海南省中考数学科几何压轴题

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1、海南省2014年初中毕业生学业水平考试数学科23题分析垦中高协会摘要：本文分析了海南省2014年初中毕业生学业水平考试数学科23题几何压轴题，从评卷时提供的参考答案以及学生作答入手，进一步分析本题的解法，并深入研究本题存在的其他的结论及命题时一些建议。关键词：海南省 2014年 初中毕业生学业水平考试 数学 解题 研究考试是一种主要的评价方式，对于学生学习、家长期望占据重要地位。作为教师，不仅要关注学生的学业成绩，还要关注考试对教学的指导作用。解答题的基本结构是：给出一定的题设，然后提出一定的要求，让学生解答。学生从己知条件出发，通过运用相关的数学知识和方法，进行推理、演绎或计算，最后得到问题

2、的解决。另外还要将主要步骤，有条理地表述淸楚。几何综合题是中考中一种常见的题型，分为算型综合题与论证型综合题，这类题形较复杂，要应用的知识点较多，题设和结论之间的关系一般不直接。解几何综合题，要注意图形的直观提示，还要注意分析挖掘题目的隐含条件。几何证明对培养学生逻辑思维能力有直接作用。一般有两种基本类型：数量关系及位置关系。其中证明线段相等或角相等是中考中常见的考试方向，也是日常应用中最有意义的方向之一。也是平面几何证明中最基本最重要的一种相等关系。许多问题常常化归为此类问题来加以证明。最常用的方法有：利用全等三角形、线段中垂线、角平分线、等腰三角形的判定与性质等。证明直线平行或垂直也是相当

3、常见的题型。平行与垂直是两直线殊的位置关系。证明两直线平行，可用三线八角、边对应成比例、三角形中位线等证明。证两条直线垂直，可用证一个角等于90、两个锐角互余、等腰三角形“三线合一”等来证明。下面通过对海南省2014年初中毕业生学业水平考试数学科23题的分析，进一步说明笔者对试题解答、分析、命题的一些建议。图7A DBCFGOHPE原题：23（满分13分）如图7，正方形ABCD的对角线相交于点O，CAB的平分线分别交BD、BC于E、F，作BHAF于点H，分别交AC、CD于点G、P，连结GE、GF（1）求证：OAEOBG（2）试问：四边形BFGE是否为菱形?若是，请证明；若不是，请说明理由（3）

4、试求：的值（结果保留根号）参考答案：（1）利用OA=OB，AOE=BOG=90，OAE=OBG（或OEA=OGB）证明全等。（2）可以利用所有的判定方法，如有一组邻边相等的平行四边形、对角线相互垂直的平行四边形、对角线相互垂直且平分的四边形是菱形、四条边都相等的四边形、菱形的每一条对角线平分一组对角。（3）主要方法都是利用（1）中的全等将线段AE替换为BG后，利用相似加以推理计算。下面结合评卷过程对试题进行分析。第（1）问的参考解答及学生的解答，基本都是一个解法，差别只是证明角相等的方法不同而已。方法一：参考答案是利用直角三角形两个锐角互余，及对顶角相等证明两角相等。这个方法学生中应用也较多，

5、基本上可以看作是标准解答，如：方法二：利用三角形或是四边形的内角和通过计算证明两角相等。方法三：利用三角形相似证明两角相等。寻找三角形相似有两种方法：一是证明 一是证明方法四：通过特殊角度值的计算证明两角相等由于本题与正方形相关，再加上对角线这个特殊的条件，有许多的角度可以计算。方法五：利用四点共圆可惜在上述解答中，四点共圆的理由应当为： 。评卷上万份中，只发现了这一例。在此知识点已迁移至高中、初中基本不再讲解的情况下，能够用这种证法实数不易。总结，以上标准答案以及学生的解答基本上都是在证明两角相等上做文章。用的方法不外是角角边或是角边角。证明三角形全等的方法还有边角边、边边边、以及直角三角形

6、HL。是否可以应用呢？经分析，除角角边或是角边角，还可以应用其他方法来证全等。下面略述各种证明方法的简略思路。用HL方法如下：已有OA=OB，AOE=BOG=90，只要证AE=BG，只要证 ，即 （ASA）。用SAS方法如下：已有OA=OB，AOE=BOG=90，只要证OE=OG，即证AG=DE，AO=DO（显然），两者相减即可。要证AG=DE，只要证 ，即,，（ASA）。用SSS方法如下已有OA=OB，只要证AE=BG（上已证），OE=OG（上已证）。上述三种方法，均比较麻烦，评卷时命题方及试评组没有事先提供这三种解法，评卷过程中也没有发现学生如此解答。但从教师解题研究的角度，还是要加以分析

7、的必要。其实，分析三角形全等问题，寻找方法时，最好先将证明的方法都罗列出来，之后，再一一对比已知条件，寻找欠缺的条件，容易找准较为简便的方法。但这要求有冷静而有仔细的心思。存在的问题是，不少的同学知道证明全等的方法，只是苦于找不到证明角或边相等的方法，只有蒙了。如：第（2）问的解答多样化，学生可以从不同的角度加以处理，入手易，但每种方法要说理清晰，也不容易的事。绝大部分同学解答都是利用平行四边形加条件证明菱形，如邻边相等、对角线互相垂直等，少部分是直接证四条边相等。而证明平行四边形的方法对是多种多样，如两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分、两组对角分别相等（评

8、卷时没有发现这种证法）等。方法一：有一组邻边相等的平行四边形方法二：对角线相互垂直的平行四边形说明：在证明对角线互相平分时，绝大多数学生都是用三角形全等加以证明，极少有学生直接利用等腰三角形和重要性质三线合一加以论述，看来在常规教学中还要对这一知识点加以强调。方法三：对角线相互垂直且平分的四边形是菱形方法四：四条边都相等的四边形方法五：菱形的每一条对角线平分一组对角第（3）问基本就是相似，无非做不做不辅助线而已。对于本问而言，注意到第一问中的全等，以及问题涉及到比的计算，基本上就可以找到解法。做辅助线，完全是多此一举的做法，但也可以作为一种思路。方法一：直接利用相似方法二：做辅助线后，利用相似

9、当然，还可以作.方法三：利用三角函数，问题是初中无法解决非特殊值问题，个别学生不知从哪得到的比值。如以下两例：以上都是学生所用，而且正确的方法，除少部分表述中存在问题外，基本上都是比较优秀的解法了。但评卷中依然发出了大量存在的问题，列举如下。基本素养不足。如：遗漏符号写错别字 不知基本的方法，乱写一气事实上，初中几何研究或者说可以用来考试的问题主要有，点共线，平行，垂直，中点，共圆，线段相等，角相等，三角形相似，三角形全等，成比例线段问题等。对于本题中存在以下详细的命题点：点共线，如CDP、ACOG、BDOE、AFEH、BPGH.平行，正方形两组对边平行外，还有隐含的DG与OH.垂直，除正方形

10、四边之间，对角线之间外，还存在AF与BP，隐含的DG与CE，CE与OH.中点，本题中只有正方形对角线与菱形对角造成的中点。共圆，也比较多，但初中已不处理这个知识点。有ADPH、ABOH、OGEH、ABCD、BOG、ADGE、BDG、COPH、BCGE、ACE.线段相等，除正方形四边及对角线，菱形四边外，还有CG=CP、OE=OG，隐含有OH=BH=OH、AE=BG=CE=DG、BE=GE=CG=CP.角相等，除直角、45度角，以及菱形相应的角相等外，本题中还有大量角相等，如平行线造成的角相等。如果再添加适当辅助线，还会构造出更多相等的角。三角形相似，除等腰直角三角形外，还存在或隐含的有三角形H

11、BA、OEA、OGB、CPB、HGA、OEC、HEG、HEB、OGD，三角形AGB、CGB、DAE、HGO、AGD、DCE，三角形BEG、BHO、DGB、AEC、CGE，三角形EOH、EAG、PBD、PDG、GBC、EAB、OAH，GDC、GDE、ECB，三角形DHA、PBA，三角形OGD、PBA，三角形CAH、PBO。其中要再添加线才能构成的三角形就让问题更复杂化了。三角形全等，除正方形对角线造成、菱形对角线、中垂线造成的外，还存在或隐含的有三角形EAB、GBC、GDC、ECB、EAG、GDE，三角形GBA、EAD、GDA，ECD，三角形OBG、OAE、OCE、ODG，三角形AEC、BGD，

12、三角形BEG、CGE.成比例线段问题，本次考试命题选用的比例，含有无理数，也是造成学生解题得分较低的原因之一。其实，几何中常研究中点问题，线段比为1：2应当成为一个重点研究的问题才对。本题中除正方形、菱形对角线造成的中点形成比为1：2的线段外，还存在或隐含比为1：2的线段有：OH与DG、BH或GH与AE或CE、BH与DG、OH与BG或AE或CE、GH与DG、EH与PG、OE或OG与DP等。其中部分比要求连新的线段。通过以上分析，可以得到下建议：1、提高学生对几何题的解题信心要提高学生求解则几何的信心，可将一道几何的解题步骤拆分成小题。那些有畏难情绪的学生感到可以下手。将“大题”转化成“小题”做

13、，尽可能会取得突破。而中考基本上都是将问题分为三到四问题进行，对学生的分析带来了相当大的便利。2、帮助学生有效使用解题策略解题策略的提高，首先要学会读题：有哪些已知条件？有哪些未知条件？他们如何沟通？其次，明确解题目标，将问题的要求明确罗列出来。最后，在解决问题中，注意进行双向推理，已知条件可以得到哪些结论，求出未知量可以从哪些知识得出。找出其中的共同点。最后，感觉无法解决时，反思是否有条件没用上，列式、计算是否正确。最后，反思自己的解法是否最佳，有无其它的方法，结论或方法能否进行推广，是否可以改变部分条件从而得到新的类似的结论？最后，提出两个建议。第一问题中证明全等，用不上连结GE、GF事实上，连结后图形变得复杂，不少学生看到之后有了特别难的感觉，对于证明时标角度也不方便。建议以后类似的情况，不如多出图形，以方便学生下手。如下，图形会显得简洁许多，学生想动手的感觉会强烈些。第二，如前文分析，要证明或计算有关的线段的比例关系时，尽可能选择比值较为直观、表述相当简练的值。即方便解答时描述，也会给学生一种感觉，我们会尽理挖掘出生活中更加本质、简洁的存在。