初中数学重点：从一道数学压轴题谈起

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1、初中数学重点：从一道数学压轴题谈起由于工作的关系，我经常接到一些学生的咨询，反映在考试时，一见数学压轴题就发怵，经常折腾个把小时做不完；还有的学生以为压轴题一定很难，不敢碰它，所以不如干脆放弃，挪些时间检查，保证基础题少丢分，这也是部分老师的谆谆教导和学生家长的千叮万嘱.这种做法是否明智？数学压轴题是在初中主干知识的交汇处命制，是多个基础知识点的融合或深挖，所涉及的知识点多，覆盖面广，综合性强，对思维能力思维品质的考查要求很高，几乎都涉及到数学学科的基础知识、基本技能、基本思想与基本方法，如三角形的全等、相似；函数解析式的求法与应用、方程的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想等，所以具有一定难

2、度，绝大部分学生难以全部完成.1 压轴题真的就不能碰吗？下面以2009年东营市压轴题为例谈谈我们的看法题目：（2009年东营市24题）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG（1）求证：EG=CG；（2）将图中BEF绕B点逆时针旋转45，如图所示，取DF中点G，连接EG，CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 （3）将图中BEF绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）FBADCEG图FBADCEG图DFBAC

3、E图 这一压轴题改编自广州市2007年初中学生学业考试数学试题第25题，原题如下：已知RtABC中，AB=AC，在RtADE中，AD=DE，连结EC，取EC中点M，连结DM和BM.（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图，求证：BM=DM且BMDM；（2）如图中的ADE绕点A逆时针转小于45的角，如图，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明该题主要考查三角形、图形的旋转、特殊四边形等基础知识，考查空间观念、演绎推理能力命题组给出的参考解答及评分意见如下：FBCEG图 解：（1）证明：在RtFCD中， G为DF的中点， CG=FD1分同理，在

4、RtDEF中， EG=FD 2分 CG=EG3分（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG4分证法一：连接AG，过G点作MNAD于M，与EF的延长线交于N点FBADCEGMNN图 （一）在DAG与DCG中， AD=CD，ADG=CDG，DG=DG， DAGDCG AG=CG5分在DMG与FNG中， DGM=FGN，FG=DG，MDG=NFG， DMGFNG MG=NG 在矩形AENM中，AM=EN 6分在RtAMG 与RtENG中， AM=EN， MG=NG， AMGENG AG=EGFBADCEGM图 （二） EG=CG 8分证法二：延长CG至M,使MG=CG，连接MF，ME，EC， 4分在D

5、CG 与FMG中，FG=DG，MGF=CGD，MG=CG，DCG FMGMF=CD，FMGDCG MFCDAB5分在RtMFE 与RtCBE中， MF=CB，EF=BE，MFE CBE6分FBADCE图GMECMEFFECCEBCEF90 7分 MEC为直角三角形 MG = CG， EG=MC 8分（3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG其他的结论还有:EGCG10分分析：解答压轴题，除了要具备扎实的数学知识和良好的的读题习惯外，还要具备较高的应考能力，要特别关注题目中的特殊图形，如题目中的“正方形的对角线”；特殊的位置关系，如“EFBD”；特殊的点“中点G”等；要找准压轴题的“题眼”， “

6、题眼”一般在于某一个特殊图形中或在于某个思想方法中该压轴题由3个小题组成.第（1）题要求证明两条线段相等，这可以分别在RtFCD和RtDEF中利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到要证得结论，这一问是比较简单的，容易上手；第(2)题是改变图中BEF的位置，将图中BEF绕B点逆时针旋转45，如图所示，取DF中点G，连接EG，CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由这一问稍难，但仍还属于常规题型，证明的过程需要添加辅助线，通过证两次三角形的全等，借助于等量代换，得到；第(3)题较难，能力要求较高如果从合情推理的角度出发，可以通过量一量、猜一猜的办法解决在

7、解答时把最容易的第（1）小题的分数完全拿到，中等难度的第（2）小题力争拿到全分，最难的第（3）小题要争取得到一点分，这样就大大提高了获得数学高分的可能性另外，从评分标准可以看出，一定要重视分段得分.一道压轴题做不出来，不等于一点思路没有，要考虑各种可能由浅入深的分析，知道一步做一步.因此，对压轴题要理解多少做多少，最大限度地发挥自己的水平所以，我要大声疾呼：千万莫轻易向压轴题投降！2 还有其他解法吗下面再给出（2）的另外几种证法：证法三：过点G作MNAD交AB于M，交CD于N，GPAD于P，FBADCEGPN图 （三）M则BMG与DNG均是等腰直角三角形，四边形MNCB是矩形，四边形PDNG是

8、正方形.所以MG=BM=CN.由于G为DF的中点，所以EM=AM=DN=GN,所以RtEMGRtGNG,所以证法四：过G作GMAD交AB于M，FBADCEGMN图 （四）因为EFAD,DG=GF,所以AM=ME，所以GA=GE.因为四边形ABCD是正方形，所以AD=CD,GD=GD,AGD=CGD，所以AGDCGD,所以AG=CG.所以3 该压轴题能推广吗？将试题中“E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F”变换为“E为直线BD上一点，过E点作EFBD交直线BC于F”，可得：变式1：已知正方形ABCD中，E为直线BD上一点，过E点作EFBD交直线BC于F，连接DF，G为DF中点，连接E

9、G，CG（1）求证：EG=CG；（2）将BEF绕B点逆时针旋转45，取DF中点G，连接EG，CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 ABCDEFGABCDEFGABCDEFG（3）将BEF绕B点旋转任意角度，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？.将变式1中“将BEF绕B点逆时针旋转45”变换为“将BEF绕B点顺时针旋转45”，可得：变式2：已知正方形ABCD中，E为直线BD上一点，过E点作EFBD交直线BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG（1）求证：EG=CG；（2）将BEF绕B点顺时针旋转45，取DF中点

10、G，连接EG，CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 （3）将BEF绕B点旋转任意角度，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？如果将条件“过E点作EFBD交直线BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG”变换为“过E点作EFBC交直线BC于F，连接DE，G为DE中点，连接FG，CG”可得：变式3：已知正方形ABCD中，E为直线BD上一点，过E点作EFBC交直线BC于F，连接DE，G为DE中点，连接FG，CG （1）求证：FG=CG；（2）将BEF绕B点顺（或逆）时针旋转45，取DE中点G，连接FG，CG问（1）中的

11、结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 ABCDFGABCABCDEEFFGG（3）将BEF绕B点旋转任意角度，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？由证法四，可得变式4：如图，P是正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.求证： PE=PD ； PEPD.若将条件“知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG”变换为“知正方形ABCD中，P为对角线AC上一点，过P点作PEBC交BC于E，PFCD交CD于F”可得：变式5：图2图1

12、如图1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PEBC于点E，PFCD于点F(1) 求证：BP=DP；(2) 如图2，若四边形PECF绕点C旋转任意一个角度，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；(3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论4 能得到什么启示？（1）回归课本，夯实基础近年来中考数学有许多新题型，多数试题取材于教科书，试题的构成是在教科书中的例题、练习题、习题的基础上通过类比、加工改造、加强条件或减弱

13、条件、延伸或扩展而成的，也就是说，教科书中的例题、练习题、习题为编拟中考数学试题提供了丰富的题源.所以，我们要回到教材，认真研究教材，发挥教材的示范作用.（2）注重过程，发展能力要亲身经历数学问题的提出过程、解决方法的探索过程、问题结论的深化过程、方法能力的迁移过程.积极参与数学思维活动、经历知识产生发展过程, 重视动手实践，重视数学语言（文字语言、符号语言、图形语言和图表语言）的互译，重视思维训练，突出数学思想方法，重视合情推理，逐步提高自己的数学能力. （3）注重一题多变，及时总结规律“科学是在不断改变思维角度的探索中前进的”.通过原题目延伸出更多具有相关性、相似性、相反性的新问题.通过一题多解，一题多变，由解决一个问题，进而解决一类问题，遏制“题海战术”，实现“以少胜多”.