【十年高考】江苏省2004高考数学真题分类汇编：圆锥曲线 Word版含解析

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1、圆锥曲线1（江苏 2004 年 5 分）若双曲线18222byx的一条准线与抛物线xy82的准线重合，则双曲线离心率为【 】(A)2 (B)22 (C) 4 (D)24【答案】A。【考点】双曲线的性质，抛物线的性质。【分析】根据抛物线方程可求得抛物线的准线方程即双曲线的准线方程，从而求得 c，最后根据离心率公式求得答案：由抛物线xy82，可知 p=4，准线方程为x=2。对于双曲线准线方程为22axc ，228ca，4c 。双曲线离心率428cea。故选 A。2.（江苏 2005 年 5 分）抛物线24xy 上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是【】A1617 B1615 C87

2、 D0【答案】B。【考点】抛物线的性质。【分析】根据点 M 到焦点的距离为 1 利用抛物线的定义可推断出 M 到准线距离也为 1，利用抛物线的方程求得准线方程，从而可求得 M 的纵坐标。根据抛物线的定义可知 M 到焦点的距离为 1，则其到准线距离也为 1。又抛物线的准线为116y ，M 点的纵坐标为11511616。故选 B。3.（江苏 2005 年 5 分）点P( 3,1)在椭圆)0( 12222babyax的左准线上，过点 P 且方向为(2, 5)a 的光线经直线2y反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为【】A33 B31 C22 D21【答案】A。【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，

3、椭圆的性质。【分析】根据过点 P 且方向为(2, 5)a 求得 PQ 的斜率，进而可得直线 PQ 的方程，把2y代入可求得 Q 的坐标，根据光线反射的对称性知直线 QF1的斜率从而得直线 QF1的方程，把0y 代入即可求得焦点坐标，求得c，根据点 P（3，1）在椭圆的左准线上，求得a和c的关系求得a，则椭圆的离心率可得：如图，过点 P（3，1）的方向(2, 5)a ，PQ5 2k ，则 PQ 的方程为5132yx+ ，即52130 x+ y+。与2y联立求得 Q（9 5，2） 。由光线反射的对称性知：1QF5 2k，QF1为59225y+x+，即5250 xy+。令0y ，得 F1（1，0）

4、。c=1，23ac，则3a 。所以椭圆的离心率33cea。故选 A。4.（江苏 2007 年 5 分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为20 xy，则它的离心率为【 】A5 B52 C3 D2【答案】A。【考点】双曲线的性质。【分析】根据双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为20 xy能够得到12ab，即2ba，abac522，5ace。故选 A。5.（江苏 2007 年 5 分）在平面直角坐标系xOy中，已知ABC 顶点A( 4,0)和C(4,0)，顶点 B 在椭圆192522yx上，则sinAsinCsinB.【答案】54。【考点】椭圆的定

5、义，正弦定理。【分析】利用椭圆定义和正弦定理 得 1052 ca，b=24=8，sinAsinCsinB45810bca。6.（江苏 2008 年 5 分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆)0( 12222babyax的焦距为 2c，以 O 为圆心，a为半径作圆 M，若过2P0ac，作圆 M 的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为 【答案】22。【考点】椭圆的性质。【分析】抓住OAP 是等腰直角三角形，建立a，c的关系，问题即可解决：设切线 PA、PB 互相垂直，又半径 OA 垂直于 PA，OAP 是等腰直角三角形。22aac，解得22cea。7.（江苏 2009 年 5 分）如图，在平面直角坐标

6、系xoy中，1212,A A B B为椭圆22221(0)xyabab的四个顶点，F为其右焦点，直线12AB与直线1B F相交于点 T，线段OT与椭圆的交点 M 恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为 .【答案】2 75。【考点】椭圆的基本性质。【分析】1212,A A B B为椭圆22221(0)xyabab的四个顶点，F为其右焦点，直线12AB的方程为：1xyab；直线1B F的方程为：1xycb。二者联立解得：2()(,)ac b acTacac。又点 M 恰为线段OT的中点，()(,)2()acb acMacac。又点 M 在椭圆22221(0)xyabab上，22222222()10

7、1103030()4()caccccacaacacaa ，即21030ee。解得：2 75e 8.（江苏 2010 年 5 分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线112422yx上一点 M，点 M的横坐标是 3，则 M 到双曲线右焦点的距离是【答案】4。【考点】双曲线的定义。【分析】设d为点 M 到右准线1x 的距离，MF 为 M 到双曲线右焦点的距离。根据双曲线的定义，得MF422ed，而2d ，MF=4。9. （2012 年江苏省 5 分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线22214xymm的离心率为5，则m的值为 【答案】2。【考点】双曲线的性质。【解析】由22214xymm得22=4=4

8、ambmcmm，。 24= 5cmmeam，即244=0mm，解得=2m。 7e，。10、 （2013 江苏卷江苏卷 3）3双曲线的两条渐近线的方程为 。191622yx答案： 3 xy4311、 （2013 江苏卷江苏卷 3）9抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为2xy 1x（包含三角形内部与边界） 。若点是区域内的任意一点，则的取值D),(yxPDyx2范围是 。答案：921, 212、 （2013 江苏卷江苏卷 12）12在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为xOyC，右焦点为，右准线为 ，短轴的一个端点为，设原)0, 0( 12222babyaxFlB点到直线的距离为，到 的距离为

9、，若，则椭圆的离心率BF1dFl2d126dd C为 。答案： 12 33二、解答题1.（江苏 2004 年 12 分）已知椭圆的中心在原点，离心率为 ，一个焦点是 F（m，0）(m12是大于 0 的常数). ()求椭圆的方程； ()设 Q 是椭圆上的一点，且过点 F、Q 的直线l与 y 轴交于点 M. 若MQ2 QF ，求直线l的斜率.【答案】解：（I）设所求椭圆方程是).0( 12222babyax由已知，得1,2ccma ，所以2 ,3am bm 。故所求的椭圆方程是1342222mymx。（II）设 Q（QQyx ,） ，直线:(), M(0, )l yk xmkm则点。当MQ2QF

10、,F(, 0), M(0,)mkm 时由于，由定比分点坐标公式，得2222202201,1231234299Q(,), 133432 6QQmmkmxykmmk mmkmmmk 。又点在椭圆上所以。解得。0( 2)()MQ2QF, 2 ,1212QQmkmxmykm 当时。于是2222241,043mk mkmm 解得。故直线 l 的斜率是 0，62。【考点】椭圆的标准方程，直线l的斜率。【分析】 （I）由椭圆的中心在原点，离心率为 ，一个焦点是 F（m，0） ，可用待定系数12法求出求椭圆的方程。 （II）分MQ2QF 和MQ2QF 两种情况由比分点坐标公式求解即可。2.（江苏 2006 年

11、 12 分）已知三点 P（5，2） 、1F（6，0） 、2F（6，0）. （）求以1F、2F为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程；（5 分） （）设点 P、1F、2F关于直线yx的对称点分别为P、1F、2F ，求以1F、2F 为焦点且过点P的双曲线的标准方程。 （7 分）【答案】解：（）由题意可设所求椭圆的标准方程为22221xyab( ab0)，其半焦距c=6，2222122PFPF112126 5a 。3 5a ,2229bac。所求椭圆的标准方程为221459xy。（）点 P、F1、F2关于直线yx的对称点分别为点P(2，5)、1F(0，6)、2F (0，6)。设所求双曲线的标准方程为22

12、1122111(0,0)xyabab由题意知，半焦距c1=6。22221122P FP F112124 5a ，12 5a , 22211136916bca。 所求双曲线的标准方程为2212016xy。【考点】圆锥曲线的综合，待定系数法。【分析】 （）根据题意设出所求的椭圆的标准方程，然后代入半焦距，求出a，b最后写出椭圆标准方程（）根据三个已知点的坐标，求出关于直线yx的对称点。设出所求双曲线标准方程，代入求解即可。3.（江苏 2009 年附加 10 分）在平面直角坐标系xoy中，抛物线 C 的顶点在原点，经过点A（2，2） ，其焦点 F 在x轴上。（1）求抛物线 C 的标准方程；（2）求过

13、点 F，且与直线 OA 垂直的直线的方程；（3）设过点M( , 0)(0)mm 的直线交抛物线 C 于 D、E 两点，ME=2DM，记 D 和 E 两点间的距离为( )f m，求( )f m关于m的表达式。【答案】解：（1）由题意，可设抛物线 C 的标准方程为22ypx。 点 A（2，2）在抛物线 C 上，1p 。 抛物线 C 的标准方程为22yx。 （2）由（1）可得焦点 F 的坐标为（12，0） ， 又直线 OA 的斜率为212，与直线 OA 垂直的直线的斜率为1。 过点 F，且与直线 OA 垂直的直线的方程为1012yx ，即102xy。 （3）设点 D 和 E 的坐标分别为 1122,

14、 , , xyxy，直线 DE 的方程为, 0yk xmk。 将yxmk代入22yx，得2220kyykm，解得21,2112mkyk。 由 ME=2DM 得221122121mkmk，化简得24km。 2222221212122224 12119DE1144mkxxyyyymmkkk。23( )402f mmm m。【考点】抛物线及两点间的距离公式。【分析】 （1）设抛物线 C 的标准方程为22ypx，将点 A 的坐标代入即可求出p，从而得到抛物线 C 的标准方程， （2）求出直线 OA 的斜率，即可得到与直线 OA 垂直的直线的斜率，由抛物线 C 的标准方程可得焦点 F 的坐标，从而根据点

15、斜式方程即可得过点 F，且与直线 OA 垂直的直线的方程。 （3）由 ME=2DM，根据两点间的距离公式可求。4.（江苏 2010 年 16 分）在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆15922yx的左、右顶点为 A、B，右焦点为 F。设过点 T（mt,）的直线 TA、TB 与椭圆分别交于点 M),(11yx、22N( x ,y )，其中 m0,0, 021yy。（1）设动点 P 满足22PFPB4,求点 P 的轨迹；（2）设31, 221xx，求点 T 的坐标；（3）设9t,求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点（其坐标与 m 无关） 。【答案】解：（1）设点 P（x，y） ，则：F（2

16、，0） 、B（3，0） 、A（-3，0） 。由22PFPB4，得2222(2)(3)4,xyxy 化简得92x 。故所求点 P 的轨迹为直线92x 。（2）将31, 221xx分别代入椭圆方程，以及0, 021yy得：M（2，53） 、N（13，209） 。直线 MTA 方程为：0352303yx，即113yx，直线 NTB 方程为：032010393yx，即5562yx。联立方程组，解得：7103xy，所以点 T 的坐标为10(7,)3。（3）点 T 的坐标为(9,)m直线 MTA 方程为：03093yxm，即(3)12myx，直线 NTB 方程为：03093yxm，即(3)6myx。分别与

17、椭圆15922yx联立方程组，同时考虑到123,3xx ，解得：2223(80)40M(,)8080mmmm、2223(20)20N(,)2020mmmm。当12xx时，直线 MN 方程为：222222222203(20)202040203(80)3(20)80208020mmyxmmmmmmmmmm 令0y ，解得：1x 。此时必过点 D（1，0） ；当12xx时，直线 MN 方程为：1x ，与 x 轴交点为 D（1，0） 。所以直线 MN 必过x轴上的一定点 D（1，0） 。【考点】轨迹方程，直线与圆锥曲线的综合问题。【分析】 （1）设点 P（x，y） ，由两点距离公式将22PFPB4变成

18、坐标表示式，整理即得点 P 的轨迹方程。（2）将31, 221xx分别代入椭圆方程，解出点 M 与点 N 的坐标由两点式写出直线 AM 与直线 BN 的方程联立解出交点 T 的坐标。（3）求出直线方程的参数表达式，然后求出其与x的交点的坐标，得到其横坐标为一个常数，从而说明直线过x轴上的定点。还可以这样证明：根据特殊情况即直线与x轴垂直时的情况求出定点，然后证明不垂直于x轴时两线 DM 与 DN 斜率相等，说明直线 MN 过该定点。5.（江苏 2011 年 16 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N 分别是椭圆12422yx的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于 P、A 两点，其中 P 在第一

19、象限，过 P 作x轴的垂线，垂足为 C，连接 AC，并延长交椭圆于点B，设直线 PA 的斜率为k.（1）当直线 PA 平分线段 MN 时，求k的值；（2）当k=2 时，求点 P 到直线 AB 的距离d；（3）对任意k0，求证：PAPB.【答案】解：（1）由题意知，2, 2ba，故M2 0 N 0 2(,),( ,)。 线段 MN 的中点的坐标为)22, 1(。由于直线 PA 平分线段 MN，故直线 PA 过线段 MN 的中点，又直线 PA 过坐标原点，22122k。（2）直线 PA 的方程为xy2，代入椭圆方程得124422xx，解得32x，2 424P A 3 333,于是2C 03,直线

20、AC 的斜率为13232340。xyBPOAMN直线 AB 的方程为032 yx。3222323432d。（3）证明：将直线 PA 的方程为kxy 代入12422yx，解得2212kx。记2212k，则P A ,k ,k ，于是C 0,。直线 AB 的斜率为20kk，直线 AB 的方程为)(2xky，代入椭圆方程得0)23(2)2(22222kxkxk，解得222)23(kkx，或x。)2,2)23(2322kkkkB，于是直线 PB 的斜率为kkkkkkk12)23(222231。 11kk，所以 PAPB。【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程与几何性质，直线的斜率及其方程，点到

21、直线距离公式、直线的垂直关系的判断，共线问题，点在曲线上的性质。【分析】 （1）由题设写出点 M，N 的坐标，求出线段 MN 中点坐标，根据线 PA 过原点和斜率公式，即可求出k的值。（2）写出直线 PA 的方程，代入椭圆，求出点 P，A 的坐标，求出直线 AB 的方程，根据点到直线的距离公式，即可求得点 P 到直线 AB 的距离d。（3）要证 PAPB，只需证直线 PB，AB 的斜率之积为1。根据题意求出它们的斜率，即证得结果。6.（2012 年江苏省 14 分）如图，建立平面直角坐标系xoy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1 千米某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程22

22、1(1)(0)20ykxkxk表示的曲线上，其中k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2 千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由【答案】解：（1）在221(1)(0)20ykxkxk中，令0y ，得221(1)=020kxkx。 由实际意义和题设条件知00 xk ，。 2202020=10112kxkkk，当且仅当=1k时取等号。 炮的最大射程是 10 千米。 （2）0a，炮弹可以击中目标等价于存在0k ，使221(1)=3.220kaka成立， 即关于k的方程2222064=0a

23、 kaka有正根。 由222=204640aaa得6a 。 此时，22222020464=02aaaaka（不考虑另一根） 。 当a不超过 6 千米时，炮弹可以击中目标。【考点】函数、方程和基本不等式的应用。【解析】 （1）求炮的最大射程即求221(1)(0)20ykxkxk与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解。 （2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解。7.（2012 年江苏省 16 分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为1(0)Fc ，2(0)F c，已知(1) e，和32e，都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率（

24、1）求椭圆的方程；（2）设,A B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线1AF与直线2BF平行，2AF与1BF交于点 P（i）若1262AFBF，求直线1AF的斜率；（ii）求证：12PFPF是定值【答案】解：（1）由题设知，222=cabcea，由点(1) e，在椭圆上，得2222222222222222111=1=1ecbca baa bbabaa b ，22=1ca 。由点32e，在椭圆上，得22222422224433221311144=0=214ecaaaaabaa 椭圆的方程为2212xy。（2）由（1）得1( 1 0)F ，2(1 0)F，又1AF2BF， 设1AF、2BF的方程分别

25、为=1=1my xmy x，11221200A xyB xyy y ，。 2221221111211221221=0=22=1xmmymymyymmyx。 22222222111112221122=10=122mm mmmAFxymyymmm 。 同理，2222211=2mm mBFm。 （i）由得，2122212m mAFBFm。解22216=22m mm得2m=2。 注意到0m，= 2m。 直线1AF的斜率为12=2m。 （ii）证明：1AF2BF，211BFPBPFAF，即2121111111BFPBPFBFAFPBPFAFPFAF 。 11112=AFPFBFAFBF。 由点B在椭圆上

26、知，122 2BFBF，11212=2 2AFPFBFAFBF。 同理。22112=2 2BFPFAFAFBF。 12212211212122+=2 22 22 2AFBFAF BFPFPFBFAFAFBFAFBFAFBF 由得，2122 21=2mAFBFm，221=2mAF BFm， 1223+=2 2=222PFPF。 12PFPF是定值。【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。【解析】 （1）根据椭圆的性质和已知(1) e，和32e，都在椭圆上列式求解。 （2）根据已知条件1262AFBF，用待定系数法求解。8、 （2013 江苏卷江苏卷 16）16本小题满分 14 分。如图，

27、在三棱锥中，平面平面，过ABCS SABSBCBCAB ABAS 作，垂足为，点分别是棱的中点.ASBAF FGE，SCSA，求证：（1）平面平面； （2）./EFGABCSABC ABCSGFE证明：（1），F 分别是 SB 的中点ABAS SBAF EF 分别是 SASB 的中点 EFAB又EF平面 ABC, AB平面 ABC EF平面 ABC同理：FG平面 ABC又EFFG=F, EFFG平面 ABC平面平面/EFGABC（2）平面平面SABSBC平面平面=BCSABSBCAF平面 SABAFSBAF平面 SBC 又BC平面 SBC AFBC 又, ABAF=A, ABAF平面 SAB

28、BC平面 SAB 又SA平面 SABBCSABCAB 9、 （2013 江苏卷江苏卷 22）22本小题满分 10 分。如图，在直三棱柱中，,点是111ABCABCACAB 2 ACAB41AAD的中点BC（1）求异面直线与所成角的余弦值BA1DC1（2）求平面与所成二面角的正弦值。1ADC1ABA本题主要考察异面直线二面角空间向量等基础知识以及基本运算，考察运用空间向量解决问题的能力。解：（1）以为为单位正交基底建立空间直角坐标系，1,AAACABxyzA则，,)0 , 0 , 0(A)0 , 0 , 2(B)0 , 2 , 0(C)4 , 0 , 0(1A)0 , 1 , 1 (D)4 , 2 , 0(1C,)4, 0 , 2(1BA)4, 1, 1 (1BA10103182018,cos111111DCBADCBADCBA异面直线与所成角的余弦值为BA1DC110103（2） 是平面的的一个法向量)0 , 2 , 0(AC1ABA设平面的法向量为，,1ADC),(zyxm )0 , 1 , 1 (AD)4 , 2 , 0(1AC由1,ACmADm 取，得，平面的法向量为0420zyyx1z2, 2xy1ADC) 1 , 2, 2( m设平面与所成二面角为1ADC1ABA， 得32324,coscosmACmACmAC35sin平面与所成二面角的正弦值为.1ADC1ABA35