0IIIk ,的的正正侧侧弯弯曲曲时时取取正正号号法法截截线线向向 n.反反之之取取负负号号,IIIkn ,)()(0PCC相相切切于于点点和和法法截截线线设设曲曲面面上上的的曲曲线线.)(点点的的曲曲率率在在为为曲曲线线其其中中PCk

10、,cosIIIk coskkn 所所以以，若若令令nnkRkR1,1 则则 cosnRR 的的曲曲率率半半径径，是是曲曲线线其其中中)(CR的的曲曲率率半半径径，是是法法截截线线)(0CRn.称称为为法法曲曲率率半半径径梅梅尼尼埃埃定定理理定理定理)(梅梅尼尼埃埃定定理理.)()()()(00的的密密切切平平面面上上的的投投影影曲曲线线在在的的曲曲率率中中心心上上同同一一点点具具有有共共同同切切线线的的法法截截线线就就是是与与曲曲线线曲曲率率中中心心的的在在给给定定点点曲曲面面曲曲线线CCPCCCPCn)(d.PS)(0C法法截截线线法法截截面面)(C密密切切平平面面C0C coskkn 即即

11、 cosnRR 梅梅尼尼埃埃定定理理R例例3 3.:)0 , 0(222的的法法曲曲率率沿沿方方向向在在点点求求曲曲面面dydxyxz 解：解：，yyzqxxzp42 . 40222222 yztyxzsxzr，.)161(16)41(2222dyyxydxdydxx 222222221121dyqptdxdyqpsdxqprII 22222284148412dyyxdxyx 2222)1(2)1(dyqpqdxdydxpI .422222)0,0()0,0(dydxdydxIIIkn 例例4 4.理理在在球球面面上上验验证证梅梅尼尼埃埃定定证：证：P.n)(0C)(C C3.3 杜邦杜邦(D

12、upin)指标线指标线)(d.P222222GdvFdudvEduNdvMdudvLduIIIkn .:的的变变化化而而变变化化随随着着方方向向dvdu，上上取取一一点点点点沿沿切切方方向向在在NdvdudP:)( ),0(1 nnkkPN使使N改改变变，随随切切方方向向)(d点点的的轨轨迹迹N .)(点点的的杜杜邦邦指指标标线线在在称称为为曲曲面面PS定义定义)(S方程方程urvr下下，在在标标架架,;vurrP),(yx,vuryrxPN IIIkryrxnvu 1)(2IIIyrxyrrxrvvuu 22222222222222NdvMdudvLduGdvFdudvEduGyFxyEx

13、即即,/)/(dvrdurdPNvu ,:yxdvdu 上上式式化化为为：222222222NyMxyLxGyFxyExGyFxyEx 1222 NyMxyLx1222 NyMxyLx注注.)1(的选取无关的选取无关杜邦指标线的方程与杜邦指标线的方程与n.)2(为中心的有心二次曲线为中心的有心二次曲线表示以表示以杜邦指标线的方程一般杜邦指标线的方程一般P.)3(上的一条曲线上的一条曲线杜邦指标线是在切平面杜邦指标线是在切平面形状形状1222 NyMxyLx，若若0)1( NML.杜杜邦邦指指标标线线不不存存在在不不全全为为零零，若若NML,)2(时时，当当022 MLNNMMLI.杜杜邦邦指指

14、标标线线为为椭椭圆圆时时，当当022 MLNNMMLI，03 I.的的双双曲曲线线杜杜邦邦指指标标线线为为一一对对共共轭轭时时，当当022 MLNNMMLI,00 NMML.直直线线杜杜邦邦指指标标线线为为两两条条平平行行曲面上点的分类曲面上点的分类，）如如果果（012 MLN.为为曲曲面面的的椭椭圆圆点点则则称称点点P.椭椭圆圆此此时时，杜杜邦邦指指标标线线为为一一，）如如果果（022 MLN.为为曲曲面面的的双双曲曲点点则则称称点点P.对对共共轭轭双双曲曲线线此此时时，杜杜邦邦指指标标线线为为一一不不全全为为零零，但但）如如果果（MNLMLN,032 .为为曲曲面面的的抛抛物物点点则则称称

15、点点P.对对平平行行直直线线此此时时，杜杜邦邦指指标标线线为为一一，）如如果果（04 MNL.为为曲曲面面的的平平点点则则称称点点P.在在此此时时，杜杜邦邦指指标标线线不不存存3.4 曲面的渐近方向和共轭方向曲面的渐近方向和共轭方向复习复习0222),(33231322212211 ayaxayaxyaxayxF二次曲线二次曲线1. 渐近方向渐近方向定义：定义：YXYaXYaXaYX:02),(22212211的的方方向向满满足足 曲线的分类：曲线的分类： 椭圆型椭圆型没没有有实实渐渐近近方方向向抛物型抛物型只只有有一一个个实实渐渐近近方方向向双曲型双曲型有有两两个个实实渐渐近近方方向向; 0

16、2 I; 02 I. 02 I叫做二次曲线的渐近方向叫做二次曲线的渐近方向.2. 中心中心定义：定义： 如果点如果点C是二次曲线的通过它的所有弦的中点是二次曲线的通过它的所有弦的中点那么点那么点C叫做二次曲线的叫做二次曲线的中心中心. .求法：求法： 0),(0),(23221221312111ayaxayxFayaxayxF中心方程组中心方程组曲线的分类：曲线的分类： 中心曲线中心曲线)1(非非中中心心曲曲线线)2(，0221212112 aaaaI，0221212112 aaaaI无心曲线无心曲线)(i.323122121211aaaaaa 线心曲线线心曲线)(ii.32312212121

17、1aaaaaa 3. 直径直径定义：定义： 也叫做共轭于平行弦方向的直径也叫做共轭于平行弦方向的直径.二次曲线的平行弦中点轨迹叫做二次曲线的二次曲线的平行弦中点轨迹叫做二次曲线的直径直径，4. 共轭方向共轭方向定义：定义：求法：求法：.:,:的的共共轭轭方方向向叫叫做做非非渐渐近近方方向向方方向向的的直直径径的的方方向向二二次次曲曲线线共共轭轭于于非非渐渐近近YXYXYX 0)(221211 YYaYXYXaXXa5. 主直径与主方向主直径与主方向定义：定义： 主直径的方向与垂直于主直径的方向主直径的方向与垂直于主直径的方向都叫做二次曲线的都叫做二次曲线的主方向主方向二次曲线的垂直于其共轭弦的

18、直径二次曲线的垂直于其共轭弦的直径叫做二次曲线的叫做二次曲线的主直径主直径，1.1.曲面的渐近方向曲面的渐近方向向向的的杜杜邦邦指指标标线线的的渐渐近近方方在在点点曲曲面面PS)(定义定义.)(的的渐渐近近方方向向在在点点叫叫做做曲曲面面PS1222 NyMxyLx杜杜邦邦指指标标线线的的方方程程为为：是是渐渐近近方方向向的的方方向向在在点点曲曲面面dvduPS:)(. 0222 NdvMdudvLdu渐近方向方程渐近方向方程注注渐近方向的个数渐近方向的个数)1(，若若02 MLN即即椭椭圆圆点点，.有有两两个个虚虚渐渐近近方方向向即即双双曲曲点点，若若0 MNL，若若02 MLN.有有两两个

19、个实实渐渐近近方方向向，若若02 MLN即即抛抛物物点点，.有有一一个个实实渐渐近近方方向向即即平平点点，.任任何何方方向向都都是是渐渐近近方方向向，222222GdvFdudvEduNdvMdudvLduIIIkn )2(. 0: nkdvdu是是渐渐近近方方向向曲曲面面上上的的曲曲线线，定义定义方方向向都都是是如如果果它它上上面面每每一一点点的的切切渐渐近近方方向向，.则则称称为为渐渐近近曲曲线线. 0222 NdvMdudvLdu渐渐近近曲曲线线的的方方程程为为：命题命题1 1.,曲曲线线则则它它一一定定是是曲曲面面的的渐渐近近如如果果曲曲面面上上有有直直线线证证: :, 0 k直直线线

20、, 0cos kkn沿沿直直线线方方向向的的法法曲曲率率，即即0222 NdvMdudvLdu.直直线线是是曲曲面面的的渐渐近近曲曲线线.是是直直纹纹面面的的渐渐近近曲曲线线直直纹纹面面上上的的直直母母线线一一定定注注命题命题2 2.)()()()(在在该该点点的的切切平平面面在在每每一一点点的的密密切切平平面面为为是是渐渐近近曲曲线线上上异异于于直直线线的的曲曲线线曲曲面面SCCS证证: :”“的的渐渐近近曲曲线线，是是曲曲面面若若曲曲线线)()(SC, 0)( nkC 有有则则沿沿曲曲线线得得由由0cos kkn, 0cos0 或或k曲曲线线不不是是直直线线，, 0 k, 0cos 故故,

21、2),( n,n 即即,n 又又,/ n.)()(在在该该点点的的切切平平面面在在每每一一点点的的密密切切平平面面为为SC”“.)()(在在该该点点的的切切平平面面在在每每一一点点的的密密切切平平面面为为若若SC,n 则则,2),( n，从从而而0cos kkn.)()(的的渐渐近近曲曲线线是是曲曲面面曲曲线线SC定理定理.)()()()(的的切切平平面面重重合合平平面面与与或或者者它它在在每每一一点点的的密密切切是是直直线线或或者者是是渐渐近近曲曲线线上上的的曲曲线线曲曲面面SCCS注注.平平面面的的渐渐近近曲曲线线平平面面上上每每一一条条曲曲线线都都是是定义定义的的渐渐近近曲曲线线网网称称

22、为为曲曲面面曲曲线线网网上上两两族族渐渐近近曲曲线线构构成成的的曲曲面面)()(SS注注只只含含椭椭圆圆点点的的曲曲面面上上， 无无渐渐近近曲曲线线， 也也无无渐渐近近曲曲线线网网；只只含含双双曲曲点点的的曲曲面面上上，由由于于02 MLN曲曲线线，经经过过每每一一点点有有两两条条渐渐近近有有两两组组解解：即即渐渐近近曲曲线线方方程程0222 NdvMdudvLdu，011 dvBduA，022 dvBduA它它们们构构成成渐渐近近曲曲线线网网；. )(简简称称渐渐近近网网只只含含抛抛物物点点的的曲曲面面上上，由由于于02 MLN, 0)(02222 BdvAduNdvMdudvLdu可可化化

23、为为有有一一组组渐渐近近曲曲线线，只只含含抛抛物物点点的的曲曲面面上上只只也也无无渐渐近近曲曲线线网网；只只含含平平点点的的曲曲面面上上，由由于于0 MNL.是是渐渐近近曲曲线线网网曲曲面面上上的的任任何何曲曲线线网网都都命题命题3 3. 0 NL曲曲纹纹坐坐标标网网是是渐渐近近网网证证: :”“. 0222 NdvMdudvLdu渐渐近近网网的的方方程程为为：. 0 dudv曲曲纹纹坐坐标标网网的的方方程程为为：. 00 dvdu或或即即，若若曲曲纹纹坐坐标标网网是是渐渐近近网网. 00 dvdu或或则则. 0 NL代代入入渐渐近近网网的的方方程程得得：”“，若若0 NL. 02 Mdudv

24、则则渐渐近近网网方方程程变变为为：，0 M. 0 dudv.即即渐渐近近网网是是曲曲纹纹坐坐标标网网2.2.共轭方向共轭方向定义定义方方向向，点点的的杜杜邦邦指指标标线线的的共共轭轭在在是是和和点点的的两两个个方方向向在在若若曲曲面面PSdPS)()()()( .)()()(点点的的共共轭轭方方向向在在就就称称为为曲曲面面和和则则PSd . 1222 NyMxyLx杜杜邦邦指指标标线线的的方方程程为为于于是是有有定理定理共共轭轭和和两两个个方方向向vudvdud :)(:)( . 0)( vNdvudvvduMuLdu . 00 rdnrnd 或或即即事事实实上上，)()(vrurdvndun

25、rndvuvu vNdvudvvduMuLdu )(. rdn 共共轭轭和和两两个个方方向向vudvdud :)(:)( . 00 rdnrnd 或或定义定义曲曲线线网网，曲曲面面上上两两族族曲曲线线构构成成的的方方向向都都共共轭轭，如如果果不不同同族族的的曲曲线线的的切切.曲曲线线网网则则称称这这个个曲曲线线网网为为共共轭轭命题命题曲曲线线族族)0(0),(),(22 BAdvvuBduvuA是是共共轭轭曲曲线线族族的的微微分分方方程程证：证：线线族族的的切切方方向向，是是已已知知曲曲线线族族的的共共轭轭曲曲设设vu :由由共共轭轭条条件件得得：. 0)()( vANBMuAMBL 0 Bd

26、vAdu且且 0)()(0dvvNuMduvMuLBdvAdu 于于是是方方程程组组.,的的二二元元齐齐次次线线性性方方程程组组是是关关于于dvdu. 0)( vNdvudvvduMuLdu 不不全全为为零零，dvdu,0 vNuMvMuLBA 展展开开整整理理得得：. 0)()( vANBMuAMBL 特特别别地地，：的的共共轭轭曲曲线线族族的的方方程程为为曲曲线线族族0 dvu. 0 vMuL 曲曲线线族族曲曲线线族族的的共共轭轭曲曲线线族族为为 vu. 0 M命题命题4 4. 0 M轭轭网网曲曲面面的的曲曲纹纹坐坐标标网网是是共共3.5 曲面的主方向和曲率线曲面的主方向和曲率线1.1.主

27、方向主方向定义定义的的两两个个方方向向，曲曲面面在在一一点点 P，如如果果它它们们既既正正交交又又共共轭轭.的的主主方方向向则则称称为为曲曲面面在在点点 P问题：问题：是否存在？是否存在？曲面在一点处的主方向曲面在一点处的主方向有多少个？有多少个？若存在若存在,是主方向，是主方向，设方向设方向dvdud:)( 是是另另一一个个主主方方向向，vu :)( 它它们们既既正正交交又又共共轭轭， 00nrdrrd .0)(0)( vNdvudvvduMuLduvGdvudvvduFuEdu 即即将将以以上上两两式式改改写写为为： 0)()(0)()(vNdvMduuMdvLduvGdvFduuFdvE

28、du 不不全全为为零零，vu ,0 NdvMduMdvLduGdvFduFdvEdu上上式式还还能能写写成成：022 NMLGFEdududvdv反反之之， 将将上上述述过过程程逆逆推推可可知知，.)()(为主方向为主方向和和 d(*).(*)为为主主方方向向方方程程方方程程展展开开得得：将将022 NMLGFEdududvdv0)()()(22 dvGMFNdudvGLENduFLEM的的二二次次方方程程，这这是是关关于于dvdu:)(4)(2GMFNFLEMGLEN . 0)()( 4)(2)(2222 FLEMEFEGFLEMEFGLEN.(*)总总有有解解方方程程0,0 FLEMGLE

29、N又又.0NGMFLE 即即.,每每一一个个方方向向都都是是主主方方向向此此时时.(*),总总有有两两个个不不相相等等的的实实根根方方程程除除此此之之外外.两两个个主主方方向向曲曲面面在在每每一一个个点点处处总总有有定义定义.的的点点称称为为曲曲面面的的脐脐点点曲曲面面上上满满足足NGMFLE .0的的脐脐点点称称为为平平点点满满足足 NML.0,的的脐脐点点称称为为圆圆点点不不全全为为满满足足NML，不不全全为为圆圆点点平平点点脐脐点点 0,0NMLNML注注在在脐脐点点处处，(1)，常常数数)(222222 GdvFdudvEduNdvMdudvLduIIIkn.率率都都相相等等在在脐脐点

30、点沿沿任任何何方方向向法法曲曲在在脐脐点点处处，(2)，0 .任任何何方方向向都都是是主主方方向向在在非非脐脐点点处处，0 .只只有有两两个个主主方方向向.有有两两个个主主方方向向曲曲面面在在每每一一个个点点处处至至少少例例5 5.是是平平点点证证明明平平面面上上每每一一个个点点都都证：证：0 ,yxr 平平面面方方程程为为：,0 , 0 , 1 xr0 , 1 , 0 yr,0 , 0 , 0 xxr,0 , 0 , 0 yxxyrr,0 , 0 , 0 yyr, 0 NML.点点平平面面上上每每一一个个点点都都是是平平例例6 6.是是圆圆点点证证明明球球面面上上每每一一个个点点都都证：证：

31、sin,sincos,coscos: RRRr 球球面面方方程程为为cos,sinsin,cossin RRRr 0 ,coscos,sincos RRr ,22RrE , 0 rrF,cos222 RrG 2FEGrrn sin,sincos,coscos 又又0 ,cossin,sinsin RRr sin,sincos,coscos RRRr nrL nrM nrN ,R , 0 ,cos2 R 0 ,sincos,coscos RRr ,RNGMFLE . 0,不不全全为为且且NML.点点球球面面上上每每一一个个点点都都是是圆圆.1RIIIkn 沿沿任任何何方方向向法法曲曲率率,22R

32、rE , 0 rrF,cos222 RrG 主方向的判别定理主方向的判别定理)(罗罗德德里里格格定定理理rdnddvdud 是是主主方方向向曲曲面面在在一一点点处处的的方方向向:)(.)(,的的法法曲曲率率）是是曲曲面面沿沿方方向向（其其中中dkknn 证：证：”“,)(是是主主方方向向设设 d的的另另一一个个主主方方向向，是是垂垂直直于于)()(d ,则则它它们们既既垂垂直直又又共共轭轭， 00nrdrrd 是是单单位位向向量量，n,nnd ,nrrd 又又,都都在在切切平平面面上上与与rrdnd , rrdnd 得得：两两边边点点乘乘 r ,)()(2rrrdrnd , 0)(2 r ,

33、0 r 而而, 0 . rdnd ”“,)(rdndd 满满足足若若方方向向，垂垂直直的的方方向向取取与与)()( d，则则0 rrd 得得：两两边边点点乘乘 rrdnd , 0)( rrdrnd ,)()(既既垂垂直直又又共共轭轭与与 d.)(是是主主方方向向故故 d.nk 下下面面计计算算,得得由由rdnd ,2rdrdnd 2rdrdnd III .nk 注注出出，由由罗罗德德里里格格定定理理可可以以看看)1(是是主主方方向向，欲欲证证)(d./ ndrd只只需需证证.2叫叫罗罗德德里里格格方方程程）（rdnd 2.2.曲率线与曲率线网曲率线与曲率线网定义定义曲曲面面上上一一曲曲线线，向

34、向都都是是主主方方向向，如如果果它它在在每每一一点点的的切切方方曲曲率率线线，则则称称该该曲曲线线为为曲曲面面上上的的.线线网网称称为为曲曲率率线线网网由由两两族族曲曲率率线线构构成成的的曲曲方程方程022 NMLGFEdududvdv命题命题.标标网网可可使使曲曲率率线线网网为为曲曲纹纹坐坐，经经过过参参数数的的选选择择，在在不不含含脐脐点点的的曲曲面面片片上上证：证：曲曲率率线线网网的的微微分分方方程程为为022 NMLGFEdududvdv0)()()(22 dvGMFNdudvGLENduFLEM即即曲曲面面上上不不含含脐脐点点，对对任任意意一一点点都都有有0 得得两两族族曲曲率率线线

35、：故故上上式式可可通通过过因因式式分分解解)2 , 1(0 idvBduAii是是它它们们的的积积分分因因子子，则则设设)2 , 1( ii 的的全全微微分分，为为vudvBduAdvBduA,22221111 ,22221111 dvBduAvddvBduAud 即即,),(),( vuvvvuuu这这相相当当于于作作参参数数变变换换且且其其雅雅可可比比行行列列式式. 0),(),(22112122221111 BABABABAvuvu . 0, 0, vdudvu为为新新参参数数，且且.的的曲曲纹纹坐坐标标网网于于是是曲曲率率线线网网就就成成为为新新注注.标标网网线线网网都都可可以以选选为

36、为曲曲纹纹坐坐曲曲面面上上任任何何一一个个正正规规曲曲类类似似可可以以证证明明：命题命题5 5. 0 MF曲曲纹纹坐坐标标网网是是曲曲率率线线网网例例7 7.求求旋旋转转曲曲面面的的曲曲率率线线)(,sin)(,cos)(tttr 旋旋转转曲曲面面的的方方程程为为解：解：0 ,cos,sin r,sin,cos tr,sin,cos ttr,0 ,cos,sin tr0 ,sin,cos r,sin,cos rrt0 MF.网网曲曲率率线线网网就就是是曲曲纹纹坐坐标标.和和纬纬圆圆组组成成的的曲曲线线网网即即曲曲率率线线网网就就是是子子午午线线3.6 曲面的主曲率、高斯曲率和平均曲率曲面的主曲

37、率、高斯曲率和平均曲率1.1.主曲率主曲率定义定义.的的主主曲曲率率曲曲面面在在此此点点沿沿主主方方向向的的法法曲曲率率称称为为曲曲面面在在一一点点P),(: )(vurrS P网网，取取曲曲率率线线网网为为曲曲纹纹坐坐标标. 0 MF则则dvdud:)( 22GdvEduI 22NdvLduII ,2222GdvEduNdvLduIIIkn urvr,1ELku 曲曲线线的的主主曲曲率率沿沿,2GNkv 曲曲线线的的主主曲曲率率沿沿),(: )(vurrS Pdvdud:)( urvr rdrrdruu cos则则22)()(dvrdurrdvrdurrvuuvuu ,22GdvEduEEd

38、u ,cos2222GdvEduEdu ,cos1sin22222GdvEduGdv 2222GdvEduNdvLdukn 222222GdvEduGdvGNGdvEduEduEL .sincos2221 kk .sincos2221 kkkn 欧欧拉拉公公式式),(: )(vurrS Pdvdud:)( urvr .sincos2221 kkkn 欧欧拉拉公公式式注注.)()1(欧欧拉拉公公式式仍仍然然成成立立，的的夹夹角角与与换换成成若若将将角角 vrd事事实实上上，)2(sin)2(cos2221 kkkn 2221cossinkk .sincos2122 kk 2 .)2(然然成成立立

39、在在脐脐点点处处，欧欧拉拉公公式式仍仍，此此时时21kk .21kkkn 沿沿任任何何方方向向的的法法曲曲率率命题命题6 6.小小值值的的法法曲曲率率的的最最大大值值和和最最曲曲面面在在这这点点所所有有方方向向曲曲面面在在一一点点的的主主曲曲率率是是证：证：点点的的两两个个主主曲曲率率，在在是是曲曲面面，设设PSkk)(21.是是脐脐点点，显显然然成成立立若若点点P是是非非脐脐点点，若若点点P，则则21kk ，不不妨妨设设21kk ,是是沿沿任任意意方方向向的的法法曲曲率率nk.sincos2221 kkkn 则则 222122sincoskkkkkn 2122cos)sin1(kk 2122

40、coscoskk 212cos)(kk . 0 .2nkk .,22等等号号成成立立所所在在方方向向共共线线时时与与即即当当且且仅仅当当kkn .1kkn 同同理理可可得得.21kkkn 总总之之，主曲率的计算公式主曲率的计算公式网网，若若曲曲率率线线网网是是曲曲纹纹坐坐标标)1(,1ELk 则则;2GNk 一一般般情情况况，)2(由由罗罗德德里里格格定定理理，有有：沿沿主主方方向向)(drdkndN .)(的的主主曲曲率率是是沿沿主主方方向向其其中中dkN上上式式又又可可写写成成：)(dvrdurkdvndunvuNvu 得得：两两边边分分别别点点乘乘vurr,)(FdvEdukMdvLdu

41、N )(GdvFdukNdvMduN 即即：0)()( dvFkMduEkLNN0)()( dvGkNduFkMNN，不不全全为为0,dvdu0 NNNNGkNFkMFkMEkL即即：0)()2()(222 MLNkNEMFLGkFEGNN.主主曲曲率率的的计计算算公公式式 , 0 其其中中相相等等的的实实根根；在在非非脐脐点点处处，有有两两个个不不的的实实根根，在在脐脐点点处处，有有两两个个相相等等.只只有有一一个个值值即即Nk2.2.高斯曲率和平均曲率高斯曲率和平均曲率定义定义在在该该点点的的高高斯斯曲曲率率之之积积叫叫做做曲曲面面率率曲曲面面在在一一点点的的两两个个主主曲曲21,kk.(

42、或或全全曲曲率率）.K记记作作在在该该点点的的平平均均曲曲率率的的平平均均值值叫叫做做曲曲面面率率曲曲面面在在一一点点的的两两个个主主曲曲21,kk.(或或中中曲曲率率）.H记记作作由由主主曲曲率率的的计计算算公公式式0)()2()(222 MLNkNEMFLGkFEGNN:得得2221FEGMLNkkK )(222221FEGNEMFLGkkH ).,(:)(yxfzS 若若曲曲面面,1,122qGpqFpE 则则,122qprL ,122qpsM ,122qptN ,1222qpFEG ,)1(2222qpsrtK ,)1(2)1(2)1(232222qptqpqsrqH 例例8 8.)0

43、)()(,sin)(,cos)(平平均均曲曲率率的的主主曲曲率率、高高斯斯曲曲率率和和求求旋旋转转曲曲面面 uuuur 解：解：，)(,sin)(,cos)(uuuru ,0 ,cos)(,sin)( uur ，)(,sin)(,cos)(uuuruu ,0 ,cos)(,sin)(uuruur ，0 ,sin)(,cos)( uur ,sin,cos rru22,sin,cos rrrrnuu,22 E，0 F,2 Gxyzo),(zyx ,)()( uzux nrLuu nrMu nrN ,22 , 0 ,22 , 0 FMELk 1GNk 2,)(2322 ,)(2122 ,)()(22

44、221 kkK.)(2)()(223222221 kkH特特别别地地， )()(uzuxxoz 面面上上最最初初的的曲曲线线为为若若取取uz )( xyzo),(zyx ,)(23221 k,)(21222 k,)()(222 K.)(2)()(232222 H，作作为为最最初初的的曲曲线线的的参参数数即即取取z)0)(,sin)(,cos)( zzzzr 于于是是旋旋转转曲曲面面方方程程为为,)1(2321 k此此时时,)1(12122 k,)1(22 K.)1(212322 H例例9 9.求求出出极极小小的的旋旋转转曲曲面面注：注：.0的的曲曲面面叫叫做做极极小小曲曲面面平平均均曲曲率率

45、H解：解：2322)1(21 H令令. 0 ，得得：012 ， 112 ， 21221，即即ln )1ln(212 ， lnln)1ln(212 a， 21a)(为为正正常常数数其其中中a，22)(1a ，11)(2 a 可可化化为为，aaa11ln22 积积分分得得：，Cazaa 1)(ln2 )(为为任任意意常常数数其其中中C，令令0 C，则则azeaa 1)(2 )2(azazeea 解解得得：azacosh )(悬悬链链线线程程为为：轴轴旋旋转转所所得得旋旋转转曲曲面面方方将将此此曲曲线线绕绕 z.,sincosh,coscoshzazaazar )(悬悬链链面面xyzo3.7 曲面在

46、一点邻近的结构曲面在一点邻近的结构曲面上点的分类曲面上点的分类，）（012 MLN椭椭圆圆点点，）（022 MLN双双曲曲点点，）（032 MLN抛抛物物点点，）（04 MNL平平点点 22FEGMLNK . 0 K. 0 K. 0 K 椭椭圆圆点点1. 021 kkK. 0, 021 kk不不妨妨设设 2221sincoskkkn . 0 的的正正方方向向弯弯曲曲，方方向向的的法法截截线线总总朝朝沿沿nkn.nk且且曲曲率率即即为为;21211xkyk 于于的的主主方方向向的的法法截截线线近近似似故故沿沿;21222xkyk 于于的的主主方方向向的的法法截截线线近近似似沿沿.212xkykn

47、n 于于的的主主方方向向的的法法截截线线近近似似沿沿1k2kn.个个椭椭圆圆抛抛物物面面曲曲面面在在椭椭圆圆点点近近似似于于一一双双曲曲点点2. 021 kkK. 0, 021 kk不不妨妨设设,21211xkyk 于于的的主主方方向向的的法法截截线线近近似似故故沿沿.的的负负向向一一侧侧弯弯曲曲且且向向n;21222xkyk 于于的的主主方方向向的的法法截截线线近近似似沿沿.的的正正向向一一侧侧弯弯曲曲且且向向n 2221sincoskkkn 的的变变化化情情况况如如下下表表：各各方方向向法法曲曲率率nk nk02 23 21k2k001k02k01k1k2k0 0 0 nk0 nk0 nk

48、0 nk 0 nk0 nk 0 nk0 nk , 0sincos2221 kk令令21tankk 得得：1k2knP.物物面面曲曲面面近近似似于于一一个个双双曲曲抛抛抛抛物物点点3, 021 kkK不不全全为为零零，但但MNL,，有有一一个个不不为为有有一一个个为为此此时时0, 0,21kk, 0(21 kk若若，则则0sincos2221 kkkn，任任何何方方向向都都是是渐渐近近方方向向)与与抛抛物物点点矛矛盾盾, 0, 021 kk不不妨妨设设,21211xkyk 于于的的主主方方向向的的法法截截线线近近似似故故沿沿.的的负负向向一一侧侧弯弯曲曲且且向向n的的主主方方向向是是渐渐近近方方

49、向向，沿沿02 k.法法截截线线形形状状比比较较复复杂杂, 02 k若若,6132xky 法法截截线线近近似似于于.是是一一条条立立方方抛抛物物线线, 021 kkkn.的的负负向向一一侧侧弯弯曲曲一一切切法法截截线线都都向向 n.个个抛抛物物柱柱面面曲曲面面在在抛抛物物点点近近似似于于一一Pn1k2k平平点点4, 0 MNL且且, 021 kk此此时时, 021 kkK, 0, 021 kk不不妨妨设设,61311xkyk 方方向向的的法法截截线线近近似似于于沿沿.61322xkyk 方方向向的的法法截截线线近近似似于于沿沿233xyxz 猴猴鞍鞍面面3.8 高斯曲率的几何意义高斯曲率的几何

50、意义1.1.曲面的球面表示、曲面的第三基本形式曲面的球面表示、曲面的第三基本形式定义定义),(: )(vurrS P.),( vu),( vunn P . :G),( vunn ),( vur高高斯斯映映射射曲曲面面的的球球面面表表示示),( vur .)(的的球球面面像像的的区区域域称称为为曲曲面面上上 S 注注.)1(映映射射不不一一定定是是一一一一映映射射Gauss平平面面的的球球面面像像是是如如：一一个个点点；圆圆柱柱面面的的球球面面像像是是一一条条曲曲线线).(圆圆.)()2(映映射射是是一一一一映映射射则则上上无无抛抛物物点点或或平平点点，若若曲曲面面GaussS)28(习习题题定

51、义定义基基本本形形式式曲曲面面的的球球面面表表示示的的第第一一22222gdvfdudvedundds .式式叫叫做做曲曲面面的的第第三三基基本本形形.III记记作作2222gdvfdudvedundIII 即即22,vvuungnnfne 其其中中.量量叫叫做做曲曲面面的的第第三三类类基基本本命题命题间间有有如如下下的的线线性性关关系系：曲曲面面的的三三个个基基本本形形式式之之02 KIHIIIII.为为平平均均曲曲率率为为高高斯斯曲曲率率，其其中中HK证：证：网网，取取曲曲率率线线网网为为曲曲纹纹坐坐标标本本形形式式可可以以写写为为：则则曲曲面面的的第第一一、第第二二基基,22GdvEdu

52、I ,22NdvLduII 的的方方向向为为主主方方向向，和和vurr,21曲曲线线方方向向的的主主曲曲率率曲曲线线和和分分别别为为设设 vukk由由罗罗德德里里格格定定理理得得：, rdnd ),(dvrdurdvndunvuvu 即即, 0, 0 dudvu曲曲线线，而而沿沿uurn ,1 urk ,同同理理vvrn ,2 vrk 2une 221urk ,21Ek vunnf )(21vurrkk , 0 2vng 222vrk ,22Gk 222221GdvkEdukIII uurnL 又又uurrk )(121 urk vvrnN vvrrk )(222 vrk vurnM vurr

53、k )(1, 0 ,1Ek ,2Gk )(1得得或或由由ELk )(2得得或或由由GNk 2221GdvkEdukII KIHIIIII 2)()(2221222121222221GdvEdukkGdvkEdukkkGdvkEduk . 0 命题命题7 7的面积的面积的面积的面积 PPKlim证：证：，的的面面积积 dudvrrvu，的面积的面积 dudvnnvu平面区域，平面区域，平面上对应的平面上对应的在在及球面域及球面域是曲面域是曲面域其中其中uv ., 的变化区域的变化区域即即vuP.),( vunn P . :G uvo P.),(vuvurrKnn ,vuvurrKnn dudvn

54、nvu的的面面积积， dudvrrKvu可可知知，由由二二重重积积分分的的中中值值定定理理，的的内内点点存存在在点点Q dudvrrKvuQ的面积的面积)( 的面积的面积 QK的面积的面积的面积的面积 Plim的面积的面积的面积的面积 )(lim QPKQPK lim.PK 注注义义高高斯斯曲曲率率符符号号的的几几何何意意),(vuvurrKnn 是曲面的法向量，是曲面的法向量，其中其中vurr .是球面的法向量是球面的法向量vunn ,0一致一致表示这两个法向量指向表示这两个法向量指向 K的旋转方向相同；的旋转方向相同；到到的旋转方向和从的旋转方向和从到到从从vuvunnrr,0相相反反表表示示这这两两个个法法向向量量指指向向 K.的的旋旋转转方方向向相相反反到到的的旋旋转转方方向向和和从从到到从从vuvunnrr作业作业P113：