第五章_薄板弯曲问题的有限元法

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1、有限元法的原理及应用薄板弯曲问题的有限元法学院：机械工程学院班级：锻压1班小组成员：周均博张杨曹琛孔晓华 祖晓阳一.定义及假设1 定义：工程力学理论研究中，概念定义的板是指厚度尺寸相对长宽尺寸小 很多的平板，且能承受横向或垂直于板面的载荷。如板不是平板而为曲的 （指一个单元），则称为壳问题。如作用于板上的载荷仅为平行于板面的纵向 载荷，则称为平面应力问题；如作用于板上的载荷为垂直于板面的横向载荷, 则称为板的弯扭问题，常简称板的弯曲问题。薄膜厚度180b 80100薄板1/11 W W 100 一 b 一 58厚板-板长宽最小值2、基本假设（克希霍夫假设）1）直线假设：即变形前垂直于板中面的直

2、线，在弯曲变形后仍为直线, 且垂直于弯曲后的中面。说明在平行于中面的面上没有剪应变，即252）厚度不变假设：即忽略板厚变化。即乞= o由于板内各点的挠度与z 坐标无关，只是x, y的函数，即w = w（x,y） 3）中面上正应力远小于其它应力分量假设：平行于中面的各层相互不挤压, 不拉伸，沿z向的正应力可忽略，即 空=04）中而无伸缩假设：弯曲耳天中，中而兀伸缩，（薄板中面内的各点都 没有平行中面的位移）即H=o=o因为：心(x=0 = ，dvGy = dyI(Fy)z=0 =0,dv du（从=0=纵向荷载：可以认为他们沿薄板厚度均匀分布,因而他们所引起的应力、形变和位移可以按平面应力问题进

3、行计算。横向荷载：将使薄板弯曲，他们所引起的应力、形变和位移，可以按薄 板弯曲问题进行计算。4 u = _?q.7 u = _?q.二、基本方程1)几何方程丽旳 点线o O - 一一 呢瓦加 + + 包azav一饭 - -积分口J得dxvu = -z一 dxdwv = -z 分别袅示薄板誉 曲曲面在x, y方 向的曲率表示薄板弯曲曲 而在x, y方向的 扭率+ NZ)绕y轴转角绕x轴转角d2wZv =d2wZ.V =v d2wZxvdxdy#2）物理方程（广义胡克定律）E /、6+车）E /、叮F*）E2（1 +肿叮 十0= j = 0E d2w匚产（左+E /几-口?久盲+E d2w Z1

4、+ “ dxy写为矩阵形式:d2wEz17001-“rdx2d2w_2也dxy93）内力矩公式及平衡方程单位宽度上垂直x, y轴的横截面上弯矩、扭矩 d2w d2w+ d2w2J%(yyzdz = 2J二諾 2)2d2w-E8312（1 ”） l 勿2 +左性=Myx = J5 TxyZdZ =（1- “） 0%12(1 /?) dxyd2w12(1 /?)001-“2dx2 d2wd2wE称为薄板的弯曲刚度Ed312(1 “2)01-“Tdxdy称为弯曲板的弹性矩阵F _-E0乂_2(1_“2)E&伦一 12(1 “2)等效剪力图中力矩双箭头方向表示是力 矩的法线方向，列平衡方程： (M)

5、yME(H”QM. dMv*严0oMxz/a3w+ dx2dy+盲y/心警T砂 张+沪dyX厂 ” dMx A_ oxMXy + 讐+彎冬Fsx +dvuxJOFsMyxMyx.ydxdy坐一些+卧0dydxSx込任+厂0dx dy8fF-FSydx + (伦.dy)dx 一 FSxdy + (FSx H dx)dy + qdxdy = 0dydx由应力的正负方向的规定得出: 正的应力合成的主矢量为正， 正的应力乘以正的矩臂合成的 主矩为正；反之为负。31Q2)d2w d2vvy1夕Jq或者” V式屮，宀討萌表示拉普拉斯算子。d2 d213%,三、矩形薄板单元分析用有限元法求解薄板弯曲问题，常

6、在板中面进行离散，常用的单元有 三角形和矩形。为了使相邻单元间同时可传递力和力矩，节点当作刚性节 点，即节点处同时有节点力和节点力矩作用。每个节点有三个自由度，即 一个扰度和分别绕X, y轴的转角。1 设位移函数=国 exi eyiXiyi=厲叭 Myixiyi厲M刃MyIJ节点位移分量和节点力分量薄板弯曲时，只有w(x,y)是薄板变形的未知基本函数，而其它量，如 u,v等都是w(x,y)的函数，故薄板矩形单元的位移函数的选择实际就是 w(x,y)的选蚊。注意单元有12个自由度，贝92 2w(x, =+ a2x+a3y + a4x +a5xy + a6y +322333ax +a8x y+a9

7、xy +a10yy + anxy另两个转角为：Ox =a3 + a5x + 2a6y + +2a9xy + 3al()y +anx +312xy9v = 一 =一( + 2a4x + a5y + 3ayx +2asxy + a9y +3aixy + a1y) y dx待定系数：利用12个节点位移值可待定12个系数，整理w（x,y）为插值函 数形式：沁,y）=伽 + Nxi3xi + Nyi3yi + 伽 + Nxl0xl + NylOyl其中，形函数:= N订M 詁（1+3（1+丄）2+兰（1 亠）+2（1）8 旺 儿 旺 儿 几叽=-儿（1 + 亠（1 + 与（1-2）8耳 儿 几li2.单

8、元收敛性分析:1）位移函数 班兀刃禺（兀,刃毘（兀刃中包含有常量项，反映了刚体位移 ,如a为扰度常量,。，冬为議角常量。2）位移函数中包含了常量应变项，如形变分量为:表明薄板处于均匀弯扭变形状态，即常应变状态。这里的常应变为扰度 的二次函数，而在平面单元中为位移的一次式，这是因为板有厚度，其 形变是指不同厚度上的。3) 相邻单元在公共边界上扰度是连续的但转角不一定连续。设边界7边y二-b则有位移23w(x, y) = q +c2x+c3x +c4x如对于绕x轴的转角:四个系数刚好通过几丿两个端点的扰度值和绕y轴的两个转角值唯一确定 ；同时，相邻单元在此边界上也能通过几丿的值唯一确定，故连续。O

9、x (x, y) = dx +么兀+3 兀 2 +4兀3四个系数不能通过i, j的两个已知转角值唯一待定；同理，相邻单元在 此边界上也不能唯一确定四个系数。故转角不连续。所以，薄板矩形单元是非协调单元。但实践表明，当单元细分，其解完 全能收敛真实解。213.单元刚度矩阵1）应变矩阵dud2wdxdx1dvd2w=Z勿2du dvd2wH2dy dxdxydxy dxy dxy23=讥引国叫引其中：B为x，y的d2Nr叽叽函数，与z无关dx2dx2dx2坊卜-d2Nr叽 勿2d2Nyr dy22刑2叽2叽dxy dxy dxy#富虽JaHI g0=Q 二4爲V WQ二空fevAP !竺 Q4 总

10、刚矩阵集成按平面问题的有限元法介绍的方法 可集成得到结构的总刚矩 心细，Z=15.载荷移置工6 边界条件出来7.求解线性方程组= Li + Lj + Lm=A113个三角形面积计算式：人冷X.n yin 1四三角形薄板单元1.面积坐标三角形单元的面积坐标定义:如图示三角形单元中，任意一点P的位置可 以用下面3个比例确定。其中4为ijm的面积，A-,人口分别为Pjm， APim, Pij的面积。比值厶，坷，厶“就称为P点 的面积坐标。A +勺+An =人九A A兀 y1小r yjL.1iL.J2ALaJbi q bJ CJ bm Crn厶实际为三角形4的高与4高的比，即平行jni线的直线上的所有

11、点有相同 的厶。同时，易得i点、L= ,l7=4；=oj点 Ly=l ,L,=4,=0 m 点 L/n = 1, Lj =厶=0即，三角形内与任一条边平行的直线上的所有点有相同的面积坐标。L. = (,. +bix + ciy) (/, j, m) 面积坐标与整体坐标之间的变换。24M(x,y)二右S+g+c*)N,” (x, y) = G + bmx + cmy)比较面积坐标与平面三角形单元形函数可知，面积坐标正是平面三节点三角 形单元的三个形函数。2、位移函数三角形单元能较好地适应斜边界，实际中广泛应用。单元的 节点位移仍然为节点处的挠度和绕x, y轴的转角為、%，独立 变量为鸭。三角形单

12、元位移模式应包含9个参数。若考虑完全三次 多项式，则有10个参数：223223ax +a2x+a3y+a4x +a5xy+a6y +anx +asxy+a9xy +a10y若以此为基础构造位移函数，则必须去掉一项，则无法保证对称。 经过多种选择，采用面积坐标比较合理可行。对于三角形单元，面积坐标的一、二、三次齐次分别有以下项:Li + Lj + Lm -1一次项：LLpLm二次项：11匚,必丄4丄耳丄屆三次项：E,以,ELj,%，必厶丄j，L#m,LmE,Lj-将三个节点的位移和面积坐标代入上式，可得：a尸Wj, a 2=Wj, a3=wmo代入上式对G Lj求导,注意Lm=1-LrLjf可得

13、dwJdwdL.J=h; 一 wm - a4Lj + a5 （Lm 一厶）+ a6Lj + a7 一 2L.Lm ）+ （4LLn 瓦）+ a9 （丐2LiLj）=wj 一 + aLfn-Lj）-a5L.t + a6L + 勺（丐 + 必一4LyLzJ+ % （2厶Z川一厶：）+勺（2厶九一厶：）将节点的面积坐标代入上述两式，可得6个关于a厂a 9的方程，求解 后可得a 4 a 9：1/ 、 1/ 、 4=-（叱为+叱少）5=-（一叱山+叱皿），_ 1/ 、 6 =-（WLH +W +叱与 _叱劭），7 二 _旳 +% +（W，m +W,Ljm ）w，3表示对乙泊勺8二叫-Wm-（W,. +

14、W,皿）偏导数在丿点的值。a9 = _甲 + 旳 +（W，M +W，s _叱尊 _W,切）最后，待定常数q1q9代入位移模式，整理后得:M =厶 - IE _ % + S -必厶）N, =-| JLj -1 L +1 （厶可-%） -1 （LmL?-必厶）”,j, m）利用：叫M弓厶乙厂*马-也）dwdw- dw-。门c） =bBx c Q、bi = X 儿，Ci =兀“无（ijm）dLt J dx J dy J-dwdw7 dw7 八门=ci + E =bjOx + c.3xdLj 1 dx 1 dy 1 x 1 y将w，ui和刑“变换成纵i、Byi，从而得到相应于Bxi、Byi的形函数M、NyiNf-bjN 严 bNiNyi =-CjNii+CiN jiM =厶-（厶乌-也） + （Lmlj -必厶）N肿如M -扣坷+扣Lm 一） +如”（厶丐一弘）严,亦） 比严訂丄-冷d +苏（购-瓦厶）+扫（葩-也） = Nxi 怜(5)回山爲二“N”利用求得位移函数，可以得到应变列阵和相应的应变矩阵B,进一步可 得到形变列阵和相应的形变矩阵B。单元刚度矩阵计算公式：ke = f Bf DBdxdy27