北师大版高中数学必修4全套教案

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1、第二章 平面向量2.1从位移、速度、力到向量（1课时） 一、教学目标：1.知识与技能（1）理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间的区别；（2）理解向量的实际背景与基本概念，理解向量的几何表示，并体会学科之间的联系.（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力2.过程与方法通过力与力的分析等实例，引导学生了解向量的实际背景，帮助学生理解平面向量与向量相等的含义以及向量的几何表示；最后通过讲解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题.3.情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对向量的实际背景、几何表示有了一个基本的认识；激发学生学习数

2、学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.二.教学重、难点 重点: 向量及向量的有关概念、表示方法.难点: 向量及向量的有关概念、表示方法.三.学法与教学用具 学法：(1)自主性学习+探究式学习法： (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想 【创设情境】A B实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去， 问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.【探究新知】1学生阅读教材思考如下问题展示投影（学生先讲，教师提示或适当补充）1. 举例说明什么

3、是向量？向量与数量有何区别？既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量等注意：数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。 A(起点) B（终点）a从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。2.向量的表示方法有哪些？几何表示法：有向线段 有向线段：具有方向的线段叫做有向线段。记作： 注意：起点一定写在终点的前面。 有向线段的长度：线段AB的长度也叫做有向线段的长度 有向线段的三要素：起点、方向、长度字母表示法：也可用字母a、b、c（黑体字）来表示，即可表示为（印刷时用黑体字）

4、3. 向量的模的概念是如何定义的？ 向量的大小长度称为向量的模。记作：| 模是可以比较大小的4.两个特殊的向量：零向量长度（模）为0的向量，记作。的方向是任意的. 注意与0的区别 单位向量长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。思考：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？答：不是。因为零上零下也只是大小之分。 与是否同一向量？ 答：不是同一向量。 有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？ 答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。5.向量间的关系：平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。abc 记作： 规定：与任一向量平行相等向量：长度相等且方

5、向相同的向量叫做相等向量。 记作：= 规定：= 任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。C O B A = = =展示投影例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）DE OABCF 例题：如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、相等的向量；分别写出图中与向量、共线的向量. 学习小结（学生总结，其它学生补充）向量及其表示方法.向量的模.零向量与单位向量（零向量的方向任意；单位向量不一定相等）相等向量与平行向量.五.作业：P86 习题21六. 课后反思2.2从位移的合成到向量的加法（2

6、课时） 一、教学目标：1.知识与技能（1）掌握向量加法的概念；能熟练运用三角形法则和平行四边形法则做几个向量的和向量；能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用它们进行向量计算.（2）了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量（3）通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义.（4）初步体会数形结合在向量解题中的应用.2.过程与方法教材利用同学们熟悉的物理知识引出向量的加法，一方面启发我们利用位移的合成去探索两个向量的和，另一方面帮助我们利用物理背景去理解向量的加法. 然后用“相反向量”定义向量的减法；最后通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维

7、能力.3.情感态度价值观通过本节内容的学习，使同学们对向量加法的三角形法则和平行四边形法则有了一定的认识，进一步让学生理解和领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的加法，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.二.教学重、难点 重点: 向量加法的概念和向量加法的法则及运算律.难点: 向量的减法转化为加法的运算.三.学法与教学用具 学法：(1)自主性学习+探究式学习法： (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想 【创设情境】提出课题：向量是否能进行运算？A B C某人

8、从A到B，再从B按原方向到C， 则两次的位移和：+=C A B若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，A BC 则两次的位移和：+=某车从A到B，再从B改变方向到C，A BC 则两次的位移和：+=船速为，水速为， 则两速度和：+=提出课题：向量的加法【探究新知】 1定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。 注意：两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）aaaCCCBBBAAA 2三角形法则：a+bbabba+ba+b 强调： “向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点 可以推广到n个向量连加 不共线向量都可以采用这种法则三角形法则展示投影例题讲评（学生讲，学生评，教师提示或

9、适当补充）OABaaabbb 例1、已知向量、，求作向量+ 作法：在平面内取一点， 作 则【探究新知】3加法的交换律和平行四边形法则思考：上题中+的结果与+是否相同 验证结果相同从而得到：1向量加法的平行四边形法则 2向量加法的交换律：+=+ABCDaca+b+cba+bb+c4向量加法的结合律：(+) +=+ (+)（可请学生先上来做，不足之处学生更正）证：如图：使, , 则(+) += + (+) =(+) +=+ (+)从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。展示投影例题讲评（学生讲，学生评，教师提示或适当补充）例2如图，一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行

10、驶，同时水的流速为，求船实际航行的速度的大小与方向。解：设表示船垂直于对岸的速度，表示水流的速度，以AD,AB为邻边作平行四边形ABCD，则就是船实际航行的速度在中，所以因为【探究新知】思考：已知，怎样求作？ 这个问题涉及到两个向量相减，到底如何运算呢？首先引入“相反向量”这个概念.5.用“相反向量”定义向量的减法“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量；记作 -a规定：零向量的相反向量仍是零向量。-(-a) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (-a) = 0 如果a、b互为相反向量，则a = -b, b = -a, a + b = 0向量减法的定义：向量a加上的b相

11、反向量，叫做a与b的差。 即：a - b = a + (-b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。6.用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a - b7.请同学们自己解决思考题： 的作法：方法一、已知向量、，在平面内任取一点O，作，则。即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量方法二、在平面内任取一点O，作则。即也可以表示为从向量的起点指向向量的起点的向量.方法三、在平面内任取一点O，作，则由向量加法的平行四边形法则可得 . 展示投影思考与讨论：思考：从向量的终点指向向量的终点的向量是什么？（）讨论：如右图，时，怎样作出

12、呢？展示投影例题讲评（学生讲，学生评，教师提示或适当补充）例3.已知向量a、b、c、d，求作向量a-b、c-d。解：在平面上取一点O，作= a, = b, = c, = d, 作, , 则= a-b, = c-dABCbadcDO 例4.平行四边形中，=，=，用、表示向量，. A B D C解：由平行四边形法则得： = a + b, = - = a-b变式一：当a, b满足什么条件时，a+b与a-b垂直？（|a| = |b|）变式二：当a, b满足什么条件时，|a+b| = |a-b|？（a, b互相垂直）变式三：a+b与a-b可能是相当向量吗？（不可能， 对角线方向不同）例5.试用向量方法证

13、明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。A B D CO证：由向量加法法则： = +, = + 由已知：=, = = 即AB与CD平行且相等 ABCD为平行四边形学习小结（学生总结，其它学生补充）向量加法的三角形法则与平行四边形法则.向量加法运算律.相反向量及向量减法的运算法则.五、评价设计1作业：习题2.2 A组第1、2、3、4、5、6题 2（备选题）：证明：对于任意给定的向量都有证明：并说明什么时候取等号？提示：可用例5的图当、不共线时，由三角形两边之和大于第三边，而两边之差小于第三边得、即六、课后反思：2.3从速度的倍数到数乘向量（2课时） 一、教学目标：1.知识与技能（1）要求学生掌握

14、实数与向量积的定义及几何意义.（2）了解数乘运算的运算律，理解向量共线的充要条件。（3）要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量。（4）通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。2.过程与方法：教材利用同学们熟悉的物理知识引出实数与向量的积（强调：1“模”与“方向”两点) 2三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律），在此基础上得到数乘运算的几何意义；通过正交分解得到平面向量基本定理（定理的本身及其实质）。为了帮助学生消化和巩固相应的知识，教材设置了几个例题；通过讲解例

15、题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力. 3.情感态度价值观通过本节内容的学习，使同学们对实数与向量积以及平面向量基本定理有了较深的认识，让学生理解和领悟知识将各学科有机的联系起来了，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，有助于培养学生的发散思维和勇于创新的精神.二.教学重、难点 重点: 1. 实数与向量积的定义及几何意义.2.平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示难点: 1. 实数与向量积的几何意义的理解.2. 平面向量基本定理的理解.三.学法与教学用具 学法：(1)自主性学习+探究式学习法： (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在

16、的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想 【探究新知】1思考: （引入新课）已知非零向量 作出+和(-)+(-)+(-)BAOCPQMN=+=3=(-)+(-)+(-)=-3 讨论： 3与方向相同且|3|=3| -3与方向相反且|-3|=3|2从而提出课题：实数与向量的积；实数与向量的积，记作： 定义：实数与向量的积是一个向量，记作： |=|0时与方向相同；时 两边向量的方向都与同向当0且1时在平面内任取一点O，作= = = = 则=+ +由作法知：有OAB=OA1B1 |=| OABOA1B1 AOB= A1OB1 因此，O，B，B1在同一直线上，|=| 与方向也相同AOBB1A1(+)

17、=+ 当 0， (a) b =|a|b|cosq， (ab) =|a|b|cosq， a (b) =|a|b|cosq，所以(a) b =(ab) = a (b).若0(内分) (外分) 0 (-1) ( 外分)0 (-10内分 0外分 -1若P与P1重合，=0 P与P2重合 不存在始点终点很重要，如P分的定比= 则P分的定比=22线段定比分点坐标公式的获得：OP1PP2 设= 点P1, P, P2坐标为(x1,y1) (x,y) (x2,y2)由向量的坐标运算=(x-x1,y-y1) =( x2-x1, y2-y1)= 即(x-x1,y-y1) =( x2-x1, y2-y1) 定比分点坐标

18、公式3.中点坐标公式：若P是中点时，=1 中点公式是定比分点公式的特例。展示投影例题讲评（教师引导学生去做）例2.已知点求点解：由由例3.上的一点，且求点G的坐标。解：由D是AB的中点，所以D的坐标为即G的坐标为 .重心坐标公式OP1PP2P例4.过点P1(2, 3), P2(6, -1)的直线上有一点P，使| P1P|:| PP2|=3, 求P点坐标解：当P内分时 当P外分时当得P(5,0)当得P(8,-3)例5.OP1PP2如图，在平面内任取一点O，设，这就是线段的定比分点向量公式。特别当，当P为线段P1P2的中点时，有例6.教材P119例2. 例7.教材P119例3.例8.某人骑车以每小时a公里的速度向东行驶，感到风从正东方向吹来，而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向。 P B A Ovv-2a解：设a表示此人以每小时a公里的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为-a，设实际风速为v，那么此时人感