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1、3.1.3 空间向量的数量积运算 顺德第一中学 数学科 陈燕子一、教学目标： 1.知识与技能（1）掌握空间两个非零向量夹角的概念及表示方法；（2）掌握两个向量的数量积的定义、运算律及计算方法；（3）掌握两个向量的数量积的主要用途：用向量解决立体几何中直线和平面垂直、直线和直线垂直、两点间距离或线段长度等问题的基本方法步骤。2.过程与方法（1）在充分了解平面向量的概念、运算及空间向量的概念、运算和基本定理的基础上,进一步类比探究并获得空间向量的数量积的定义、性质并掌握空间向量数量积的基本应用；（2）体会数学拓宽、发展的一种方法，亲身体验数学概念推广的合理性。3.情感态度与价值观（1）在与平面向量
2、进行比较的基础上，增强学生观察、分析、类比转化的能力;（2）通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生的学习热情和求知欲，充分发挥学生的主体地位。二、教学重点、难点重点：空间向量的数量积的概念及其应用（计算与证明）；难点：立体几何问题转化为空间向量数量积运算问题。 三、教学用具多媒体 四、教学班级五、教学过程环节教学内容师生活动设计意图创设情境温故知新教师复习引入：前面已经研究了空间向量的加、减、数乘等运算；而在平面向量的基本运算中，我们还学习了两个向量的数量积的运算。1.平面向量的夹角及范围;2.平面向量的数量;问题1：如何度量空间两个非零向量的夹角？类比空间两异面直线夹角的概念得到空
3、间两个非零向量的夹角的概念学生回答,教师辅以图示.教师提出问题,学生探索,回答问题. 教师完善.复习旧知识，引出新知识，体会研究空间问题的思想方法(空间向量转化为平面向量).类比探究新课学习(一)空间两非零向量夹角的定义：略.记法：范围：(二)两个非零空间向量数量积的定义： 问题2：从平面向量的运算律得到启发，你能说说空间向量数量积的运算律吗？(三)空间向量数量积的运算律：1.;2.(交换律);3.(分配律)(四)两个非零空间向量数量积的性质：(1)(2)(3)教师辅以图示,将空间向量的夹角问题转化为平面向量的夹角问题.教师提出问题: 回忆平面向量的数量积的定义,探索出空间向量数量积的定义.教
4、师给出教科书第90页的运算律,并给出第90页书中的思考题,学生自主探索并给出结论及理由,教师完善学生的回答.通过学生的观察、抽象、概括,将空间向量问题转化为平面向量的问题.通过比较加深对概念的理解,实现新旧知识的转化.联系平面向量的运算律,学生比较自然地理解空间向量的运算律及书中的3个思考题.典例讲解典例讲解问题3：类比于平面向量，你认为空间向量数量积可以在哪些方面得到应用？(1) 求空间两点的距离即模长(2) 证明垂直问题(3) 求夹角应用一：求空间两点的距离例1（教科书92练习2 题）在平行六面体 , ,求归纳：1、熟悉数量积的运算；2、将未知向量用基向量或其他已知向量表示出来，实现空间向
5、量两点距离的求解。应用二：证明空间的垂直问题例2. (教科书第91页)在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条直线斜线垂直。问题4：请画出几何图示，将文字语言转化为数学语言。问题5：如何实现用向量法证明与垂直？归纳：1.理解题意，几何问题向量化；2.构造向量关系；3.证明直线和直线垂直的方法；4.三垂线定理与逆定理的内容；例3. 教科书第91页已知：是平面内的两条相交直线，直线与平面的相交，且，求证：归纳：1、直线和平面垂直的判定定理；2、证明直线和平面垂直的向量方法.回顾平面向量数量积的应用，类比得到空间向量数量积得应用。学生自主完成并体验：1.如何用向量法求两
6、点距离；2.如何用已知向量表示出？教师引导：从平面向量在几何中的应用的学习，我们知道，用向量法证明几何问题，首先将相应的几何元素用向量表示。教师引导,学生回答：向量法证明线线垂直的条件是什么?(1)要证的对应的向量形式为何？(2)怎样将已知条件，“是平面的垂线”，用向量形式表示出来？(3)要证的结论与已知条件的联系怎样？教师指出三垂线定理与逆定理的内容,鼓励学生课后证明其逆定理.教师引导,学生自主完成并体验:1.线面垂直的定义?2.平面向量的基本定理及基底的作用?学生探索并尝试证明对学生作答,教师给予点评.通过自主练习，使学生基本形成解决此类问题的思维程序,了解应注意的问题.通过将已知条件与目
7、标写书出来，找到其中的联系，使学生比较容易观察、寻求用向量法证明线线垂直的问题,并体会向量法证明的思想.通过例2体会用向量法证明线线垂直的问题,层层推进，让学生自主实现例3中用向量法证明线面垂直的思想，并了解直线和平面垂直的判定定理.巩固练习应用三：求夹角例4. 已知棱长为1的正三棱锥, 分别是的中点，试求所成角的余弦值.归纳：将未知向量用基向量或其他已知向量表示出来，实现空间向量夹角的求解。1、教科书第92页练习1、32、教科书第91页，证明三垂线逆定理；如何将向量化从而实现夹角问题的解决？学生完成,教师指正.让学生在探索中,培养自己的思维能力,完善学生使用向量的知识来解决空间问题.巩固新知识、方法.归纳小结知识点：1.数量积的定义及计算方法；2.学会求空间向量夹角和两点距离；3.学会证明立体几何的垂直问题；数学思想、方法：1. 类比与转化；2. 向量法.师生共同完成.使学生养成归纳总结的习惯,不断提高自己的理性思维水平及反思建构能力.布置作业教科书第92页：3 91页向量法证明三垂线逆定理教科书第99页B组：1、2、3.学生独立完成.巩固所学知识、方法.六教学反思（一）回顾经历、积累经验1.目标落实2.成功之处（二）发现问题、寻找方法1.不足之处2.再教设计时间：2011-12-3
空间向量的数量积运算
