【数学与应用数学专业】【毕业论文 文献综述 开题报告】排队论的综述与应用（可编辑）

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1、【数学与应用数学专业】【毕业论文+文献综述+开题报告】排队论的综述与应用 （20届）本科毕业论文排队论的综述与应用摘要: 排队论 ueuing theory , 或称随机服务系统理论, 是通过对服务对象到来及服务时间的统计研究，得出这些数量指标（等待时间、排队长度、忙期长短等）的统计规律，然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象，使得服务系统既能满足服务对象的需要，又能使机构的费用最经济或某些指标最优它是的分支学科也是研究服务系统中排队现象随机规律的学科Review and application of queuing theoryAbstract：Queuing theory

2、 queuing guys , or call the theory of stochastic service system is through to the service object, come and service time statistical studies, draw the statistical rules of those quantity indexes waiting time, queue length, busy period length etc. , then according to these improve service system struc

3、ture or reorganized serviced objects, make service system can meet the service objects need, and can make the agency use the best of their money or make some indexes optimal. It is a branch of mathematical operational research, and also researches random rule of queuing phenomenon in services system

4、 .This paper firstly presents the queuing system of queuing theory, the definition, structure, then describes the queue theory, queuing model, classification of common queuing models, queuing model constant, then describes various queuing models, such as single desk queuing model、many desk queuing m

5、odel、general queuing service model etc. Finally, describes the queuing system optimization and the practical applications of queuing theory.Key words: Queuing theory; Queuing system; Queuing model目 录1. 引言11.1研究背景11.2研究意义11.3 研究目标11.4 研究方法11.5 研究步骤12 排队论的基本概念22.1 排队系统的定义22.2 排队系统的结构22.2.1 输入过程32.2.2

6、排队规则32.2.3 服务机构43排队模型概述43.1排队论常用模型分类53.2 排队模型常数53.3 排队模型的特征指标54 排队模型64.1标准的排队模型64.2 对长有限的排队模型94.3 有限客源的模型105排队模型125.1标准的排队模型（，）125.2 容量有限的排队模型145.3 客源有限的排队模型156 一般排队服务的模型166.1 排队模型166.2 排队模型176.3 排队模型187 排队系统优化187.1 模型中最优化服务率197.2 模型中最优化服务台数218 排队论的应用228.1 排队论在公路收费站服务台设计及管理的应用【17】229.小结26致谢27参考文献281

7、. 引言研究背景日常生活中存在大量有形和无形的排队或拥挤现象，如旅客购票排队，市内电话占线等现象.排队论的基本思想是1910年丹麦电话工程师A.K.埃尔朗在解决自动电话设计问题时开始形成的，当时称为话务理论.他在热力学统计平衡理论的启发下，成功地建立了电话统计平衡模型，并由此得到一组递推状态方程，从而导出著名的埃尔朗电话损失率公式【1】.自20世纪初以来，电话系统的设计一直在应用这个公式30年代苏联数学家.欣钦把处于统计平衡的电话呼叫流称为最简单流数学家巴尔姆又引入有限后效流等概念和定义深入地分析了电话呼叫的本征特性，促进了排队论的研究50年代初，家关于生灭过程的研究、学家D.G.肯德尔提出嵌

8、入理论，以及对排队队型的分类方法，为排队论奠定了理论基础在这以后，L.塔卡奇等人又将组合方法引进排队论，使它更能适应各种类型的排队问题70年代以来，人们开始研究排队网络和复杂排队问题的渐近解等，成为研究现代排队论的新趋势排队模型. 标准的排队模型，对长有限的排队模型，有限客源的排队模型.第五部分：排队模型标准排队模型，容量有限的排队模型，客源有限的排队模型.第六部分：一般排队的服务模型.排队模型，排队模型，排队模.第七部分：排队系统优化. 模型中最优化服务率，模型中最优化服务台数.第八部分：排队论的应用：排队论在公路收费站服务台设计及管理的应用.第九部分：小结.2 排队论的基本概念排队论 ue

9、uing theory , 或称随机服务系统理论, 是通过对服务对象到来及服务时间的统计研究，得出这些数量指标（等待时间、排队长度、忙期长短等）的统计规律，然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象，使得服务系统既能满足服务对象的需要，又能使机构的费用最经济或某些指标最优它是的分支学科也是研究服务系统中排队现象随机规律的学科广泛应用于计算机网络, 生产, 运输, 库存等各项资源共享的随机服务系统排队论研究的内容有3个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，排队有关的数量指标规律性；系统的优化问题其目的是正确设计和有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益又称服务系统服务系统由服

10、务机构和服务对象（顾客）构成服务对象到来的时刻和对他服务的时间（即占用服务系统的时间）都是随机的）式中 X为输入流分布类型（D型、M型、型）；Y为服务流分布类型（D型、M型、G型、型）；Z为服务台并列的数目（，）.1966年（A. M. Lee）在康道夫记号的基础上又加以增补.1971年一次关于排队论符号标准化会议上，决定将Kandall记号扩充成为式中 A为系统容量或队列长度（为系统无限，为常数为系统有限）； B为客源数目大小（为客源无限，为常数为客源有限）； C为服务规则（为先到先服务，为后到先服务）.为了简化起见，为标准型，可以只写出；如果写成，略去了时一定是指排队规则为先到先服务【7】

11、.排队论常用模型分类单服务台（S 1）排队模型（1）标准型排队模型：；（2）队长有限排队模型：；（3）客源有限排队模型：；（4）定长服务排队模型：；（5）服务时间为任意随机分布排队模型：；（6）服务时间为爱尔朗分布排队模型：；2.多服务台（）排队模型（1）标准型排队模型：；（2）队长有限排队模型：；（3）客源有限排队模型：；3.2 排队模型常数1.基本的参数有两个：（1）顾客平均到达率（到达顾客数/单位时间）或顾客相继到来平均的间隔时间；（2）服务台的平均服务率（服务完成离去的顾客数/单位时间）或顾客服务平均占用时间.2.模型平辅助参数：（1）对多服务台排队模型而言其服务台数；（2）对队长容量

12、有限的排队模型而言其N为常数；（3）对客源大小有限的排队模型而言其m为常数.3.3 排队模型的特征指标 1. ：根据表达式的不同，可以有不同的解释.对模型而言，有以下三种解释：（1）称为顾客平均到达率与平均服务率之比；（2）称为顾客服务时间与到达间隔时间之比，或称服务强度；（3）称为服务台平均利用率.2. 为服务台空闲率、服务台等候顾客到来的概率、顾客到来即时得到服务的概率.3. 为系统内的有（）个顾客的（状态）概率.4. 为系统内存在顾客总数的期望值，包括排队等候的顾客平均数加上正在服务台接受服务的顾客平均数，简称平均对长或顾客逗留总数.5. 为排队中顾客数的期望值，又称队列长.6. 为顾客

13、在系统内的时间的期望值，又称逗留时间，包括排队等待的平均时间加上接受服务的平均时间.7. 为顾客排队时间的期望值，又称排队（等待）时间.8. 为顾客时间的损失系数，即排队平均时间与平均服务时间之比.9. 为服务台机会损失概率，适用于损失制、混合制的排队系统，因系统容量（N为常数）有限而失掉顾客的平均比率【8】. 排队模型模型是研究顾客到达服从以为平均到达率的泊松分布，服务时间服从负指数分布 、单台服务、单列队及先到先服务的排队系统的特征指标计算及应用方法. 该模型按队列容量和客源大小的不同，可分为标准型、容量有限型、客源有限型【9】. 模型是排队模型中最简单的一类模型.标准的排队模型标准的排队

14、模型适用范围输入过程：客源无限（），顾客到达系统服从以为平均到达率的泊松分布（即M型），顾客是单个相互独立地到来，到达过程呈平稳状态；、排队与服务规则：队列容量无限（），形成单对，先到先服务（FCFS）；服务机构：单台服务（S 1），顾客服务时间服从以为平均服务率的负指数分布（即M型）.标准的模型参数顾客平均到达率窗口服务率标准的模型特征指标服务强度 在系统中的定义域为（），如果，则，在竞争取胜的服务系统里，顾客将自动离去另择服务机构；在没有竞争的情况下，顾客随机到来也会形成长蛇阵.服务台空闲率 ，（） 易看出，时，表明，服务台空闲概率极小，服务强度最高.这种情况在设计与建设随机服务系统里是不

15、允许出现的，因为，都是统计数据的期望值，是不能人为加以控制的，因而变大及变小一旦发生，队列将变成无穷大. 当是，这种情况对服务台经营极为不利.现实中某些服务行业（包括企业机修、电修部门）盲目贪大求洋，或对客源估计不足，或变成损失制经营，其后果就是损失极大.排队系统中某时刻有个顾客（）概率： ，（，）在系统中队长期望值 ，（，）在系统中队列长期望值 ，（）在系统中顾客逗留的平均时间在系统中顾客平均等待时间顾客因寻求服务造成的时间损失系数R 例1. 某修理店只有一个修理工人，来修理东西的顾客到达次数服从泊松分布，平均每小时4人；修理时间服从负指数分布，平均6分钟，求：（1）修理店空闲时间的概率；（

16、2）店内有3个顾客的概率；（3）店内至少有1个顾客的概率；（4）在店内顾客平均数（5）在店内平均逗留时间；（6）等待服务的顾客平均数；（7）平均等待修理（服务）时间；（8）必须在店内消耗15分钟以上的效果【10】.解：由题意知题设排队系统属；模型且（人/小时） （人/分钟），（人/分），（1） 1-0.4 0.6； （2）（3） （4）（人）（5）（分钟）（6）（人/分）（7）（分/人）（8）（顾客在系统中逗留时间服从参数为的指数分布，即：）. 4.2 队长容量有限的排队模型1.适用范围（1）队长容量有限（为常数）：队列长最大容量为加上窗口数（）等于；（2）其他条件与标准的模型相同2容量有限模

17、型参数（1）顾客平均到达率（2）窗口服务率（3）系统最大容量 当N 1时，由于，对列才为，则 ；为“即时制”单服务台模型3.容量有限模型特征指标（1），（2），（3），（4）（5）（6）（7）（8）（9）例1. 某单人理发店内有4把椅子接待人们排队等待理发.当4把椅子都坐满顾客时，后来的顾客就不进店而离去.顾客平均到达速度为4人/小时，理发时间平均10分钟/人.没到达过程为泊松流，服务时间服从负指数分布.求：（1）顾客一到达就理发的概率； （2）系统中顾客数的期望值和排队等待的顾客数的期望值；（3）顾客在理发店内逗留的全部时间的期望值W；（4）在可能到达的顾客中因客满而离开的概率；解：依题意，

18、属于（；）排队系统.系统总量为可供排队的椅子数加上供理发的椅子数，即总容量N 4+1 5，（人/小时），（人/小时），.（1）顾客一到达就能理发的概率就是系统中没有顾客的概率，这是因为只在系统中一个顾客都没有的情况下，顾客一到达才能立即理发. 0.365；（2） 1.423（人）； （人/小时）； 0.788（人）；（3） 0.374（小时）；（4）因客满而离开的概率，即为理发店的损失率.4.3 有限客源的模型1.有限客源模型适用范围（1）顾客源有限，；（2）其他条件与标准模型相同.2.有限客源模型参数（1）顾客平均到达率（2）窗口服务率（3）顾客源大小（为有限常数） 3.有限客源模型特征指标

19、 （1） （2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9） 例1. 某车间有5台机器，每台机器的连续运转时间服从负指数分布，平均连续运转时间15分钟，有一个修理工，每次修理时间服从负指数分布，平均每次12分钟. 求：（1）修理工空闲的概率；（2）5台机器都出故障的概率；（3）出故障的平均台数；（4）等待修理的平均台数；（5）平均停工时间；（6）平均等待修理的时间；（7）评价这些结果【11】. 解： 5，（1） ;（2）；（3）（台）；（4）（台）；（5）（分钟）；（6）（分钟）；（7）机器停工时间过长，修理工几乎没有空间时间，应当提高服务率减少修理时间或增加修理工人.排队模型 模型系统是研究顾

20、客到达服从泊松分布，服务时间服从负指数分布，多台服务（）的服务系统的特征指标计算及其应用方法. 排队模型按系统容量N、客源大小的不同，可分为标准型、容量有限型、客源有限型等排队模型【12】.标准的排队模型（，）1.适用范围：顾客到来服从泊松分布，服务时间服从负指数分布，多台服务（）并联服务；客源无限（足够大），对长无限（N足够大），单队等待，先到先服务（FCFS）.2. 标准模型参数有三个，即顾客平均到达率、服务台平均服务率、多服务台（）.4.标准模型的特征指标（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）例1. 三个打字员，平均打印文件的速度为件/h，文件到达率件/h,式求：（1）在等待打

21、印的平均文件数；（2）在系统内的平均文件件数；（3）文件在系统内的平均停留时间；（4）文件的平均等待时间；（5）三个打字员均不空闲的概率.解：依题意属于；排队模型.已知S 3，于是得：（1） 3.51（件）；（2） 6.01（件）；（3） 0.4（件）；（4） 0.234（小时）；（5）.5.2 容量有限的排队模型1.适用范围：顾客到来的服从泊松分布，服务时间服从负指数分布，多台服务（）并联服务；客源无限（足够大），队长容量有限（为常数），单队等待，先到先服务（）.2容量有限模型参数有四个：即顾客平均到达率、服务台平均服务率、多服务台（）、有限的系统容量（）.3.容量有限模型特征指标（1）（2

22、）（3）（4）式中为顾客的损失的期望值（5）（6）（7）（8）（9）爱尔朗唤损失公式令，为即时制多台服务台排队模型.5.3 客源有限的排队模型1.适用范围：顾客到来的服从泊松分布，服务时间服从负指数分布，多台服务（）并联服务；客源有限（为常数且），对长容量无限（足够大），单队等待，先到先服务（）.2.客源有限的模型的参数有四个：即顾客平均到达率、服务台平均服务率、多服务台S（S 0）、有限的客源数（为常数）.3. 客源有限的模型特征指标（1）（2）顾客有效到达率（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）无须服务（无故障）顾客数：6 一般排队服务的模型6.1 排队模型排队模型是研究顾客到来服从泊

23、松分布、服务时间是确定的常数、单台服务的特征指标计算及其应用方法【13】.1. 排队模型适用范围：顾客到来服从泊松分布、服务时间是确定的常数、单台服务、顾客无限，队列无限，单队等待，先到先服务.2. 模型参数：顾客平均到达率，定长的服务时间（为定长服务率，Var（T） 0.3. 模型特征指标：（1）服务台平均利用率（2）服务台空闲率（3）系统内有n个顾客的概率（4）对长期望值（5）队列长期望值（6）顾客平均逗留时间（7）顾客平均等待时间（8）顾客时间损失系数6.2 排队模型排队模型是1个服务台的等待制服务系统，输入过程是以为参数的最简单流，各顾客的服务时间是相互独立且具有相同分布的随机变量，其

24、数学期望和方差分别为和.服务台的服务强度 当时，我们有如下的结论【14】：同时我们还可以知道，忙期的平均长度在忙期内被服务的顾客的平均数为.6.3 排队模型在排队模型中，顾客的服务时间V服从爱尔朗分布，此时有 ，因此，当时，则下列各式【15】：7 排队系统优化排队现象普遍存在于人类生产和生活的各个方面，或者由于原先预见性差、设计的规模和能力偏小，或者事物的发展失去了控制，使我们许多系统服务质量和水平不尽合理，给生产和生活带来了不方便或造成损失.码头、车站、机场、交通枢纽、城市电话局、道路和供排水管道、工厂的机修车间等措施，一旦建成，起码要服务几十年，若先天不足，后患无穷.比如设计能力过大，会造

25、成长期损失；若能力不足，改造起来将很困难.因此对服务机构进行最优化系统设计师非常必要的战略问题.实践证明，即使是较好的服务设施，在营运过程中会发生服务能力不适应顾客需求的情况，这就需要对服务系统进行系统分析与诊断，并采取改进措施，使之进一步合理化.研究排队论的目的，就是为了对新的系统进行最优化设计，对已处于运行中的系统进行最优化控制，使之到达既能比较充分地满足顾客需要，又能使服务系统总的耗费最小（或收益最大）【16】.7.1 模型中最优化服务率1.标准的模型取目标函数为单位时间服务成本与顾客在系统逗留费用之和的期望值 （1）其中为当时服务机构单位时间的费用；为每个顾客在系统停留单位时间的费用.

26、将之值代入（1），得为了求极小值，先求，然后令它为0，解出最优的 根号前取+号，是因为保证的缘故.系统中顾客最大限制数为的情形在这情形下，系统中如已有个顾客，则后来的顾客即被拒绝，于是：被拒绝的概率（借用电话系统的术语，称为呼损率）；：能接受服务的概率；：单位时间实际进入服务机构顾客的平均数.在稳定状态下，它等于单位时间实际内服务完成的平均顾客数.设每服务1人能收入元，于是单位时间收入的期望值是元纯利润 先求，然后令它为0，得最优的解应合于上式.上式中、 、都是给定的，但要由上式中解出是很困难的.通常通过数值计算来求的，或将上式左方（对一定的）作为的函数作出图形，对于给定的，根据图形可求出.3

27、.顾客源为有限的情形按照机械故障来考虑.设共有机器台，各台连续运转时间服从负指数分布.有1个修理工理，修理时间服从负指数分布.当服务率 时的修理费用 ，单位时间每台机器运转可得收入元.平均运转台数为，所以单位时间纯利润为式中的称为泊松部分和，而为了最优服务率，先求，然后令它为0，得上式中、 、都是给定的，但要由上式中解出是很困难的.通常通过数值计算来求的，或将上式左方（对一定的）作为的函数作出图形，对于给定的，根据图形可求出.7.2 模型中最优化服务台数仅讨论标准的模型，且在稳态情形下，这时单位时间全部费用（服务成本与等待费用之和）的期望值 （7.2-1）其中是服务台数；是没服务台单位时间的成

28、本；为每个顾客在系统停留单位时间的费用；L是系统中顾客平均数或队列中等待的顾客平均数（它们都随C值的不同而不同）.因为和都是给定的，唯一能变动的是服务台数，所以是的函数，现在是求最优解使为最小.因为C只取整数值，不是连续变量的函数，所以不能用经典的微分法。我们采用边际分析法（Marginal Analysis），根据是最小的特点，我们有将（7.2-1）式中代入，得上式化解后，得，依次去时L的值，并作两相邻的L值之差，因是已知数，根据这个数落在哪个不等式的区间里就可以定出8 排队论的应用8.1 排队论在公路收费站服务台设计及管理的应用【17】在高速公路收费站服务台设计及管理中运用排队论进行定量分

29、析，运用排队论的知识对其进行优化和设计并建立合适的数学模型.通过对模型的优化设计，建立高速公路收费站的服务台与工作人员的配备模型，对避免盲目确定收费亭建设规模大小，提高收费站服务台的服务和管理水平，降低运营成本等有着重要作用.高速公路上的车辆陆续到达收费站，依次接受收费服务，然后离开收费站.如果到达的车辆不能及时得到服务，就产生了排队现象.高速公路收费系统，是一个典型的排队系统。其中最具代表性的收费站系统即是满足的排队系统，上述符号中第一个为车辆的到达时间间隔服从负指数分布；第二个为收费服务时间服从负指数分布；为收费站有个收费亭；第一个为系统能容纳无限个车辆，第二个为道路上的车源也是无限的；为

30、系统采用先到先服务的规则.此排队系统中，车辆排队方式是多路排队多通道各排一个队，每个通道只为其相对应的一队车辆服务，车辆不能随意换队.此种情况相当于个系统组成的排队系统.计算公式：设车辆平均到达强度为（辆/小时），系统服务员平均服务强度（辆/小时），交通强度，。如果，则系统稳定；如果，系统的排队长度将会无限增大，出现“爆炸”现象.因此要调整平均到达强度，使满足条件是，保持稳定状态即确保排队能够消散；如果系统是稳定的，但排队和等待时间很长，也要调整平均到达强度，使其排队长和等待时间在我们预定的期望值内. ，（） ，（，）在系统中队长期望值 ，（，）在系统中队列长期望值 ，（）在系统中车辆逗留的平

31、均时间在系统中车辆平均等待时间应用举例：某高速公路出口收费站有四个出口收费通道，某时段之内平均车辆到达率辆/h，服从泊松分布；每个收费窗口负一辆汽车的平均时间为8s并且符合负指数分布.现状分析：此收费站系统属于排队系统，由于是多路排队多通道服务方式，所以此收费站就等价于4个系统18 19，我们这样分析其中一个收费通道.下面对收费站的各项指标进行分析：收费站的平均车辆到达率为，则每一个收费通道的平均车辆到达率为；每个收费窗口平均服务率辆/h每个窗口服务强度 这说明系统是稳定的.每个收费窗口的平均排队长度辆每个收费窗口系统中车辆平均时间分钟由于此收费站系统可以看出四个排队模型，故一个窗口的排队情况

32、即可反映出整个收费站的排队情况.目前我国高速公路收费站的服务水平通常采用车辆的平均排队长度指标划分四季服务水平.如表1： 表1 服务区等级划分标准服务水平平均排队车辆数司机乘客感觉一级 良好二级 一般三级 焦虑四级 无法忍受 本案例求得的平均排队长度为16辆，运大于8辆，故司机乘客的感觉是无法忍受.由得出收费站通道排有n辆车的概率，如表2： 表2 收费站通道排有n辆车的概率0.0560.0530.0500.0470.0440.0420.0400.0370.0350.404由表2可知排队的车辆数大于8的概率为0.404，这说明该系统排长队的概率很高，收费站劳动强度比较大，服务水平低.由于收费站的

33、平均服务率是一定的，所以要通过控制车辆的平均到达率来提高收费站的服务水平.结果分析：上述现状分析针对此高速公路某高峰时段的交通状态得出的相应各项指标.根据服务区等级划分标准，我们决定车辆的平均排队长度为1，来确定期望值到达率由 1，得辆/h为了更好地体现区间的控制作用，我们令收费站处的期望车辆到达率辆/h 0.5.根据得出如下收费站前有n辆车等待的概率，表3 表3 收费站前有n辆车等待的概率0.50.250.1250.06250.031250.01560.00780.00390.00200.00195从表3中数据可知，排队车辆数超过8的概率为0.00195，这与有表2得排队的车辆数大于8的概率

34、为0.404相比要小得多，这说明经过对闭塞区间的设置，汽车到达收费站几乎可以不用等待就可以服务.9.小结由于解决实际问题的需要，人们引进了一些排队论的概念，并且对它们进行研究发展，使之成为一门系统化、全面化的理论.排队论，是研究系统随机聚散现象和随机服务工作的数学理论和方法，又称随机服务系统理论，为运筹学的一个分支，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一. 并且排队论也随之成为解决实际问题中的一种有力工具之一，其应用的范围也越来越广泛. 本文通过对大量文献资料的查阅，向人们介绍排队论的理论，主要是排队系统，排队模型，排队论的应用.第一部分：引言分析研究背景、研究意义、研

35、究目标、研究方法和研究思路第二部分：排队论的基本概念排队系统的定义，排队系统的机构.第三部分：排队模型概述.排队论常用模型分类，排队模型常数，排队模型特征指标.第四部分：排队模型. 标准的排队模型，队长容量有限的排队模型，有限客源的排队模型.第五部分：排队模型标准排队模型，容量有限的排队模型，客源有限的排队模型.第六部分：一般排队的服务模型，排队模型，排队模型，排队模型第七部分：排队系统优化. 模型中最优化服务率，模型中最优化服务台数.第八部分：排队论的应用：排队论在公路收费站服务台设计及管理的应用. 总之，解决排队问题，要用系统观点与系统方法，在满足需要的同时，综合考虑需要与可能、服务于经济

36、利益等因素，随机服务系统有适量的排队以达到经济损失最小为目标，进行系统分析与综合协调，才能满意地解决问题，这就有依赖于排队论的研究与应用.本文的目标运用排队论及其不同的排队模型解决一些数学上的实际问题. 熟悉排队论的理论，通过学习可以具有分析问题，解决问题的基本能力，并且用相关的排队论知识解决问题.参考文献1张蕊.服务行业排队论分析J.齐齐海尔滨学报,2002, 6 .2美 Hamdy. A. Taha. Operations ResearchM. 北京:人民邮电出版社,2007.7.3唐小我.排队论基础与分析技术M. 北京:科学出版社,2006.4严智渊.排队论及其应用J.上海交通大学学报,

37、1980.5盛敏.排队论浅析及其应用一二J.西安电子科技大学,2004.6牛映武.运筹学M.西安:西安交通大学出版社,2006.5.7傅家良.运筹学方法与模型M.上海:复旦大学出版社,2005.8江天学,黄劳生. 简明运筹学M.南京:东南大学出版社,1991.9胡运权.运筹学基础及应用M. 北京:高等教育出版社,2005.10蔡海涛.运筹学典型例题与解法M.长沙:国际科技大学出版社,2003,7.11汪遐昌.运筹学方法与配套软件YAJM.成都:西南财经大学出版社,2005,11.12谷源盛.运筹学M.重庆:重庆大学出版社,2001.8.13魏国华.实用运筹学M.上海:复旦大学出版社,1987.

38、14S. I. Gas, Linear Programming Methods and Applications, Fifth Edition, Mc Grew Hill Book company,1984.15杨超.运筹学M.北京:科学出版社,2004.16王文平.运筹学M.北京:科学出版社,2007.17汤洪波.排队论在公路收费站服务台设计及管理中的应用J.四川建筑,2009,10;29-5.18孙荣恒,李建.排队论基础M.北京:科学出版社,2002.19焦永兰.管理运筹学M.北京:中国铁道工业出版社,2000.文献综述排队论的综述与应用一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围

39、，扼要说明有关主题争论焦点）1.写作目的本文主要在于介绍排队论的历史背景，不同的排队模型，以及实际的应用目的在于对排队论的历史背景，模型等进行综述，并总结排队论在生活各个领域的应用.2.基本概念排队现象是很常见的，排队论 也称随机服务系统理论service system theory）,是一门研究拥挤现象（排队、等待）的科学【1】， 是通过对服务对象到来及服务时间的统计研究，得出这些数量指标（等待时间、排队长度、忙期长短等）的统计规律，然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象，使得服务系统既能满足服务对象的需要，又能使机构的费用最经济或某些指标最优。它是数学运筹的分支学科。也是

40、研究服务系统中排队现象随机规律的学科。广泛应用于计算机网络, 生产, 运输, 库存等各项资源共享的随机服务系统。 排队论研究的内容有3个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。自20世纪初以来，电话系统的设计一直在应用这个公式30年代苏联数学家.欣钦把处于统计平衡的电话呼叫流称为最简单流数学家巴尔姆又引入有限后效流等概念和定义深入地分析了电话呼叫的本征特性，促进了排队论的研究50年代初，家关于生灭过程的研究、学家D.G.肯德尔提出嵌入理论，以及对排队队型的分类方法，为排队论奠定了

41、理论基础在这以后，L.塔卡奇等人又将组合方法引进排队论，使它更能适应各种类型的排队问题70年代以来，人们开始研究排队网络和复杂排队问题的渐近解等，成为研究现代排队论的新趋势 系统中的顾客总数（排队的加上正在接受服务的） 已知系统中的有那n个顾客是的到达率 已知系统中有n个顾客时的离开率 系统中有n个顾客的平稳状态概率广义模型中作为和的函数，然后用这些概率来求出系统行为的度量指标，如平均队长、平均等待时间以及设备平均利用率. 概率可以用图中的转移率图来的到。这个排队系统处在状态n，因为这时系统中的顾客数为n. 根据12.3的解释，在一个小时区间h里多于一个事件发生的概率随着0而趋于0.这意味着，

42、对于，状态n只能变成两种可能的状态：当按照离开率离开时变成，当按照到达率到达时变成.状态0按照到达率到达时只能变成状态1.注意到假如系统为空时，因为没有离开发生，没有意义. 在平稳的状态条件下，对于，流入和流出状态n的期望速率必相等。根据状态n只能变成状态和的事实，我们得到 流进状态n的期望速率 类似地 流出状态n的期望率 让这两个速率相等，得到下面的平衡方程对应于的平衡方程为从开始递归求解平衡方程如下：对于n 0，有接下来，对n 1，有用 替换并简化，得到（请验证！）一般地，可用归纳法得到的值可用从等式求出. 1.2单服务台模型【8】我们用肯德尔记号来总结每种情形下的特征.以在记法上我们用了

43、GD（一般排队规则）.: 利用广义模型的记法，有并且，因为所有的到达顾客都能加入到系统. 令，则广义模型中的表达式就简化成 ，为了求的值，用等式设，几何级数将有有限和，因此 ，其中所有的一般公式由下面的几何分布给出： ， 的数学推导将用到条件或.若，则几何级数发散，平稳状态概率不存在.这个结果有着直观意义，因为除非服务率大于到达率，否则队列长度将会不断增长，不可能达到平稳状态. 排队系统的性能指可以按下面方式得到：因为对于本情形，剩下的系统性能度量指标用12.6.1节中的关系来计算因此有1.3 排队模型【9】为泊松输入、负指数分布服务、无限个服务台的服务系统.假定参数为的最简单流到达无限个服务

44、台的系统，则顾客一到达立即可接受空闲着的服务台的服务.服务时间与到达间隔相互独立，服务时间是参数的负指数分布.得：其中.于是，可知系统中在服务的服务台平均数1.4系统的容量有限制的情况（）【10】如果系统的最大容量为N，对于单服务台的情形，排队等待的顾客最多为N-1，在某时刻一顾客到达时，如系统中已有N个顾客，那么这个顾客就被拒绝进入系统.当N 1时为即时制的情形；当，为容量无限制情形.列出状态概率的稳态方程：解这差方程，令得在对容量没有限制的情形下，我们曾设，这不仅是实际问题的需要，也是无穷级数收敛所必需的.在容量为有限数N的情形下，这个条件就没有必要了.不过当时，表示损失率的将是很大的.我

45、们可以导出系统的各种指标：对长（期望值）（2）队列长（期望值）.当研究顾客在系统平均逗留时间和在对列中的平均等待时间时，要注意平均到达率是在系统中有空时的平均到达率，当系统已满时，则到达率为0，因此需要求出有效到达率.可以验证：顾客逗留时间（期望值）（4） 顾客等待时间（期望值）1.5排队模型【11】 排队模型是1个服务台的等待制服务系统，输入过程是以为参数的最简单流，各顾客的服务时间是相互独立且具有相同分布的随机变量，其数学期望和方差分别为和.服务台的服务强度 当时，我们有如下的结论：同时我们还可以知道，忙期的平均长度在忙期内被服务的顾客的平均数为.1.6排队模型【12】在排队模型中，顾客的

46、服务时间V服从爱尔朗分布，此时有 ，因此，当时，则下列各式：（三）排队论的应用1.排队论在公路收费站服务台设计及管理的应用【13】在高速公路收费站服务台设计及管理中运用排队论进行定量分析，运用排队论的知识对其进行优化和设计并建立合适的数学模型.通过对模型的优化设计，建立高速公路收费站的服务台与工作人员的配备模型，对避免盲目确定收费亭建设规模大小，提高收费站服务台的服务和管理水平，降低运营成本等有着重要作用.2.排队论在改进银行服务系统中应用探索【14】.应用排队论理论对银行服务系统进行了统计调查与分析，从技术的角度分析银行应该采取什么措施使顾客的等待时间最短；并从经济学角度分析成本和损失如何协

47、同，来优化系统，使银行效益达到最大.3排队论在高校选课系统服务台模型设计中的应用【15】在高校网络系统中，随着客户机数量和密集性任务的增加，单个Web服务器受到处理能力的限制，已经成为网络访问的新瓶颈.若增加Web服务器缓解资源的紧张，则可能造成成本增加，设备闲置.因此，Web服务器具备可用性将成为解决这一问题的最佳方法.在综合考虑系统中主要应用的算法基础上，以概率动态分布为基础，综合运筹学中的排队论原理，建立一种应用在高校选课系统中的多道等待服务台模型.实践结果证明，提出的模型应用在高校选课系统中，减少运营成本，提高服务水平效果.三、总结部分（将全文主题进行扼要总结，提出自己的见解并对进一步

48、的发展方向做出预测）排队论是一个前沿性研究课题. 排队论 也称随机服务系统理论service system theory）,是一门研究拥挤现象（排队、等待）的科学【1】， 是通过对服务对象到来及服务时间的统计研究，得出这些数量指标（等待时间、排队长度、忙期长短等）的统计规律，然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象，使得服务系统既能满足服务对象的需要，又能使机构的费用最经济或某些指标最优。它是数学运筹的分支学科。也是研究服务系统中排队现象随机规律的学科。广泛应用于计算机网络, 生产, 运输, 库存等各项资源共享的随机服务系统。 排队论研究的内容有3个方面：统计推断，根据资料建立

49、模型；系统的性态，即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。排队模型、排队模型、排队模型等等）特征下的计算过程，并对提出的实际问题，建立科学的排队模型进行分析，从而使提出的问题达到最优解. 四、参考文献（根据文中参阅和引用的先后次序按序编排）1王文平.运筹学M.北京:科学出版社,2007.2谷源盛.运筹学M.重庆:重庆大学出版社,2001.3郭志勇.客运专线桥上无缝道盆的设计J.铁道建筑,2007, 7 .4严智渊.排队论及其应用J.上海交通大学学报,1980, 3 :157-166.5张蕊.服务行业排队论问题分析J.齐齐哈尔

50、滨大学学报,2002, 6 .6Hamdy A.Taha.运筹学（英文版）M.北京:人民邮电出版社,2007.7美 Hamdy. A. Taha. Operations Research An IntroductionM.北京:人民邮电出版社,2007.8江天学,黄劳生.简明运筹学M.南京:东南大学出版社,1991.9傅家良.运筹学方法与模型M.上海:复旦大学出版社,2005.10教材编写组.运筹学M.北京:清华大学出版社,2005. 11魏国华.实用运筹学M.上海:复旦大学出版社,1987.12杨超.运筹学M.北京:科学出版社,2004.13汤洪波,刘向远.排队论在公路收费站服务台设计及管理

51、中的应用J.西南交通大学交通运输学院,2009,29 5 :76-78.14林正雄.排队论在改进银行服务系统中应用探索J.现代商贸工业,2010, 1 :167-18.15陈立平.排队论在高校选课系统服务台模型设计中的应用J.计算机技术与发展,2008, 18 :216-218.开题报告排队论的综述与应用选题的背景、意义（一）历史背景 日常生活中存在大量有形和无形的排队或拥挤现象，如旅客购票排队，市内电话占线等现象.排队论的基本思想是1910年丹麦电话工程师A.K.埃尔朗在解决自动电话设计问题时开始形成的，当时称为话务理论.他在热力学统计平衡理论的启发下，成功地建立了电话统计平衡模型，并由此得

52、到一组递推状态方程，从而导出著名的埃尔朗电话损失率公式【1】.自20世纪初以来，电话系统的设计一直在应用这个公式30年代苏联数学家.欣钦把处于统计平衡的电话呼叫流称为最简单流数学家巴尔姆又引入有限后效流等概念和定义深入地分析了电话呼叫的本征特性，促进了排队论的研究50年代初，家关于生灭过程的研究、学家D.G.肯德尔提出嵌入理论，以及对排队队型的分类方法，为排队论奠定了理论基础在这以后，L.塔卡奇等人又将组合方法引进排队论，使它更能适应各种类型的排队问题70年代以来，人们开始研究排队网络和复杂排队问题的渐近解等，成为研究现代排队论的新趋势排队论 也称随机服务系统理论service system

53、theory）,是一门研究拥挤现象（排队、等待）的科学【3】， 是通过对服务对象到来及服务时间的统计研究，得出这些数量指标（等待时间、排队长度、忙期长短等）的统计规律，然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象，使得服务系统既能满足服务对象的需要，又能使机构的费用最经济或某些指标最优。它是数学运筹的分支学科。也是研究服务系统中排队现象随机规律的学科。广泛应用于计算机网络, 生产, 运输, 库存等各项资源共享的随机服务系统。 排队论研究的内容有3个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和有效运行各个服务系统

54、，使之发挥最佳效益。: 利用广义模型的记法，有并且，因为所有的到达顾客都能加入到系统.1.3 排队模型【7】为泊松输入、负指数分布服务、无限个服务台的服务系统.1.4系统的容量有限制的情况（）【8】如果系统的最大容量为N，对于单服务台的情形，排队等待的顾客最多为N-1，在某时刻一顾客到达时，如系统中已有N个顾客，那么这个顾客就被拒绝进入系统.1.5排队模型【9】 排队模型是1个服务台的等待制服务系统，输入过程是以为参数的最简单流，各顾客的服务时间是相互独立且具有相同分布的随机变量，其数学期望和方差分别为和.服务台的服务强度 1.6排队模型【10】在排队模型中，顾客的服务时间V服从爱尔朗分布，此

55、时有 ，3排队论的实际应用1.排队论在公路收费站服务台设计及管理的应用【11】在高速公路收费站服务台设计及管理中运用排队论进行定量分析，运用排队论的知识对其进行优化和设计并建立合适的数学模型.通过对模型的优化设计，建立高速公路收费站的服务台与工作人员的配备模型，对避免盲目确定收费亭建设规模大小，提高收费站服务台的服务和管理水平，降低运营成本等有着重要作用.2.排队论在改进银行服务系统中应用探索【12】.应用排队论理论对银行服务系统进行了统计调查与分析，从技术的角度分析银行应该采取什么措施使顾客的等待时间最短；并从经济学角度分析成本和损失如何协同，来优化系统，使银行效益达到最大.3排队论在高校选

56、课系统服务台模型设计中的应用【13】在高校网络系统中，随着客户机数量和密集性任务的增加，单个Web服务器受到处理能力的限制，已经成为网络访问的新瓶颈.若增加Web服务器缓解资源的紧张，则可能造成成本增加，设备闲置.因此，Web服务器具备可用性将成为解决这一问题的最佳方法.在综合考虑系统中主要应用的算法基础上，以概率动态分布为基础，综合运筹学中的排队论原理，建立一种应用在高校选课系统中的多道等待服务台模型.实践结果证明，提出的模型应用在高校选课系统中，减少运营成本，提高服务水平效果.二、研究的基本内容与拟解决的主要问题本文的基本内容在于介绍排队论的历史背景，不同的排队模型，以及实际的应用目的在于

57、对排队论的历史背景，模型等进行综述，并总结排队论在生活各个领域的应用.本文首先介绍排队论的背景、基本概念.然后介绍了各种不同的排队模型.最后利用排队论的思想解决一些实际生活中的问题所以越来越多的领域借助于排队理论来做出最优的决策三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标本文介绍排队论的一些基本概念，分析几个常见的排队论的模型：广义模型、单服务台模型、排队模型、系统的容量有限制的情况（）、排队模型、排队模型等.在文献5-10具体介绍了不同的排队模型理论根据排队系统的统计分析，即判断一个给定的排队系统符合于那种模型，以便根据排队理论进行分析研究.在现实生活中由于越来越多的领域借助于排队理论

58、来做出最优决策，完善排队理论及其有效解法已成为重要研究课题排队模型作为求解排队问题较实用而有效的模型已在实际中得到广泛应用最后本文例举一些实际问题, 建立科学的排队模型进行分析，从而使提出的问题达到最优解.四、论文详细工作进度和安排五、主要参考文献：1张蕊.服务行业排队论问题分析J.齐齐哈尔滨大学学报,2002, 6 .2Hamdy A.Taha.运筹学（英文版）M.北京:人民邮电出版社.2007.3王文平.运筹学M.北京:科学出版社,2007.4谷源盛.运筹学M.重庆:重庆大学出版社,2001.8.5美 Hamdy. A. Taha. Operations Research An Intro

59、ductionM.北京:人民邮电出版社,2007.6江天学,黄劳生. 简明运筹学M.南京:东南大学出版社,1991.7傅家良.运筹学方法与模型M.上海:复旦大学出版社,2005.8教材编写组.运筹学M.北京:清华大学出版社,2005.9魏国华.实用运筹学M.上海:复旦大学出版社,1987.10杨超.运筹学M.北京:科学出版社,2004.11汤洪波,刘向远.排队论在公路收费站服务台设计及管理中的应用J.西南交通大学交通运输学院,2009,29 5 :76-78.12林正雄.排队论在改进银行服务系统中应用探索J.现代商贸工业,2010, 1 :167-18.13陈立平.排队论在高校选课系统服务台模型设计中的应用J.计算机技术与发展,2008, 18 :216-218.4528