EulerMaclaurin公式的两种证明、其推广以及应用

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1、Euler-Maclaurin公式的两种证明、其推广以及应用摘要本文首先用两种不同于常见文献中的方法重新证明了Euler-Maclaurin公式, 并讨论了它在对于求和式的渐近阶的估计中的应用. 在第二部分, 本文用类似的方法得到了其他一些递推关系的特解的级数形式, 推广了Euler-Maclaurin公式. 在第三部分，本文用这一公式给出了一些常见的求和式的计算. 在第四部分, 本文讨论了一些重要的无穷级数，为第五部分的工作做准备. 在第五部分, 本文继续利用Euler-Maclaurin公式给出了处理一些级数的例子, 得出了一些求和式的阶. 引言 在18世纪, Euler和Maclauri

2、n分别独立地得到了一个求和公式. 它立刻成为分析中很重要、很强有力的一个工具, 之后围绕它展开的研究络绎不绝, 极大地丰富了分析的内容. 他们的这个公式最早是应用于积分的数值计算和级数的求和, 包括给出求和式的阶(甚至是渐近级数). 定义 称的差分为. 如果存在一个函数使得, 则称为的反差分, 记为. 易知如果是的反差分, 则也是, 其中是一个周期为1的函数(包括常数), 反过来也成立1. 易知 , 称为的求和, 记为. 易知一个函数确定了上下限的求和是唯一的. 主要结果1. Euler-Maclaurin公式的证明为了计算求和式, 我们应用反差分的方法. 如果已经找到了一个函数满足, 那么就

3、可以简单地写成. 这就是我对这个公式的第一个证明的主要思想. 下面我们来看这个思想是如何实现的. 为了更好地揭示这个思想, 在我们严格地给出证明之前, 先用一些不严格的方法来导出结果. 我们的目的是找出满足的函数, 联系到Taylor公式, 我们有 令, 则 我们希望能用来表示, 因此, 在上式两边对求导, 我们有 同理, 我们在每个等式前面乘一个系数, 把所有的加起来. 系数的恰当选取使得的. 因此, 我们有, . 经过一些计算, 我们得知, 其中表示Bernoulli数. 因此, 下面我们给出严格的证明. 我们先证明一个引理. 引理 1: . 证明: =. 下面是本文的主要结果. 定理1(

4、Euler-Maclaurin): 如果及其直到阶的导数都存在且在内连续, 则 , 其中是余项.证明: 根据Taylor 定理, . 令, 则. . . . . . . 设,则根据上述关系, 应有, . 设, 则, , . 为Bernoulli数. , . . 下面我们考虑余项. 定理 2: . 证明 : . . 定理3: . 证明: 是周期为1的函数且没有奇点, 故有界. 即. 于是 . 文献5指出 , 于是. Lehmer10指出的最大值满足, 最小值满足. 我们必须区分两种不同的情况. 如果存在使得有界, 则, 则前项给出了求和式的主要部分. 如果任何都发散到无穷, 则. 定理4: 如果

5、在内一致收敛, 则. 证明: . 如果一致收敛, 也收敛, 则. 当时, , . 故. 因此, 对余项的有效估计依赖于的导数的性态. 即我们需要一个使得有界. 因此, 如果一个函数发散很快, 以至于任何阶导数都发散, 则Euler-Maclaurin公式就是失效了. 但是, 在这种情形, 这个求和式的前几项相对于最后一项是很小的, 可以被忽略. 例如, 容易知道. 下面的定理给出了这种情形的一种判别方法.定理 4: 假设当时, , . . 则. 证明 : , 对于, , 使得当时, . 即. , , . . 即. 故. 现在我们固定, 记为, 考虑作为的函数, 写成, 其中是常数, 是余项.

6、经常有几乎处处发散. 但是可能是的渐近级数. 我们有以下的定理: 定理: 如果, 且对一切, 则. 证明: 对于, 余项是, 注意到 . 因此, 对于, . Hence, . 现在我们用另一种方法来考虑这个问题. Weierstrass定理指出在闭区间上连续的函数可以用多项式充分逼近, 现在我们用Bernoulli多项式来展开函数. 我们也先用一个粗糙的推导. 假设可以用Bernoulli多项式展开, 即, 其中是待定系数. 为了确定, 我们在两边从到积分, 注意到. 因此, . 为了确定, 我们在两边求导, 并注意到. 因此. 同理, 从到积分, 于是. 由于, 我们可以得到. 因此, .

7、令, 并注意到, 我们有. 现在回到, 并用替换, 有. 因此, . . 因此我们用另一种方式证明了Euler-Maclaurin公式. 为了给出一个严格的证明, 我们考虑展开式的余项, 即. 应用的Maclaurin展开: 有. 由 , , 这个式子可以化简为. 利用, 有. 为了计算, 交换积分的次序. 假定, 则. 因此, 式子变成. 因此, , 余项. 令, 后一项积分等于0, 因此. 同理, . 因此, . 2. 常系数线性非齐次递推关系的求解 上面我们求的实际上是递推关系的级数解. 用类似的方法我们可以再求出一些更一般的递推关系. 我们知道(为常数)的通解为的通解加上对应于的特解.

8、 下面的定理 给出了得出的特解的一种方法. 同理, 我们有以下引理. 因为它的证明和引理1的很类似, 所以此处略去. 引理2: , 是正整数. 定理3: 记 为满足的最小的非负整数, 其中且 是常数, 这里我们定义, 且.如果及其直到阶的导数都存在且在某一闭区间内连续, 则一个特解为, 其中由生成函数给出, 是余项. 证明: 由Taylor公式, 有 . 应用定理1的方法, 有. . . . .同理, . . 下面我们导出的生成函数. 递推关系是, 初值为. 由, 有. 令, 则. . 考虑由给出的, 有, . . . . 因此, , 的生成函数为. 定义为由给出的关于的多项式. 有. 因此,

9、 . . 因此, , 是余项且. 3. Euler-Maclaurin公式的初步应用 为了应用这个公式, 首先需要建立一些有关Bernoulli数的恒等式. 根据文献5, 的收敛域为. 因此, 在其收敛域内, 我们可以对此级数逐项微分或积分. 定理 2: (1) ; (2) ; (3) ; (4); ; ; .证明 : 在中取, 得. 用替换, 得. 取, 得. . 用替换, 得. 取, 得. , 取, 得. 类似地, , , . 下面我们利用上式来求一些常用的求和式. (1). . 倒数第二个式子用到了. 或者. 设是一个次多项式, 则, 它的反差分是一个次多项式. 我们可以用待定系数法求出

10、它的反差分, 也可以先把它展开成Newton级数, 再求反差分. 这个公式提供了一个直接的表达式. (2). . (3)首先证明 一个引理 : 引理 2: . 证明 : 当时, , 引理 成立. 当时, 假设当时引理 成立. 则当时, , 引理 也成立. 所以当时引理 成立. 当时, 假设当时引理 成立. 则当时, , 引理 也成立. 所以当时引理 成立. 综上, 当时, 引理 成立. . . 类似地可以求出, , .(4). . (5). 4. 一些无穷级数我们在这一部分考虑一些著名的无穷级数, 得出的结果有些与第五部分的讨论有关. 我们省去了关于级数一致收敛的判别, 而直接交换积分与级数的

11、次序. (1) . 令, 则 . 当时, . 最后一个式子可以作为的表达式. 类似地, 我们可以求. 当时, . 此即是 Hurwitz zeta 函数. . 当时, . (2) . 令, 则, . 这里我们得到了一个有趣的事实: . (3)在得出这个级数的和之前, 我们先证明 一个与此相关的定理 . 首先需要证明 一个引理 . 引理 3: . 证明 : 设, 则. 取, 得, . 定理 4: . 证明 : . 后一个式子用到了. . . 令, 则. 类似地, . 令, 则 . (4) 根据, . 根据Abel分部求和公式, . , . . . . 类似地, 可以求出在处的值. 还可以求出在处

12、的值. 另外还有, , . 这些恒等式成为Apery证明 和的无理性的工具. 5. Euler-Maclaurin公式的进一步应用 前面推导出的Euler-Maclaurin公式是一个很强有力的分析工具. 我们继续用它处理了一些级数. (1). 引理 4: . 证明 : 当时, , 此时引理 成立. 假设当时, 引理 成立. 则当时, , 此时引理 也成立. 综上, 引理 成立. . 这个级数除了当时之外都是发散的. 但是我们可以形式地计算它的发散和. 由, 得. 令, 则. 即. 这里用到了Laplace变换. . 这与前面得到的结果相同. (2). 引理 5: , 其中表示上升阶乘函数,

13、. 此引理 的证明 与引理 4很类似, 故从略. . 由上题结论, . 则. . (3). 引理 6: . 证明 从略. . . 则 . 即. . 当时, , 其中即是所谓的Euler-Mascheroni常数. (4). 引理 7: . 证明 从略. . , . 则 . 即. . . 当时, , 其中. . 推论1: 当时, . 证明 : . 当时, . (5). 引理 8: . 证明 从略. . , . 则 . 即. . . 当时, , 其中. 推论2: 当时, . 其中. 证明 : . 其中即是所谓的Glaisher-Kinkelin常数. (6). 引理 10: . 其中是关于的次多项

14、式. 证明 : 当时, , 此时引理 成立. 假设当时, 引理 成立. 则当时, , 此时引理 也成立. 综上, 引理 成立. 引理 11: 如果, 则. 证明 : , 和，使得当时，有。记，则故. 引理 12: . 证明 : 根据的Taylor展开式, , 得, . . . , . 则. 当时, . 其中. (7) . 引理 13: . 证明 : 当时, , 此时引理 成立. 假设当时, 引理 成立. 则当时, , 此时引理 也成立. 综上, 引理 成立. . , 其中为一常数(发散意义下的和). 参考文献1郭锡伯. 有限差计算与级数求和. 陕西科学技术出版社. 1984年2史济怀. 母函数

15、. 上海教育出版社. 1981年3G.H.Hardy. Divergent Series. Chelsea Publishing Company. 19914潘承洞. 于秀源. 阶的估计. 山东科学技术出版社. 1983年5王竹溪. 郭敦仁. 特殊函数概论. 北京大学出版社. 20045徐利治. 陈文忠. 渐近分析方法及应用. 国防工业出版社. 1991年6Morris.Kline. 古今数学思想(第二册、第四册). 上海科学技术出版社. 2002年7Charles.Jordan. Calculus of Finite Differences. Chelsea Publishing House. 19508余文卿. 级数求和法. 数学传播第十五卷第四期10 D.H. Lehmer. On the Maxima and Minima of Bernoulli Polynomials. American Mathematical Monthly. volume 47. pages 533538 (1940)26