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1、常考问题3不等式问题真题感悟1(2013广东卷)不等式x2x20的解集为_解析由x2x20得2x1，故其解集为x|2x1答案x|2x0时，f(x)x24x，则不等式f(x)x的解集用区间表示为_解析由已知得f(0)0，当xx等价于或解得：x5或5x0，则当a_时，取得最小值解析因为211，当且仅当，a0(a0)，再求相应一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集(2)解含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因确定好分类标准、层次清楚地求解2基本不等式(1)基本不等式a2b22ab取等号的条件是当且仅当
2、ab.(2)几个重要的不等式：ab2(a，bR) (a0，b0)a2(a0，当a1时等号成立)2(a2b2)(ab)2(a，bR，当ab时等号成立)(3)最值问题：设x，y都为正数，则有若xys(和为定值)，则xy时，积xy取得最大值；若xyp(积为定值)，则当xy时，和xy取得最小值2.3不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题若不等式f(x)A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f(x)minA；若不等式f(x)B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f(x)maxA成立，则等价于在区间D上f(x)maxA；若在区间D上存在实数x使不等式f(x)B成立，则等价于在区间D上f(x)m
3、inA在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)A的解集为D；若不等式f(x)B在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)B的解集为D.4使用基本不等式以及与之相关的不等式求一元函数或者二元函数最值时，基本的技巧是创造使用这些不等式的条件，如各变数都是正数，某些变数之积或者之和为常数等，解题中要根据这个原则对求解目标进行适当的变换，使之达到能够使用这些不等式求解最值的目的在使用基本不等式求函数的最值、特别是求二元函数最值时一定要注意等号成立的条件，尽量避免二次使用基本不等式5平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集线性目标函数z
4、axby中的z不是直线axbyz在y轴上的截距，把目标函数化为yx，可知是直线axbyz在y轴上的截距，要根据b的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值.热点一一元二次不等式的解法及应用【例1】 (1)若不等式x2ax10对于一切x成立，则a的取值范围是_(2)(2013安徽卷改编)已知一元二次不等式f(x)0的解集为_解析(1)设f(x)x2ax1，其对称轴为x.若，即a1时，则f(x)在上是减函数，若满足题意应有f0，即a1.若0，即a0时，则f(x)在上是增函数，又f(0)10成立，故a0.若0，即1a0，则应有f110成立，故1a0的解为1x，故010x，解得xl
5、glg 2.答案(1)，)(2)x|xlg 2规律方法 解一元二次不等式一般要先判断二次项系数的正负也即考虑对应的二次函数图象的开口方向，再考虑方程根的个数也即求出其判别式的符号，有时还需要考虑其对称轴的位置，根据条件列出方程组或结合对应的函数图象求解【训练1】 (2012江苏卷)已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m6)，则实数c的值为_解析由题意知f(x)x2axb2b.f(x)的值域为0，)，b0，即b.f(x)2.由f(x)c，得x，又f(x)c的解集为(m，m6)，得26，c9.答案9热点二简单的线性规划问题【例2】 (201
6、2苏锡常镇调研)设实数n6，若不等式2xm(2x)n80对任意x4,2都成立，则的最小值为_解析因为不等式2xm(2x)n80即为(2mn)x82n，对任意x4,2都成立，所以，所以m，n满足的不等式为，所以点(m，n)对应的平面区域如图，的几何意义是可行域上的点与原点的连线的斜率，所以，而目标函数3，令t，则目标函数即为yt3，其导数y3t20，所以函数yt3在t上递减，故t3时取得最小值.答案规律方法 线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错，比如上题中目标函数所
7、对应直线的斜率0；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得【训练2】 (2013陕西卷)若点(x，y)位于曲线y|x1|与y2所围成的封闭区域，则2xy的最小值为_解析如图，曲线y|x1|与y2所围成的封闭区域如图中阴影部分，令z2xy，则y2xz，作直线y2x，在封闭区域内平行移动直线y2x，当经过点(1,2)时，z取得最小值，此时z2(1)24.答案4热点三基本不等式及其应用【例3】 (1)(2013山东卷改编)设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最大值时，的最大值为_(2)已知x0，y0，xyx2y，若xym2恒成立，则实数m的最大值是_解析(1
8、)由已知得zx23xy4y2 (*)则1，当且仅当，即x2y时取等号，把x2y代入(*)式，得z2y2，所以211.(2)xyx2y2，()220.2或0(舍去)xy8.若xym2恒成立，只需(xy)minm2成立即可即m28，即m10，m的最大值为10.答案(1)1(2)10规律方法 在使用基本不等式求最值时，一定要注意等号成立的条件，“一正、二定、三相等”的基本要求，在解题中一定要检验这些条件是否能够得到满足，在一些字母系数不为1的问题中要善于进行常数代换，这是化解使用基本不等式时的一种常用方法【训练3】 (1)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是_(2)(2013金丽衢十二校联考)已知任意非零实数x，y满足3x24xy(x2y2)恒成立，则实数的最小值为_解析(1)x0，y0，由x3y5xy，得5.5(3x4y)(3x4y)13132 25.因此3x4y5，当且仅当x2y时等号成立当x1，y时，3x4y的最小值为5.(2)依题意，得3x24xy3x2x2(2y)24(x2y2)，因此有4，当且仅当x2y时取等号，即的最大值是4，结合题意得，故4，即的最小值是4.答案(1)5(2)4备课札记： 希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！
2014届高考数学（理科）专题教学案：不等式问题（含答案）
