基于SPWM变频调速矢量控制系统研究及其仿真

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1、1文献综述与调研报告：（阐述课题研究的现状及发展趋势，本课题研究的意义和价值、参考文献）1 1 课题研究的现状及发展趋势课题研究的现状及发展趋势直流电力拖动和交流电力拖动在 19 世纪先后诞生1。在 20 世纪大部分时间中，直流拖动由于具有优越的调速性能而被广泛使用，因而一直处于主导地位。直到 20 世纪中期，随着电力电子技术、微电子技术、电机学以及自动控制技术的发展，使得采用电力电子变换器的交流变频调速系统应运而生。此时，早期的直流电动机的缺点显示出来了，如机械式换向器结构复杂，制造费时，价格昂贵，且在换向时易产生火花。相比之下，交流电动机就具有许多的优点：结构简单，重量轻，制造方便，可靠性

2、和运行效率高，不易出故障，适用场合不受限制等，交流电机的价格也远远低于直流电机， 。再者，直流电机由于换向器的存在，单机容量不可能很大，而交流电机则没有这个缺点。正是由于交流电机有这些优点，使得它在电力拖动系统中的应用日益比直流电动机广泛1819。在电气传动中，广泛应用脉宽调制（PWMpulse width modulation）控制技术4，脉宽调制技术的发展和应用优化了变频器装置的性能，适用于各类交流调速系统，为交流调速技术的普及发挥了主要的作用。脉宽调制技术种类很多，并且还在不断的发展中，现有的技术基本可以分为四类：等宽 PWM 法、正弦 PWM 法（SPWM） 、磁链追踪型 PWM 法和

3、电流跟踪型 PWM 法。PWM 技术克服了相控技术的弊端，有效地抑制了高次谐波，使得交流电动机定子得到了接近正弦波形的电压和电流，提高了电机的功率因素和输出效率19。传统的交流变频变压脉宽调制技术是用正弦波来调制等腰三角波而获得一系列等幅不等宽的PWM 矩形波1，而正弦波脉宽调制（SPWM）则是将正弦波与三角波信号相比较，在交点时刻控制开关器件的通断，即可得到一组等幅而脉冲宽度正比于该曲线函数值的矩形脉冲13。通过改变正弦波控制信号的幅值和频率，即可实现变频变压的控制和消除谐波。SPWM 控制技术有单极式控制和双极式控制两种方式，三相桥式 PWM 逆变器一般采用双极式控制方式。近年来，随着电力

4、电子技术的发展及交流电动机本身具有的优越性，为交流调速提供了广泛的应用前景。由于交流异步电动机的数学模型是一个高阶、非线性、强耦合的多变量系统，采用经典的交流电机理论和传统的控制系统分析方法，不能完全适应于现代交流调速系统13。上世纪 70 年代提出的异步电动机矢量控制和 80 年代提出的异步电动机直接转矩控制系统则是比较好的电机控制方案，然而，作为高性能的调速系统，这两种方案虽能实现较高的静、动态性能，但这两种系统的具体控制方式不一样，因而具有不同的优缺点。直接转矩控制系统由于采用砰砰控制能够带来很好的转矩响应，但同时由于其开关频率的不确定性，使得直接转矩控制系统存在输出电压，电流的谐波较大

5、，输出电压偏低等缺点而使其稳态指标比矢量控制系统差19。矢量控制系统的理论是通过坐标变换和磁场定向控制，把交流电动机的定子电流分解成磁场定向坐标的磁场电流分量和与之相垂直的坐标转矩电流分量，从而实现两者之间的解耦，得到类似于直流电机的转矩模型并可仿照直流电机进行快速的转矩控制和磁通控制，使系统动态性能得到显著改善，从而使交流电机的调速技术了突破性的进展。目前，运用矢量控制已成为当今交流变频调速系统的主流。2 2 课题研究的意义和价值课题研究的意义和价值矢量控制理论解决了交流电动机的转矩控制问题，应用坐标转换将三相系统等效为两相系统，再经过按转子磁场定向的同步旋转变换实现了定子电流励磁分量与转矩

6、分量的解耦，从而达到对交流电机的磁链和电流分别控制的目的。使交流调速系统发生了质的飞跃，逐步取代直流调速系统，成为主要的传动装置。例如，现代高速列车、地铁、电动汽车都采用了交流调速系统。上世纪70年代，许多专家学者经过潜心研究，并在实践中不断改进，终于形成了目前所普遍应用的异步电动机矢量控制变频调速系统。为此，建立异步电动机矢量控制系统的仿真模型，可以有效地节省控制系统的设计时间，及时验证施加于系统的控制算法，观察系统的控制输出，同时可以充分利用计算机仿真的优越性，人为地加入不同的扰动和参数变化，以便考察系统在不同工作情况下的动、静态特性。MATLAB提供的动态系统仿真工具SIMULINK，是

7、众多仿真软件中功能最强大、最优秀、最容易使用的一种。它具有模块化、可重载、可封装、面向结构图编程及可视化等特点，可大大提高系统仿真的效率和可靠性。在分析异步电动机矢量控制方法的基础上，使用MATLAB的SIMULINK建立异步电动机矢量控制变频调速系统的仿真模型，利用仿真模型，进行控制系统的仿真实验1318。1 SPWM 原理及调制方法原理及调制方法SPWM 变频调速是交流调速系统中较为常见且较为有效的一种调速方式。其思路是江亦可条幅调频的正弦波调制成一串等距、等幅、中间宽两边窄的脉冲信号。如图 1 所示，如果把正弦波的上半部分 n 等分，然后把每一等分的正弦曲线与轴所包围的面积都用一个与此面

8、积相等的t矩形脉冲来等效。矩形脉冲的幅值不变，各脉冲的中点与正弦波每一等分的中点重合。这 n 个中间宽两边窄的等幅矩形脉冲与正弦波的半周等效，成为 SPWM 波形。UdUtoo图 1 与正弦波等效的 SPWM 波形若用 SPWM 波形作为逆变器的触发脉冲，则逆变器在理想状态下也应该输出 SPWM 波形，通过改变矩形脉冲的宽度可以控制逆变器输出交流基波电压的幅值，通过改变调制周期（即正弦波的周期）可以控制其输出频率，从而在逆变器上可以同时进行输出电压与频率的控制，满足变频调速对电压与频率协调控制的要求。SPWM 各脉冲幅值相等，所以逆变器可由恒定的直流电源供电，另外，SPWM 波形与正弦波等效，

9、这样使负载电机可在近似正弦波的交变电压下运行，转矩脉动小，提高了系统的性能。采用高开关频率的全控型电力电子器件组成逆变电路时，先假定器件的开与关均无延时，于是可将要求变频器输出三相 SPWM 波的问题转化为如何获得与其形状相同的三项 SPWM 控制信号的问题，用这些信号作为逆变器中各电力电子器件的基极（栅极）驱动型号。参考信号发生器三角波发生器UaUbUcUraUrbUrcUt图 2 SPWM 变压变频器的模拟控制框图图 2 是 SPWM 变压变频器的模拟控制框图。三相对称的参考正弦电压调制信号、raUrbU有参考信号发送器提供，其频率和幅值都可调，三角载波信号有由三角波发送器提供，各rcUt

10、U项公用。它分别与每一相调制信号进行比较，产生 SPWM 脉冲波序列。aUbUcU三相桥式 PWM 逆变器所实现的目标是将恒定的直流输入电压整形为正弦波形的三相输出电压，并控制输出电压的幅值和频率，为了输出对称平衡的三相输出电压，可将互差 120的三个正弦波控制信号电压与同一个三角载波比较，产生所需的开关控制信号三相桥式 PWM 逆变器采用双极性控制方式。在图 3 所示的原理图中，VT1 VT6 由 SPWM波驱动MVT1VT2VT3VT4VT5VT6VD1VD2VD3VD4VD5VD6Ud图 3 三相桥式 PWM 逆变器原理图2 矢量控制原理矢量控制原理1 矢量控制的提出直流电机的动态数学模

11、型只有一个输入变量（电枢电压）和一个输出变量（转速） ，在控制对象中含有机电时间常数 Tm 和电枢回路电磁时间常数他 Tl以及晶闸管的滞后时间常数 Ts ，可以描述为单变量的三阶线性系统。而异步电动机在变频调速时需要进行电压（或电流）和频率的协调控制，有电压（或电流）和频率两种独立的输入变量，如果考虑三相交流电，其实际输入变量还要多。在异步电动机中，电压（电流） 、频率、磁通、转速之间相互都有影响，是强耦合的多变量系统。三相异步电动机定子有三个绕组，转子也可等效为三个绕组，每个绕组产生磁通时都有自己的电磁惯性，再加上运动系统的机电惯性，因此异步电动机是一个高阶、非线性、强耦合的多变量系统。而矢

12、量控制就是一种将三相交流的磁场系统转变为一个旋转体上的直流磁场系统。2 矢量控制的基本构思如上所述，要把一个三相交流的磁场系统和一个旋转体上的直流磁场系统，就需要一个两相系统作为过度，可以互相进行等效变换。 1ABCiAiBiCF1iiF1MTiMiTF图 4 三相交流绕组 图 5 两相交流绕组 图 6 两相旋转绕组当异步电动机多相对称绕组通已多相对称的电流时，能够产生磁场，如图 4 所示是三相对称绕组 A、B、C 通以三相对称交流电流时，在空间产生一个角速度为 1的旋转磁场；图 5 是两个空间位置互相垂直的绕组 和 ，通以两相对称交流电流（相位差为 90）时，也产生一个旋转磁场，当两个旋转磁

13、场的大小、转向、转速与合成磁场都相同时，图 4 和 5 两套绕组是等效的，图 6 是两个相等且互相垂直的 M 和 T 绕组，他们与旋转磁场同步旋转，M 绕组的轴线与三相合成磁场方向平行，T 绕组的轴线则与之垂直，绕组中分别通以直流电流 和，产生的磁场MiTi与三相合成磁场等效，则与合成旋转磁场平行的电流分量相等于电动机的励磁电流分量，用它Mi来产生电动机的磁场；与垂直的分量相当于电动机的转矩电流分量。调节的大小可以改TiMi变磁场的强弱，调节的大小可以在磁场一定时改变转矩。这样 中的绕组与 中的绕组等效。Ti因此，只要通过变换运算，有规律的控制、,就能达到预想的调节 和的目的，这AiBiCiM

14、iTi就是异步电动机矢量变换控制的基本思想。AiCBiimit3/2VR等效直流电机模型异步电动机 图 7 异步电动机的坐标变换结构图由于进行坐标变换的是电流(代表磁动势)的空间矢量，所以这样通过坐标变换实现的控制系统就叫做矢量控制系统。图 7 是上述等效关系的结构图，从整体上来看，是一台输入为 A、B、C三相电压，输出为转速 的异步电动机。从内容看，经过 3/2 变换和同步变换，变成一台和Mi输入，输出的直流电动机。Ti南通大学毕业设计（论文）I摘摘 要要变频调速是交流电动机各种调速方式中效率最高、性能最好的调速方法,在整个交流调速中占有重要的地位。采用 MATLAB 软件包中的 SIMUL

15、INK 对基于数学模型基础上的电气传动控制系统进行仿真建模，具有建模简便、结构直观、操作灵活等优点，并且仿真结果具有较高的精度。 本文介绍了现代交流调速系统的概况、矢量控制的基本概念以及在三相坐标系和两相坐标系下的异步电动机的数学模型。并在此基础上应用 MATLAB 下的仿真工具 SIMULINK软件建立了按转子磁场定向的异步电动机的数学模型，并对其进行仿真分析。重点是对交流电机 SPWM 变频调速矢量控制系统的建模和仿真，并给出了仿真模型和仿真结果。关键词：MATLAB/SIMULINK，矢量控制，异步电动机，仿真南通大学毕业设计（论文）II目 录摘 要 .IABSTRACT .II第一章

16、概 述.11.1 现代交流调速系统的发展 .11.2 矢量控制 .21.3 研究内容 .3第二章 异步电动机的多变量数学模型.42.1 异步电动机在三相坐标系上的数学模型和性质 .42.1.1 异步电动机在三相坐标系上的数学模型.42.1.2 异步电动机在三相坐标系上数学模型的性质.92.2 坐标变换 .102.2.1 三相静止/两相静止坐标变换（3S/2S）.112.2.2 两相静止/两相同步旋转的坐标变换（2S/2R）.132.2.3 直角坐标极坐标变换(K/P).142.3 异步电动机在两相坐标系上的数学模型 .152.3.1 两相任意旋转坐标系上的数学模型.152.3.2 两相静止坐标

17、系上的数学模型.182.3.3 两相同步旋转坐标系上的数学模型.192.3.4 按转子磁场（磁通）定向的数学模型.19第三章 异步电动机的矢量控制策略.223.1 矢量控制的基本思想 .223.1.1 矢量控制方法的提出.223.1.2 矢量控制变换的思路.223.2 按转子磁场定向的矢量控制的实现 .233.3 正弦波脉宽调制技术 .263.3.1 正弦波脉宽调制的原理.263.3.2 SPWM 控制方法.263.3.3 电压型三相桥式逆变器.27第四章 模型的建立和仿真结果分析.284.1 MATLAB/SIMULINK 简介.284.2 异步电动机仿真模型子系统的建立 .284.2.1

18、3S/2R 变换.284.2.2 2R/3S 变换.294.2.3 电压电流变换.30南通大学毕业设计（论文）III4.2.4 异步电动机矢量控制模型.304.2.5 电流电压变换.314.2.6 逆变器模型仿真结构.314.3 异步电动机模型仿真 .314.3.1 异步电动机转速和电磁转矩的关系.334.3.2 系统仿真.334.4 基于 SPWM 变频调速矢量控制系统的仿真.354.4.1 SPWM 变频调速矢量控制系统的模型建立.354.4.2 系统仿真.364.5 系统仿真的比较 .38第五章 结论与展望.395.1 结论 .395.2 研究展望 .39参考文献.40致 谢.41南通大

19、学毕业设计（论文）1第一章第一章 概概 述述1.1 现代交流调速系统的发展长期以来在调速传动领域大多采用磁场电流和电枢电流可以独立控制的直流电动机传动系统，它的调速性能和转矩控制特性比较理想，可以获得良好的动态响应，然而由于在结构上存在的问题使其在设计容量受到限制，不能适应高速大容量化的发展方向。交流电动机以其结构简单、制造方便、运行可靠，可以以更高的转速运转，可用于恶劣环境等优点得到了广泛的运用，但交流电动机的调速比较困难。在上个世纪 20 年代，人们认识到变频调速是交流电动机一种最理想的调速方法， 由于当时的变频电源设备庞大， 可靠性差，变频调速技术发展缓慢。60 年代至今，电力电子技术和

20、控制技术的发展1，使交流调速性能可以与直流调速相媲美。现代电子技术(包括大规模集成电路技术、电力电子技术和计算机技术)的飞速发展、电动机控制理论的不断完善以及计算机仿真技术的日益成熟，极大的推动了交流电动机变频调速技术的发展2。电气传动是现代最主要的机电能量变换形式之一。在当今社会中广泛应用着各式各样电气传动系统，其中许多机械有调速的要求：如车辆、电梯、机床、造纸机械、纺织机械等等，为了满足运行、生产、工艺的要求往往需要调速的另一类设备如风机、水泵等为了减少运行损耗，节约电能也需要调速。如果根据原动机来分类，那么原动机是直流电动机的系统称之为直流电气传动系统；反之原动机是交流电动机的系统，则称

21、之为交流电气传动系统。如果根据转速的变化情况来分类，电气传动系统又可分为恒速电气传动系统和变速电气传动系统两大类。在上世纪 80 年代以前，直流传动是唯一的电气传动方式。这是因为直流电动机调速方便，只要改变电机的输入电压或励磁电流，就可以在宽广的范围内实现无级调速，而且在磁场一定的条件下它的转矩和电流成正比，从而使得它的转矩易于控制、转矩的调节性能和控制性能比较理想。但是，在直流电气传动系统中，由于直流电动机本身在结构上存在严重的问题，它的机械接触换向器不但结构复杂，制造费时，价格昂贵，而且在运行中容易产生火花，特别是由于换向器强度不高等问题的存在，直流电动机无法做成高速大容量的机组；此外由于

22、电刷易于摩擦等问题存在，在运行中需要有经常性的维护检修，以上这些缺陷就造成了直流电气传动不尽理想。1885 年交流鼠笼型异步电动机的问世打破了直流传动作为唯一电气传动方式的局面。由于它结构简单、运行可靠、价格低廉而且坚固耐用，惯量小，便于维修，适用于恶劣环境等特点，使其在工农业生产中得到了极广泛的应用。但是交流电动机调速比较困难，南通大学毕业设计（论文）2而且其调速性能(调速范围、稳定性或静差、平滑性等)却无法与直流调速系统相媲美，因此这些电机绝大部分都是恒速运行的。早在 19 世纪 30 年代，国外就开始研究各种交流电机变速传动。在早期采用的主要是绕线式异步电动机转子外串电阻和鼠笼型异步电动

23、机变极调速。后来在 50 年代异步电动机定子串饱和电抗器的调速方法也有了一定的发展。由于受电机结构和制造工艺的限制，变极调速通常只能实现两三种极对数的变换，不能做到连续地调节速度，调速范围和极数都非常有限。此外还可以依靠改变定子电压(改变电源电压或定子串阻抗)，或绕线型电动机转子串电阻，或带有转差离合器的异步电机调节励磁电流都可实现变转差率调速。但是电机的损耗与转差率成比例地增大，效率随转速的降低而降低，由于电机在高转差、低转速下运行特性恶化，使实际可行的调速范围受到限制。在 60 年代大功率半导体变频装置的问世开创了电力电子技术发展的新时代，这种半导体电力电子器件具有体积小、价格低、坚固耐用

24、、性能良好等优点，通过使用它可以连续地改变电源频率，十分理想地实现交流电动机的无级调速，从而使交流电机调速技术飞跃发展。尤其是 70 年代以来，大规模集成电路和计算机控制技术的发展，新型电力电子器件的出现，以及先进控制理论(如自适应控制、模糊控制、神经网络控制等)等的应用，为交流电力拖动的开发进一步创造了有利条件。如今交流调速领域相当活跃，新技术层出不穷。目前，交流调速系统正向集成化、实用化、智能化方向发展。诸如交流电动机的串级调速、各类型的变频调速、无换向电动机调速，特别是矢量控制技术、直接转矩控制技术的应用，使得交流调速逐步具备了宽调速范围、高稳速精度、快动态响应等良好的技术性能。原来的交

25、直流拖动分工格局被逐渐打破，在各工业部门用可调速交流拖动取代直流拖动己指日可待，特别是在世界能源紧张、能源费用高涨的今天，交流调速技术作为节约能源的一个重要手段，引起了人们的高度重视。总之，交流调速技术的应用有着广阔的前景，随着生产技术的不断发展，交流调速逐步代替直流调速的时代己经到来2。1.2 矢量控制矢量控制 当前异步电动机调速总体控制方案中，V/F 控制方式是最早实现的调速方式。该控制方案结构简单，通过调节逆变器输出电压实现电机的速度调节，根据电机参数，设定 V/F曲线，其可靠性高。但是，由于其速度属于开环控制方式，调速精度和动态响应特性并不是十分理想。尤其是在低速区域由于定子电阻的压降

26、不容忽视而使电压调整比较困难，不能得到较大的调速范围和较高的调速精度。矢量控制是当前工业系统变频应用的主流，它是通过分析电机数学模型对电压、电流等变量进行解耦控制而实现的。针对不同的应南通大学毕业设计（论文）3用场合，矢量控制系统可以分为带速度反馈的控制系统和不带速度反馈的控制系统。矢量控制变频器可以对异步电动机的磁通和转矩电流进行控制和检测，自动改变电压和频率，使指令值和检测实际值达到一致，从而实现了变频调速，大大提高了电机控制静态精度和动态品质。转速精度约等于 0.5%，转速响应也较快。采用矢量变频器一般电机变频调速三可以达到控制结构简单、可靠性高的效果，主要表现在以下几个方面3：（1）

27、可以从零转速起进行控制，因此调速范围很广（2） 可以对转矩实行较为精确控制（3） 系统的动态响应速度快（4） 电动机的加速度特性好1.3 研究内容研究内容本课题用 MATLAB/SIMULINK 软件搭建数学模型仿真实现 SPWM 变频调速矢量控制系统的仿真1、从矢量控制的思想出发,在坐标系和矢量控制技术的基础上,针对多变量、非线性、强耦合的异步电动机系统，使用按转子磁场定向的方法来建立系统的数学模型。2、在 MATLAB 的 SIMULINK 对电机模型、正弦波脉宽调制(SPWM)、SPWM 变频调速矢量控制系统进行仿真，验证该系统的可行性和可靠性。南通大学毕业设计（论文）4第二章 异步电动

28、机的多变量数学模型一般来说，交流变速传动系统，特别是变频传动系统的控制是比较复杂的，要设计研制一个品质优良的系统，要确定最佳的控制方式，都必须对系统的静态和动态特性进行充分的研究。交流电机是交流变速传动系统中的一个主要环节，其静态和动态特性以及控制技术远比直流电机复杂，而建立一个适当的异步电机数学模型则是研究交流变速传动系统静态和动态特性及其控制技术的理论基础。2.1 异步电动机在三相坐标系上的数学模型和性质2.1.1 异步电动机在三相坐标系上的数学模型异步电动机是一个高阶、非线性和强耦合的多变量系统。这是因为首先异步电动机在进行变频调速时，电压和频率之间必须进行协调控制，故输入变量有电压和频

29、率。而在输出变量中，除转速以外，由于在调速过程中必须保持磁通为恒定，所以磁通也是一个控制量，而且是一个独立的输出量。再考虑异步电动机是三相的，所以异步电动机的动态数学模型是一个多输入、多输出(多变量)的系统，而电压(电流)、频率、磁通、转速之间又相互影响，所以它是一个强耦合的多变量系统。其次，异步电动机的电磁转矩是磁通和电流相互作用产生的，旋转感应电动势是转速和磁通相互作用产生的，因此，在数学模型中会含有两个变量的乘积项，再考虑磁饱和的因素，所以异步电动机的数学模型是一个非线性的系统。最后，由于异步电动机定、转子三相绕组中的电流产生的磁通存在电磁惯性，转速的变化存在机械惯性等因素，所以异步电动

30、机的数学模型是一个高阶系统。在研究异步电动机的多变量数学模型时，常做如下假设1：1、 忽略空间谐波，设三相绕组对称(在空间互差 120电角度)，所产生的磁动势沿气隙圆周按正弦规律分布;定子、及三相转子绕组、 在空间对称分布ABCabc2、 忽略磁路饱和，各绕组的自感和互感都是恒定的3、 忽略铁心损耗4、 不考虑温度和频率的变化对电机参数的影响无论电动机转子是绕线型的还是鼠笼型的，都将它等效成绕线转子，并折算到定子侧，折算后的每相绕组匝数都相等。这样，实际电动机就被等效为图 2.1 示的三相异步南通大学毕业设计（论文）5电动机的物理模型。图中，定子三相绕组轴线、在空间是固定的，故定义为三ABC相

31、静止坐标系。设轴为参考坐标轴，转子以速度旋转，转子绕组轴线为、 随Aabc转子旋转。转子轴和定子轴间的电角度差为空间角位移变量。规定各绕组电压、电aA流、磁链的正方向符合电动机惯例和右手螺旋定则。这时，异步电动机的数学模型由下述的电压方程、磁链方程、转矩方程和运动方程组成。 CABabcuAuBuCuaubuciAiBiCiaibic图 2.1 三相异步电动机的物理模型1 电压方程式三相定子绕组电压平衡方程式为 （2-1）dtdRiuAsAA （2-2）dtdRiuBsBB （2-3）dtdRiuCsCC与此相应，三相转子绕组折算到定子侧后的电压方程式为 （2-4）dtdRiuaraa (2-

32、5)dtdRiubrbb南通大学毕业设计（论文）6 (2-6)dtdRiucrcc式中， ，定子和转子相电压的瞬时值；AuBuCuaubucu， 定子和转子相电流的瞬时值；AiBiCiaibici， 各相绕组的全磁链；ABCabc， 定子和转子绕组的电阻；sRrR上述各量都已折算到定子侧，为了简单起见，表示折算的上角标“ ”均省略将电压方程用矩阵形式，并用微分算子代替微分符号pdtdu (2-7)cbaCBAcbaCBAsssssscbaCBApiiiiiiRRRRRRuuuuuu000000000000000000000000000000或写成 (2-8)pRiu2 磁链方程式每个绕组的磁链

33、是它本身的自感磁链和其他绕组对它的互感磁链之和，因此，六个绕组磁链可表达为 (2-9)cbaCBAcccbcacCcBcAbcbbbabCbBbAaCaBaaaCaBaACcCbCaCCCBCABcBbBaBCBBBAAcAbAaACABAAcbaCBAiiiiiiLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL或写成 (2-10)Li式中是 66 阶的电感矩阵，其中对角线元素、是各LAALBBLCCLaaLbbLccL相关绕组的自感，其余各项则是绕组间的互感。对于每一项绕组来说，它所交链的磁通是互感磁通与漏磁通之和，因此，定子各相自感为南通大学毕业设计（论文）7 (2

34、-11)lsmsCCBBAALLLLL转子各相自感为 (2-12)lrmslrmrccbbaaLLLLLLL式中，定子、转子互感msLmrL，与磁通对应的定子和转子每相漏感lsLlrL两绕组之间只有互感。互感又分为两类：一类是定子三相彼此之间和转子三相彼此之间位置都是固定的，因此互感为常数；二类是定子任一相与转子任一相之间位置是变化的，因此互感是角位移的函数。由于三相绕组的轴线在空间的相位差是 120电角度，在假设气隙磁通为正弦分布的条件下，互感值为，于是msmsmsLLL21)120cos(120cos （2-13）mscCCcbBBbaAAaLLLLLLL21 （2-14）msmraccb

35、bacabcabLLLLLLLL2121至于第二类，即定子、转子绕组间的互感，由于相互位置的变化，可分别表示为 (2-15)cosmscCCcbBBbaAAaLLLLLLL (2-16)120cos(msaCCacBBcbAAbLLLLLLL (2-17)120cos(msbCCbaBBacAAcLLLLLLL当定子、转子两相绕组轴线一致时，两者之间的互感值最大，就是每相的最大互感值。msL将式（2-11）（2-17）都代入式（2-9） ，即可得到完整的磁链方程，显然这个矩阵方程是比较复杂的，为了方便起见，可以将它写成分块矩阵的形式 （2-18）rrrssrssrsLLLLrsii式中，定子磁

36、链 TCBAs转子磁链 Tcbar定子电流 TCBAsiiii 转子电流 Tcbariiii 南通大学毕业设计（论文）8定子自感矩阵 （2-19）lsmsmsmsmslsmsmsmsmslsmsssLLLLLLLLLLLLL212121212121转子自感矩阵 （2-20）lrmsmsmsmslrmsmsmsmslrmsrrLLLLLLLLLLLLL212121212121定子、转子之间的互感矩阵 （2-21cos)120cos()120cos()120cos(cos)120cos()120cos()120cos(cosmsTsrrsLLL）两个分块矩阵互为转置，且均与转子位置有关，它们的元素

37、都是变参数，srrsLL这是系统非线性的一个根源。可以用坐标变换把参数转换成常数。把磁链方程（2-10）代入电压方程(2-8)，即得展开后的电压方程为 （2-22）iddLdtdiLRiidtdLdtdiLRiLipRiu)(式中，项属于电磁感应电动势中的脉变电动势dtdiL项属于电磁感应电动势中与转速成正比的旋转电动势iddL3 转矩方程按照机电能量转换原理，可求出电磁转矩的表达式eT (2-23)120sin()()120sin()(sin)(bCaBcAaCcBbAcCbBaAmspeiiiiiiiiiiiiiiiiiiLnT式中，电磁转矩eT电机的磁极对数pn4 电力拖动系统运动方程作

38、用在电动机轴上的转矩与电动机速度变化之间的关系可以用运动方程来表达，一南通大学毕业设计（论文）9般情况下，电气传动系统的运动方程为 （2-24）pppLenKnDdtdnJTT式中，负载阻力矩LT机组的转动惯量J转子旋转电角速度旋转阻尼系数D扭转弹性转矩系数K对于恒转矩负载，=0，=0，则DK （2-25） dtdnJTTpLe5 三相异步电动机的多变量非线性数学模型将以上电压方程、转矩方程、磁链方程和运动方程归纳在一起变构成了恒转矩负载下的一部电动机的多变量非线性数学模型 （2-26）dtdiiiiiifTLidtdnJTTiddLdtdiLRiucbaCBAepLe),(2.1.2 异步电

39、动机在三相坐标系上数学模型的性质由式（2-26）可以看出，异步电动机在静止轴系上的数学模型具有以下性质：（1）异步电动机数学模型是一个多变量（多输入多输出）系统输入到电机定子的电量为三相电压（或电流） ，也就是说数学模型有CBAuuu,CBAiii,三个输入变量、输出变量中，除转速外，磁通也是一个独立的输出变量。可见异步电动机数学模型是一个多变量系统。（2）异步电动机数学模型是一个高阶系统 异步电动机定子有三个绕组，另外转子也可以等效成三个绕组，每个绕组产生磁通时都有它的惯性，再加上机电系统惯性，则异步电动机的数学模型至少为七阶系统。南通大学毕业设计（论文）10（3）异步电动机数学模型是一个非

40、线性系统由式（2-15）（2-17）可知，定子、转子之间的互感为的余弦函数，是变参数，这是数学模型非线性的一个根源；由（2-23）可知，式中有定子、转子瞬时电流相乘的项，这是数学模型中又一个非线性根源。可见异步电动机的数学模型是一个非线性系统。（4）异步电动机数学模型是一个强耦合系统由式（2-26）可以看出，异步电动机数学模型是一个变量间具有强耦合关系的系统。综上所述，三相异步电动机在三相静止轴系是上的数学模型是一个多变量、高阶、非线性、强耦合的复杂系统。2.2 坐标变换坐标变换的数学表达式可以用矩阵方程表示为 Y=AX （2-27）式（2-27）表示利用矩阵 A 将一组变量 X 变换为另一组

41、变量，其中系数矩阵 A 成为变换矩阵，例如，设 X 是交流电机三相轴系上的电流，经过矩阵 A 的变换得到 Y，可以认为 Y 是另一轴系上的电流。这时，A 称为电流变换矩阵，类似的还有电压变换矩阵、阻抗变换矩阵等，进行坐标变换的原则如下：（1）确定电流变换矩阵时，应遵守变换前后所产生的旋转磁场等效的原则；（2）为了矩阵运算方便，简单，要求电流变换矩阵应为正交矩阵；（3）确定电压变换矩阵和阻抗变换矩阵时，应该遵守变换前后电机功率不变的原则，即变换前后功率不变。假设电流坐标变换方程为 （2-28）Ci 式中，为新变量， 为原变量，为电流变换矩阵。iiC电压坐标变换方程为 （2-29）Buu 式中，为

42、新变量， 为原变量，为电压变换矩阵。uiB根据功率不变的原则，可以证明 （2-30）TCB 式中，为矩阵的转置矩阵。TCC南通大学毕业设计（论文）11以上表明，当按照功率不变约束条件变换时，若已知电流变换矩阵就可以确定电压变换矩阵。2.2.1 三相静止/两相静止坐标变换（3S/2S）三相轴系和两相轴系之间的关系如图 2.2 所示，为了方便起见，令三相的轴与两A相的轴重合，假设磁动势波形是按正弦分布，或只计其基波分量，当两者的旋转磁场完a全等效时，合成磁动势沿相同轴的分量必定相等，即三相绕组和两相绕组的瞬时磁动势沿、轴的投影相等，即 （2-31） 34sin32sin034cos32cos332

43、3332CBsCBAsiNiNiNiNiNiNiN式中，分别为三相电机和两相电机每相定子绕组的有效匝数。2N3NOABN2iN2iN3iBN3iC60o60oN3iAC图 2.2 三相定子绕组和两相定子绕组中磁动势的空间矢量位置关系计算并整理后得 （2-32）)2121(23CBAsiiiNNi南通大学毕业设计（论文）12 （2-33）)23230(23CBsiiNNi用矩阵表示为 （2-34）CBAssiiiNNii232321210123根据变换前后功率不变的原则，得到匝数比为 （2-35）3223NN代入式（2-33） ，得 （2-36）CBASSCBAiiiCiiiii2/323212

44、3210132式中，表示从三相坐标系到两相坐标系的变换矩阵SSC2/3 （2-37） 322/3SSC2321232101如果要从两相坐标系变换到三相坐标系，可以利用增广矩阵的方法，把扩成SSC3/2方阵，求其逆矩阵后，除去增加的一列，即得 （2-38）232302121112/33/2SSSSCC如果三相绕组是 Y 形联结不带零线，则有，或。代入式0CBAiiiBACiii（2-37）和式（2-38）并整理得 （2-39）221023iiBAii南通大学毕业设计（论文）13 （2-40）2161032BAiiii按照所采用的条件，电流变换矩阵也就是电压变换矩阵，同时还可以证明，它们也是磁链的

45、变换矩阵。2.2.2 两相静止/两相同步旋转的坐标变换（2S/2R）在两相静止坐标系上的两相交流绕组、和在同步旋转坐标系上的两个直流绕组、之间的变换属于矢量变换。矢量变换如图 2.3 所示MTisMsinisMcos1MT(Fs)isisMisTisissisTcosisTsinO图 2.3 两相静止和旋转坐标系与磁动势（电流）空间矢量图 2.3 中，是异步电动机定子磁动势，为空间矢量。通常以定子电流代替。这sFsi时定子电流被定义为空间矢量，记为。图中、是任意同步旋转轴系，旋转角速度siMT为同步角速度。轴与之间夹角用表示。由于两相绕组、在空间上的位置是1Msis固定的，因而轴和轴的夹角是随

46、时间变化的，即，其中为任意的初M01t0始角。在矢量控制系统中，通常称为磁场定向角。以轴为基准，把分解为轴重合和正交的两个分量、，分别称为定子电MsiMsMisTi流的励磁分量和转矩分量。由于磁场定向角是随时间变换的，因而在轴和上的分量、也是随时间sisisi南通大学毕业设计（论文）14变换的。根据图 2.3 可以得到，、和、之间存在下列关系sisisMisTi （2-41）sincossTsMsiii （2-42）cossinsTsMsiii写成矩阵形式，得 （2-43）sTsMSRsTsMssiiCiiii2/2cossinsincos式中， （2-cossinsincos2/2SRC44

47、）式（2-44）是两相旋转坐标系变换到两相静止坐标系的变换矩阵。对式（2-41）两边左乘以变换的逆矩阵，即得 （2-45）sssssTsMiiiiiicossinsincoscossinsincos1则两相静止坐标系变换到两相旋转坐标系的变换矩阵是 （2-46）cossinsincos2/2RSC电压和磁链旋转变换矩阵也与电流（磁动势）旋转变换矩阵相同。2.2.3 直角坐标极坐标变换(K/P)在图 2.3 中令矢量和轴的夹角为，已知，求和，就是直角坐标/siMssMisTisis极坐标变换，简称变换。显然，其变换式应为PK / （2-47）22sTsMsiii （2-48）sMsTsiiarc

48、tan当在 090之间变换，的变化范围是 0，这个变化幅度太大，在数字sstan变换器中很容易溢出，因此常用下列方式来表示的值s （2-49）sMssTsssssssssiiicos1sin)2cos2(2cos)2cos2(2sin2cos2sin2tan南通大学毕业设计（论文）15则 （2-50）sMssTsiiiarctan2式（2-50）可用来代替式（2-48） ，作为的变换式。s2.3 异步电动机在两相坐标系上的数学模型式（2-26）的异步电动机数学模型是建立在三相静止的坐标系式的，如果把ABC它变换到两相坐标系式，由于两相坐标轴互相垂直，两相绕组之间没有磁的耦合，仅此一项，就会使数

49、学模型简单了许多。2.3.1 两相任意旋转坐标系上的数学模型两相坐标系可以是静止的，也可以是旋转的，其中任意转速旋转的坐标系为最一般的情况，有了这种情况下的数学模型，求某一具体的两相坐标系上的数学模型就比较容易了。设两相坐标轴与三相坐标轴的夹角为，而为坐标系相对于定子dAsdqsspdq的角速度，为、坐标系相对于转子的速度。要把三相静止坐标系上的电压方程、dqrdq磁链方程和转矩方程都变换到两相旋转坐标系上来，可以先利用变换将方程中的SS 2/3定子和转子的电流、电压、磁链和转矩都转换到两相静止坐标系、上，然后再利用旋转变换矩阵将这些变量都变换到两相旋转坐标系、上。具体的变换过程比较RS 2/

50、2dq复杂，变换后得到的数学模型如下1 坐标系中的电压方程dq （2-51）rqrdsqsdrrrdqrrdqrrrmmdqsmdqsmmmdqsmdqsmsssdqssdqsssrqrdsqsdiiiipLRLLpLRpLLLpLpLLLpLpLRLLpLRuuuu式中，坐标系定子与转子同轴等效绕组间的互感mLdqmsmLL23坐标系定子等效两相绕组的自感sLdqsmsLLL1坐标系转子等效两相绕组的自感rLdqrmrLLL1因为用两相代替了三相，使两相绕组互感是原三相绕组中任意两相间最大互感（当南通大学毕业设计（论文）16轴线重合时）的倍。msL232 坐标系中的磁链方程dq数学模型的简化

51、的根本原因可从磁链方程和图 2.4 所示的坐标系物理模型上看出，dq其磁链方程为 （2-52）rqrdsqsdrmrmmsmsrqrdsqsdiiiiLLLLLLLL00000000 dqqsqrusqusdurqurdisqisdirqirddrds1 图 2.4 异步电动机变换到坐标系上的物理模型dq由于变换到坐标系上以后，定子和转子等效绕组都落在两根轴上，而且两轴相互dq垂直，它们之间没有互感的耦合关系，互感磁链只在同轴绕组之间存在，所以式中每个磁链分量只剩下两项了。3 坐标系中的转矩方程和运动方程dq把坐标变换矩阵代入三相坐标系中的转矩方程（2-23） ，简化后，得到坐A BC0dq标

52、系中的转矩方程为 （2-53）)(rqsdrdsqmpeiiiiLnT将式（2-52）代入运动方程式（2-24） ，得到坐标系中的运动方程0dq （2-54）pppLenKnDdtdnJTT式（2-51） 、 （2-52） 、 （2-53）和（2-54）构成异步电动机在两相以任意转速旋转的d坐标系上的数学模型。它比在坐标系上的数学模型简单多，阶次也降低了，但其qA BC非线形、多变量、强耦合的性质并未改变。南通大学毕业设计（论文）174 坐标系中的动态结构图dq将电压方程（2-51）等号右侧的系数矩阵分开来写，并考虑式（2-52）的磁链方程，得rqrdsqsduuuussssRRRR00000

53、0000000rqrdsqsdiiiipLpLpLpLpLpLpLpLrmrmmsms00000000rqrdsqsdiiii （2-55）000000000000dqsdqsdqsdqsrqrdsqsd令 Trqrdsqsduuuuu Trqrdsqsdiiiii Trqrdsqsd rrssRRRRR000000000000rmrmmsmsLLLLLLLLL00000000旋转电动势向量000000000000dqsdqsdqsdqsrerqrdsqsd则式（2-55）可以写成 （2-56）reLpiRiu根据式（2-52） 、 （2-54） 、 （2-55）可以画出如图 2.5 所示的动

54、态结构图 u(R+Lp)-11()2()TLTenpJper1Li图 2.5 异步电动机多变量动态结构图图 2.5 表明异步电动机的数学模型具有以下性质： 1) 除负载转矩输入外，异步电动机可以看做一个双输入双输出系统，输入量是电压南通大学毕业设计（论文）18向量和定子输入角频率。电流向量 可以看做是状态变量，它和磁链向量之间有由式u1i（2-52）确定的关系。2)非线性因数存在与和中，即存在于产生旋转电动势和电磁转矩的两个环)(1)(2节上。除此之外，系统的其它部分都是线性关系。这与直流电动机弱磁控制的情况相似。3)多变量之间的耦合关系还体现在旋转电动势上，如果忽略旋转电动势的影响，系统便更

55、容易简化成单变量系统了。将式（2-51）中的轴电压方程绘成动态等效电路，如dq图 2.6 所示 RsLmusdurdprdpsdRrL1sL1rdqssqdqrrqisdirda) 轴电路dRsLmusqurqprqpsqRrL1sL1rdqssddqrrdisqirqb) 轴电路q图 2.6 异步电动机在坐标系式的动态等效电路dq2.3.2 两相静止坐标系上的数学模型在静止坐标系式的数学模型是任意旋转坐标系数学模型当坐标转速等于零时的特例。当时，即转子角速度的负值。将下角标改成，则式（2-0dqsdqr dq51）的电压矩阵方程变成 （2-57）rrssrrrmrrrmmmssmmssrrs

56、siiiipLRLpLLpLRpLpLLpLRLpLpLRuuuu0000而式（2-52）的磁链方程改为 rrssrmrmmsmsrrssiiiiLLLLLLLL00000000（2-58）南通大学毕业设计（论文）19利用两相旋转变换矩阵，可得RSC2/2 （2-59）cossinsincoscossinsincosrrrqrrrdsssqsssdiiiiiiiiiiii代入式（2-53）并整理后得到坐标系式的电磁转矩 （2-60）)(rsrsmpeiiiiLnT式（2-59）（2-60）加上运动方程便成为坐标系式的异步电动机数学模型。2.3.3 两相同步旋转坐标系上的数学模型两相同步旋转坐标

57、系其坐标轴仍用表示，只是坐标轴的旋转速度等于定子频dqdqs率的同步角速度，而转子的转速为，因此轴相对于转子的角速度1dq，即转差。代入式（2-51）即得到同步旋转坐标系上的电压方程sdqr1 （2-61）rqrdsqsdrrrsrsrrmmsmsmmmmmssssssrqrdsqsdiiiipLRLLpLRpLLLpLpLLLpLpLRLLpLRuuuu1111磁链方程，转矩方程和运动方程均不变。两相同步旋转坐标系的特点是，当三相坐标系中的电压和电流是交流正弦波时，A BC变换到坐标系上就是直流。dq2.3.4 按转子磁场（磁通）定向的数学模型转子磁场定向即是按转子全磁链矢量方向进行定向，也

58、就是将轴取向于的rMr方向，如图 2.7 所示：Is(Fs)T(A)MOismistusmustrsss图 2.7 转子磁场定向1 电压方程从图 2.7 可以看出，由于轴取向于转子全磁链轴，轴垂直与轴，因而使得MrTM在轴式的分量为零，表明了转子全磁链唯一的由轴绕组中的电流所产生，即定rTrM子电流矢量在轴上的分量式纯励磁电流分量，在轴上的分量是纯转矩电)(ssFiMsMiTsTi南通大学毕业设计（论文）20流分量。在轴系上的分量可用方程表示为rMT （2-62）rMrsMmrrMiLiL （2-63）rTrsTmrTiLiL 0异步电动机在同步旋转坐标系上的电压方程为 （2-64）rTrMs

59、TsMrrrsrsrrmmsmsmmmmmsssssssTsMiiiipLRLLpLRpLLLpLpLLLpLpLRLLpLRuu111100将式（2-63）代入（2-64）中，则式（2-64）中的部分项变为 0，式（2-64）简化为 （2-65）rTrMsTsMrrmmrssrmmssmsmssssTsMiiiipLRpLLLpLRLpLpLRLsLpLLpLRuu000001111式（2-65）是以转子全磁链轴线定向的同步旋转坐标系式的电压方程，也称作磁场定向方程式，其约束条件是。根据这一电压方程可以建立矢量控制系统所依据的0rT控制方程式。2 转矩方程异步电动机在同步旋转坐标系上的转矩方

60、程为 （2-66）)(rTsMrMsTmpeiiiiLnT将式（2-62）和（2-63）代入到式（2-66）中得 （2-67）sTrrmpeiLLnT式（2-67）表明，在同步旋转坐标系上，如果按照异步电动机转子磁场定向，则异步电动机的电磁转矩模型就与直流电动机的电磁转矩模型完全一样了。南通大学毕业设计（论文）21第三章 异步电动机的矢量控制策略3.1 矢量控制的基本思想3.1.1 矢量控制方法的提出在现代自动控制系统和机电一体化产品中普遍要求动作灵活、行动迅速、定位精确，对传动、伺服系统的动态特性由着很高的要求118。任何一个机电传动、伺服系统，在工作中都要服从运动的基本方程 （3-1）dt

61、dnJTTpLe即电机所产生的电磁转矩，除用以克服负载的制动转矩外，其余部分就是用来eTLT产生转子角加速度的动态转矩。若要对一个机电系统的动态性能进行有效地控制，就必须控制系统的动态转矩。在负载转矩的变化规律已知的条件下，这就必须对电LeTT LT机的瞬时电磁转矩进行有效的控制。3.1.2 矢量控制变换的思路由电机学可知，异步电动机多相对称绕组通以多相对称的电流时，能够产生磁场，如图 3.1 所示南通大学毕业设计（论文）22 1ABCiAiBiCF1iiF1MTiMiTFa)三相交流绕组 b)两相交流绕组 c)旋转的直流绕组图 3.1 等效的三相绕组模型与两相绕组模型旋转磁场的大小、转向、转

62、速与合成磁场都相同时，图 3.1a)和 b)两套绕组是等效的。图 3.1c)是两个匝数相等且互相垂直的和绕组，它们与旋转磁场同步旋转，MT绕组的轴线与三相合成磁场方向平行，绕组的轴线则与之垂直，绕组中分别通以直MT流电流和，产生的磁场与三相合成磁场等效，则与合成旋转磁场平行的电流分量MiTi相当于电动机的励磁电流分量，用它来产生电动机的磁场，与垂直的分量相当于MiTi电动机的电流分量。调节的大小可以改变磁场的强弱，调节的大小可以在磁场一定MiTi时改变转矩。这样 c)中的绕组与 a)、b)中的绕组等效。因此，只要通过变换运算，有规律的控制、，就能达到预想的调节、的目的，这就是异步电动机矢量变换

63、控AiBiCiMiTi制的基本思想。图 3.2 是上述等效关系的结构图，从整体式看，是一台输入为、AB三相电 压，输出为转速的异步电动机。从内容上看，经过变换和同步旋转变换，C2/3 变成一台由、输入，输出的直流电动机。MiTiAiCBiimit3/2VR等效直流电机模型异步电动机图 3.2 异步电动机的坐标变换结构图3.2 按转子磁场定向的矢量控制的实现在模拟直流电动机转矩控制时，一般采用保持主磁通不变，调节控制电枢电流的方南通大学毕业设计（论文）23法，即应保持转子总磁链不变，改变轴转矩电流分量。此外，异步电动机在进行变rT频调速时，频率改变，实时控制，调节电流的转矩分量，因此电流和频率动

64、态协调的关Ti系也应该是矢量控制时必须遵循的基本方程。由 2.3.3 节知，按转子磁场定向的两相同步旋转坐标系上的数学模型中，电压方程如下 （3-2）rTrMsTsMrmmrsrrmmsssmsmssssTsMiiiiRpLLLpLRLpLpLRLLpLLpLRuu000001111由式（2-62）得到 （3-3）sMrmrrrMiLLLi1将式（3-3）代入式（3-2）中的第三行，得 （3-4）rrrMRpi式（3-4）代入（3-3）中得到 （3-5）rmrsMLpTi1或写做 （3-6）sMrmripTL1式中 ，是转子电磁时间常数rrrRLT 式（3-6）表明，与之间的动态关系是一阶惯性

65、环节，即当定子电流励磁分量rsMi突变而引起转子磁链变换时，会在转子中感生转子电流励磁分量阻止的变化，使rr只能按转子时间常数的指数规律变化，它还表明转子磁链只由产生，与定子电rrTrsMi流的转矩分量无关，它还表明稳态时，=常数，。sTir0rp由（2-63）得 rTmrsTiLLi（3-7）南通大学毕业设计（论文）24此式说明，跟随立即变化。这时因为在轴式不存在转子磁通，所以无惯性。rTisTiT电磁转矩方程同（2-67） ，即 （3-8）sTrrmpeiLLnT此式表明，当不变时，定子电流转矩分量的变化会引起电磁转矩成正比地改变，rsTi没有任何滞后。频率控制与电路协调控制的问题可由式（

66、2-65）第 4 行和式（2-62）得 （3-9）rTrrsiR将式（2-63）代入式（3-9）得 （3-10）rrsTmsTiL式（3-10）说明，当恒定时，矢量控制系统的转差频率在动态中也能与转矩成正r比。由式（3-2）的第 1，2 行，和式（3-3） 、 （3-6） 、 （3-7）可得 （3-11）rrrmsTssMsrrmssMTLLiLipLTLLRu12)( （3-12）rsrmsMssTsssTLLiLipLRu1)(式中，为漏磁系数rsmLLL21为转子时间常数rrrRLT 电压型 PWM 逆变器控制需要系统提供三相的电压信号，需要将系统给定的电流信号转变为电压信号，而轴系的电压和电流具有复杂的关系，这就需要加上电压变换器，MT将给定的电流信号转变为相应的电压信号。将式（3-2）的第 1，2 行变为 （3-13）)1 ()1 (1MmssTsssMsMsspiTiTRuipTR （3-14）)1 ()1 (11MmssMsssTsTssiTiTRuipTR南通大学毕业设计（论文）25式中， （3-sMrMmipTi1115）式（3-15）代入式（3-13）得 （3-16