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1、2.3 抛物线1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.(重点)2.会求简单的抛物线的方程.(重点)3.了解抛物线的实际应用.(难点)4.能区分抛物线标准方程的四种形式.(易混点)基础初探教材整理 抛物线的定义与标准方程阅读教材P56P58“思考”部分，完成下列问题.1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程四种不同标准形式的抛物线方程图形标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)焦点坐标准线方程xxyy判断(准确的打“”，错误的打“”)(1)标准方程y2
2、2px(p0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离.( )(2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定.( )(3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线.( )(4)抛物线可看作双曲线的一支.( )【答案】 (1) (2) (3) (4)小组合作型求抛物线的标准方程求适合下列条件的抛物线的标准方程，并写出它们的准线方程和焦点坐标.(1)过点(3,2)；(2)焦点在直线x2y40上；(3)焦点到准线的距离为.【精彩点拨】 本题主要考查抛物线标准方程的求法，解题的关键是明确标准方程的类型和参数p的值.【自主解答】 (1)点(3,2)在第二象限，设抛物线方程为y22px或x
3、22py(p0).将点(3,2)代入方程，得2p或2p.当焦点在x轴上时，所求抛物线方程是y2x，其焦点为，准线方程为x；当焦点在y轴上时，所求抛物线方程为x2y，其焦点为，准线方程为y.(2)令x0，由方程x2y40，得y2.抛物线的焦点为F(0，2).设抛物线方程为x22py(p0)，则由2，得2p8，所求抛物线方程为x28y.令y0，由方程x2y40，得x4.抛物线的焦点为F(4,0).设抛物线方程为y22px(p0)，则由4，得2p16，所求抛物线方程为y216x.综上，所求抛物线方程为x28y或y216x.其准线方程为y2或x4，焦点坐标为(0，2)或(4,0).(3)由焦点到准线的
4、距离为，可知p.所求抛物线方程为y25x或y25x或x25y或x25y.求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可.若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2ax(a0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2ay(a0).再练一题1.根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)准线方程为y1; 【导学号：97792027】(2)焦点在x轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3.【解】 (1)由准线方程为y1知抛物线焦点在y轴正半轴上，且1，则p2.故抛物线的标准方程为x24y.(2)设焦点在x轴的正半轴上的抛物线的标准
5、方程为y22px(p0)，则焦点坐标为，准线为x，则焦点到准线的距离是p3，因此所求的抛物线的标准方程是y26x.抛物线的实际应用喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA的长是多少？【精彩点拨】根据题意先建立坐标系，设出抛物线方程，把实际问题转化为数学问题.【自主解答】如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x22py(p0)，因为点C(5，5)在抛物线上，所以252p(5)，因此2p5，所以抛物线的方程为x25y，点A(4，y0)在抛物线上，所以165y0，即y0，所以OA
6、的长为51.8 (m).所以管柱OA的长为1.8 m.在建立抛物线的标准方程时，常以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用.再练一题2.某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽8 m，一木船宽4 m，高2 m，载货的木船露在水面上的部分为0.75 m，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？【解】以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y轴建立直角坐标系.(如图)设抛物线的方程是x22py(p0)，由题意知A(4，5)在抛物线上，故162p(5)p，则抛物线的方程是x2
7、y(4x4)，设水面上涨，木船面两侧与抛物线形拱桥接触于B、B时，木船开始不能通航.设B(2，y)，22yy.0.752.故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2 m时，木船开始不能通航.探究共研型抛物线定义的应用探究1抛物线中p的几何意义是什么？【提示】抛物线标准方程中的p的几何意义是焦点到准线的距离.探究2抛物线定义的功能是什么？【提示】根据抛物线的定义，抛物线上的任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，抛物线定义的功能是可以把点点距转化为点线距，从而使有关的运算问题变得简单、快捷.(1)若动点M到点F(4,0)的距离比它到直线x50的距离小1，则动点M的轨迹方程是_.(2)如图231，
8、已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2).求|PA|PF|的最小值，并求此时P点坐标.图231【精彩点拨】(1)中先由抛物线的定义确定点M的轨迹，再写方程.(2)由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线的距离d，求|PA|PF|的问题可转化为|PA|d的问题.【自主解答】(1)如图，设点M的坐标为(x，y). 由已知条件可知，点M与点F的距离等于它到直线x40的距离.根据抛物线的定义，点M的轨迹是以F(4,0)为焦点的抛物线，且4，即p8.因为焦点在x轴的正半轴上，所以点M的轨迹方程为y216x.【答案】y216x(2)如图，作PQl于Q，由定义知，抛物
9、线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，由图可知，求|PA|PF|的最小值的问题可转化为求|PA|d的最小值的问题.将x3代入抛物线方程y22x，得y.2，A在抛物线内部.设抛物线上点P到准线l：x的距离为d，由定义知|PA|PF|PA|d.由图可知，当PAl时，|PA|d最小，最小值为.即|PA|PF|的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y22x，得x2.点P坐标为(2,2).1.对于动点到定点的距离比此动点到定直线的距离大多少或小多少的问题，实际上也是抛物线问题.2.抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的转化，另外要注意平面几何知识的应用，
10、如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等.再练一题3.(1)已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为() 【导学号：97792028】A.B.2C.D.(2)抛物线y22px(p0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p_.【解析】(1)如图，由抛物线定义知|PA|PQ|PA|PF|，则所求距离之和的最小值转化为求|PA|PF|的最小值，则当A、P、F三点共线时，|PA|PF|取得最小值.又A(0,2)，F，(|PA|PF|)min|AF|.故选A.(2)依题意，点Q为坐标原点，所以1，则p
11、2.【答案】(1)A(2)21.抛物线y2x2的焦点坐标是()A.(1,0)B.C.D.【解析】抛物线的标准方程为x2y，所以p，故焦点坐标是.【答案】D2.抛物线y28x的焦点到准线的距离是()A.1B.2C.4D.8【解析】抛物线焦点到准线的距离是p4.【答案】C3.若双曲线1的右焦点与抛物线y212x的焦点重合，则m_.【解析】双曲线1的右焦点为(，0)，抛物线y212x的焦点F(3,0)，3，m6.【答案】64.以抛物线y28x上的任意一点为圆心作圆与直线x20相切，则这些圆必过一定点，这个定点的坐标是_.【解析】抛物线y28x的准线方程是x20，根据抛物线的定义，圆心到直线x20的距离等于圆心到焦点的距离，所以这些圆必过抛物线的焦点，所以应填(2,0).【答案】(2,0)5.已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m的值.【解】设抛物线方程为y22px(p0)，则焦点F，准线方程为x，根据抛物线的定义，点M到焦点的距离等于5，也就是M到准线的距离为5，则35，p4，因此，抛物线方程为y28x，又点M(3，m)在抛物线上，于是m224，m2.
高中数学人教A版选修11同步教师用书第二章2.3.1抛物线及其标准方程
