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1、初中几何证明专题 1 角平分线模型 几何证明一角平分线模型（高级） 【经典例题】 例 1、已知如图，ZBC中，BC = AC, AD平分ZCAB.若 ZC = 100 ,求证：AB = AD+CD. 例久如图，已知在 A4BC中，ZB = 60 , A4BC的角平分线AD.CE相交于点 O,求证：AE+CD = AC. 例 3.如图，平分 ZABC. ZADB = 45, 丄 BC,求 ZAEQ. 例 4、已知，如图 A4BC中，AD为AABC的角平分线，求证：AB DC = AC BD. 初中几何证明专题 2 角平分线模型 初中几何证明专题 3 角平分线模型 例 5、如图，已知 P 为锐角A
2、BC内一点，过 P分别作 BC, AC, A3 的垂线，垂足分别为 D, E, F , BM 为ZABC的平分线，MP的延长线交 A3于点 N：如果PD=PE+PF,求证：CN是 ZACB的平分 线。 A 例 6、 如图， 在梯形 ABCD中，ADIIBC、AB = DC ZABC= 80 , E是腰 CD -点， 连接BE、AC. AE,若 ZACB = 60 , ZEBC= 50 ,求ZEAC的度数. A D 例入 已知：A4BC中，ABvBC, AC的中点为 A/, MN丄AC交ZABC的角平分线于 W (1) 如图 I,若 ZABC= 60 ,求证：BA + BC = yiBN ； (
3、2) 如图 2,若 ZABC=120 ,则 34、BC、3N之间满足什么关系式并对你得出的结论给予证明. 初中几何证明专题 4 角平分线模型 【提升训练】 1在 AABC中，ABAC, AD 是ZBAC的平分线.P是 AD上任意一点.求证: 2、如图，在 A4BC中，ZA等于 60 3 平分ZABC.CD平分 ZACB，求证：DH = EH。3. 如图所示，在 AABC中，AD平分ABAC, AD = AB, GW 丄 A 于 M,求证: 4、已知/是MBC内角平分线的交点，A/交对应边于求证: Al AB + AC 75 _ BC AB-ACAPB -PC AB + AC = 2AM. 初中
4、几何证明专题 5 角平分线模型 5、（1）如图，BD、CE分别是 A4BC的外角平分线，过点 A作 AF丄BD，AG丄 C ,垂足分别为 F、 G ,连接 FG,延长AF. AG,与直线 8C相交，求证：FG = （AB+BC +AC）. （2） 若BD、CE分别是 AABC的内角平分线（如图（2）,过点 A作 AF丄BD, AG丄 CE,垂足 分别为 F、G,连接FG,线段 FG与 A4BC三边有怎样的数量关系？： （3） 若ED为ZABC的内角平分线，CE为的外角平分线（如图（3）,过点 A作 4F 丄 8D， AG丄 CE,垂足分别为尸、G ,连接FG,则线段 FG 与 A4BC三边又有
5、怎样的数量关系？ 6、如图，已知BD, CE为的角平分钱，F为 DE的中点，点 F到 AC, . 1 . S FG = a , FH = b, FM=c,若 L-c-2o/? + 广一 2加 +二=0。 2 2 (1) 求 a, b, c,加的值；(2)求证：DG = -(BC-CD). 4 A 初中几何证明专题 6 角平分线模型 7. 己知如图，CD是RZBC斜边上的高，ZA的平分线交 CD于交ZBCD的平分线于 G, 求证：HF/BC. 8. 如图，BD、ABC的两条内角平分线，K为 ED的中点，KF丄 AB于 F, KG丄 AC于 G, KH丄 BC于 H, 求证：KF+KG二 KH 1
6、0. (1)如图 1, ABC的角平分线，P2I丄 AB于 PN丄 BC于 N, AB=30, BC=23,请补全图形，并求 ABP 与厶 BPC的面积的比值： (2) 如图 2,分别以 ABC的边 AB、AC为边向外作等边三角形 ABD和等边三角形 ACE, CD与 BE相交于点 O, 判断 ZAOD与 ZAOE的数量关系，并证明； 初中几何证明专题 角平分线模型 7 11（1）已知：如图 1, RtA ABC 中，ZACB=90 , ZBAC=60 , CD 平分 ZACB,点 E 为 AB 中点，PE 丄 AB 交 CD的延长线于 P,猜想：ZPAC+ZPBO _ （直接写出结论，不需证
7、明）. （2）己知：如图 2, RtA ABC 中，ZACB=90 , ZBAC=45% CD 平分 ZACB,点 E 为 AB 中点，PE丄 AB 交 CD 的延长线于 P， （1）中结论是否成立，若成立，请证明；若不成立请说明理由. 12.如图 1,分别过线段 AB的端点 A、B作直线 AM、BN,且 AMBN, ZMAB. ZNBA 的角平分线交于点 C, 过点 C的直线 1分别交 AM、BN于点 D、E. （1）求证： ABC是宜角三角形； 2）在图 1中，当宜线 1丄 AM 时，线段 AD、BE、AB之间有怎样的数虽关系？证明你的猜想： （3）当直线 1绕点 C旋转到与 AM不垂直时
8、，在如图 2、3两种情况下，（2）中的三条线段之间又有怎样的数虽 关系？请写出你的猜想，并选择种情况给予证明. 13如图，在 RtA ABC 中，ZACB=90 , CD丄 AB于 D, AE平分 ZBAC,交 CD于 K,交 BC于 E, F 是 BE上 点，且 BF=CE,求证：FKAB 初中几何证明专题 8 角平分线模型 14在AABC中，AD是 ZBAC的平分线. (2) 如图，若 BD二 CD,求证：AB=AC； (3) 如图，若 AB=5, AC=4, BC=6求 BD的长. 15如图，在ABC中，ZABC=90 , D 为 BC 上点，在 ADE 中，ZE=ZC, Zl=90 -
9、丄 ZEDC求证: 2 (1) Z1=Z2： (2) ED=BC+BD (1)如图，求证: S 乂 BD = AB C 图3 初中几何证明专题 9 角平分线模型 16如图，个直角三角形纸片的顶点 A在 ZMON的边 OM上移动，移动过程中始终保持 AB丄 ON于点 B,AC丄OM 于点 A. ZMON的角平分线 OP分别交 AB、AC于 D、E两点. （1）点 A在移动的过程中，线段 AD和 AE有怎样的数量关系，并说明理由. （2 点 A在移动的过程中， 若射线 ON上始终存在点 F与点 A关于 OP 所在的直线对称， 判断并说明以 A、D、 F、E为顶点的四边形是怎样特殊的四边形？ （3）
10、若 ZMON=45%猜想线段 AC、AD、OC之间有怎样的数量关系, 17.定义： 到凸四边形组对边距离相等， 到另组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点.如图1, PH二PJ, PI=PG,则点 P就是四边形 ABCD的准内点. （1） 如图 2, ZAFD 与 ZDEC的角平分线 FP, EP 相交于点 P.求证：点 P是四边形 ABCD的准内点. （2） 分别画出图 3平行四边形和图 4梯形的准内点.（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明） （3） 判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”. 任意凸四边形一定存在准内点.（） 任意凸四边形一定只有一个准内点.（_） 若 P是任总凸
11、四边形 ABCD的准内点，则 PA+PB二 PC+PD 或 PA+PC二 PB+PD（ ）初中几何证明专题 10 角平分线模型 18如图，己知平行四边形 ABCD 中，AE平分 ZBAD交 DC于 E, DF 丄 BC于 F,交 AE于 G,且 AD二 DF过点 D作 DC的垂线，分别交 AE. AB于点 M、N. (1) 若 21 为 AG中点，且 DM=2,求 DE的长： (2) 求证：AB=CF+DM 19. 如图，在平行四边形 ABCD 中，ZBAD. ZABC的平分线 AF、BG分别与线段 CD交于点 F、G, AF 与 BG交于点 E. (1) 求证：AF丄 BG, DF=CG：
12、(2) 若 AB=10, AD=6, AF=8,求 FG 和 BG 的长度. AQ 3 20、平行四边形ABCD中，ZABC的平分线交 AD于点 E,乙BCD的平分线交 AD于点 F, BC 4 BE . CF交于点 G,若FG = -BC.求证：BE2=3CF 4 初中几何证明专题 11 角平分线模型 初中几何证明专题 12 角平分线模型 21. 如图，在 AABC 中.D是ABAC外角平分线上一点，求证：AB+ACDB+DC. 22. 在-ABCD中，ZBAD的平分线交直线 BC于点 E,交直线 DC于点 F （1） 在图 1中证明 CE=CF； （2） 若 ZABC=90 , G 是 EF的中点（如图 2）,直接写出 ZBDG的度数： （3） 若 ZABC=120 , FGCE, FG=CE,分别连接 DB、DG （如图 3）,求 ZBDG 的度数.
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