量子力学第二章一维势阱

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1、2.6 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱l在继续阐述量子力学基本原理之前，先用在继续阐述量子力学基本原理之前，先用 Schrodinger Schrodinger 方程来处理方程来处理一类简单的问题一类简单的问题一维定态问题一维定态问题。其好处有四：。其好处有四： l（1 1）有助于具体理解已学过的基本原理；）有助于具体理解已学过的基本原理； l（2 2）有助于进一步阐明其他基本原理；）有助于进一步阐明其他基本原理； l（4 4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。2.7 2.7 线性谐振子线性谐振子 2.8 2.8 势垒贯穿势垒贯穿l（3 3）处理一

2、维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量子体系的许多特征都可以在这些）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来；一维问题中展现出来； 2.6 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱l（一）一维运动（一）一维运动 l（二）一维无限深势阱（二）一维无限深势阱 l（三）宇称（三）宇称 l（四）讨论（四）讨论（一）（一） 一维运动一维运动所谓一维运所谓一维运动就是指在动就是指在某一方向上某一方向上的运动。的运动。此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成：此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成： V(x,y,z) = VV(x,y,z) = V

3、1 1(x) + V(x) + V2 2(y) + V(y) + V3 3(z) (z) 形式，则形式，则 S-S-方程可在直角坐标系中分离变量。方程可在直角坐标系中分离变量。令令 (x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z) (x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z) E = E E = Ex x + E + Ey y + E + Ez z于是于是S-S-方程化为三个常微分方程：方程化为三个常微分方程：当粒子在势场当粒子在势场 V(x,y,z) V(x,y,z) 中运动时，其中运动时，其 Schrodinger Schrodinger 方程为：方程为：),(),(),(222zyx

4、EzyxzyxVH )()()(2)()()(2)()()(2322222221222zZEzZzVdzdyYEyYyVdydxXExXxVdxdzyx),(),(),(222zyxEzyxzyxV),()(2)(2)(2322222221222zyxEzVZdzdXYyVYdydXZxVXdxdYZ),(),()()()()()()(23212222222zyxEzyxzVyVxVzZyYxXdzddyddxdEzVZdzdZyVYdydYxVXdxdX )(21)(21)(21322222221222 )()()(),(321zVyVxVzyxV 设设：)()()(),zZyYxXzyx

5、（等等式式两两边边除除以以 )()()(2)()()(2)()()(2322222221222zZEzZzVdzdyYEyYyVdydxXExXxVdxdzyx 其中其中zyxEEEE)()()(),(zZyYxXzyx 令令：（二）一维无限深势阱（二）一维无限深势阱l求解求解 S-S-方程方程 分四步：分四步： l（1 1）列出各势域的一维）列出各势域的一维SS方程方程 l（2 2）解方程）解方程 l（3 3）使用波函数标准条件定解）使用波函数标准条件定解 l（4 4）定归一化系数）定归一化系数axaxxU|, 0)(-a 0 a -a 0 a U(x)U(x)I IIIIIIIIIII（1

6、 1）列出各势域的）列出各势域的 S S 方程方程方程可方程可 简化为：简化为：000222222222IIIIIIIIIIIIdxddxddxd0)()(2)()()()()(2222222xExUxdxdxExxUxdxd-a 0 a -a 0 a U(x)U(x)I IIIIIIIIIIIaxxEUxdxdaxaxExdxdaxxEUxdxdIIIIIIIIIIII0)()(2)(0)(2)(0)()(2)(222222222势势V(x)V(x)分为三个区域，分为三个区域， 用用 I I 、II II 和和 III III 表示，表示， 其上的波函数分别为其上的波函数分别为 I I(x)

7、,(x),IIII(x) (x) 和和 IIIIII (x) (x)。则方程为：则方程为：2xxIIIIIxxIeBeBxBxAeCeC2121cossin000222222222IIIIIIIIIIIIdxddxddxd（3 3）使用波函数标准条件）使用波函数标准条件xIeC1从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。 根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁 外波函数为零，特别是外波函数为零，特别是 (-a) = (a) = 0(-a) = (a) = 0.0,cossin,0IIIIIIxBxA则解为：)(222E

8、U 00lim)(1IaIeCa所以0III同理：-a 0 a -a 0 a U(x)U(x)I IIIIIIIIIII 1 1 单值，成立；单值，成立； 2 2 有限：有限： 当当x x - - ， 有限条件要求有限条件要求 C C2 2=0=0。使用标准条件使用标准条件3 3 波函数连续：波函数连续：0cossin)()(aBaAaaIII1 1）波函数连续：）波函数连续：.0),sin(,0IIIIIIxA不能同时为零和系数BAaBaAaBaAaaIIIII0cos0sin0cossin)()(22kka0sin, 0212ka0acos0aBA，为正整数由naEEnna2222228n

9、2,.3 , 2 , 12.11x0 x),(2sinx0 x,a)(x2ansin2cosx0 x,2sin2-nnnnaAdxaanaxanAaanBxanBaanxanA由归一化条件为正整数，两式合并：为正奇数，另一组解：为正偶数，波函数解：播的平面波叠加而成是由两个沿相反方向传用公式粒子的定态波函数为：一维无限深方势阱中),(eee2e2e2),(2esine )(2sin(x)e),(ni -22i -21i -22i -22i -)(2)(2nii -i -ntxeCeCeieAeieAieeAtxieaxanAtxtExanitExanitExaninitExaninitEaxa

10、niaxaniitEtEnnnnnnnn 小结小结 由无穷深方势阱问题的求解可以看由无穷深方势阱问题的求解可以看 出，解出，解SS方程的一般步骤如下：方程的一般步骤如下：l一、列出各势域上的一、列出各势域上的SS方程；方程； l二、求解二、求解SS方程；方程； l三、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）定未知数和能量本征值；三、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）定未知数和能量本征值； l四、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一化系数）。四、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一化系数）。（三）宇称（三）宇称),(),(trtrrr （1 1）空间反射：空间矢量反向的操作。）空间反射

11、：空间矢量反向的操作。（2 2）此时如果有：）此时如果有： ),(),(trtr 称波函数具有偶宇称；称波函数具有偶宇称；),(),(trtr 称波函数具有奇宇称；称波函数具有奇宇称；),(),(trtr （3 3）如果在空间反射下，）如果在空间反射下，),(),(trtr 则波函数没有确定的宇称则波函数没有确定的宇称（四）讨论（四）讨论一维无限深一维无限深 势阱中粒子势阱中粒子 的状态的状态,3,2,18.|,2cos1;|,2sin1;|0222 nanEaxoddnxanaaxevennxanaaxnn 其其能能量量本本征征值值为为：（2 2）n = 0 , E = 0, = 0n =

12、0 , E = 0, = 0，态不存在，无意义。，态不存在，无意义。 而而n = n = k, k=1,2,. k, k=1,2,. xakAxakAxakAxakAknkn2cos2cos2sin2sin 可见，可见，n n取负整数与正整数描写同一状态。取负整数与正整数描写同一状态。（1 1）n = 1, n = 1, 基态，基态， 与经典最低能量为零不同，与经典最低能量为零不同， 这是微观粒子波动性的表这是微观粒子波动性的表 现，因为现，因为“静止的波静止的波”是没是没 有意义的。有意义的。aEn 822 （4 4）n n* *(x) = (x) = n n(x) (x) 即波函数是实函数即波函数是实函数 .|,2cos1;|,2sin1;|0)(),(/axoddnxeanaaxevennxeanaaxextxtiEtiEtiEnnnnn （5 5）定）定 态态 波波 函函 数数 偶偶宇宇称称当当奇奇宇宇称称当当)()()()()()(oddnxxevennxxnnnn （3 3）波函数宇称）波函数宇称 , 3 , 2 , 1|)(2sin1|0/naxeaxanaaxtiEn 亦亦可可合合并并写写成成：作作 业业l周世勋：周世勋：量子力学教程量子力学教程第二章第二章 l 2.32.3、 2.42.4、 2.82.8