中考数学复习第10讲四边形试题

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1、第十讲 四边形10.1 多边形基础盘点多边形的内（外）角和：边形的内角和为（-2）180，外角和为360；正边形的每个内角为，每个外角为多边形的外角和是固定不变的 考点呈现 考点1 已知边数求角度 例1 (2015无锡)八边形的内角和为（） A180 B360 C1080 D1440分析：根据多边形的内角和公式直接进行计算解：当n8时，(n2)180（82）180=6180=1080，选C点评：求n边形的内角和，只需将n的值代入公式180(n2)即可 考点2 已知角度求边数 例2 (2015南宁)一个正多边形的内角和为540，则这个正多边形的每一个外角等于（ ）. A60 B72 C90 D1

2、08 分析：先由多边形的内角和求出边数，再由正多边形的每个外角都相等求外角度数 解：设此多边形为n边形，根据题意，得180（n2）=540，即可求得n=5.而多边形的外角和等于360，可知这个正多边形的每一个外角等于3605=72，故选B 点评：已知多边形的内角和求多边形的边数，常应用方程来解决问题 考点3 多边形对角线 例3 若凸多边形的内角和为12600，则从一个顶点出发引的对角线条数是_. 解析：由内角和得（n-2）1800=12600,解得n=9.由从多边形一个顶点出发引的对角线条数是n-3，即可知结论为6. 点评：多边形每一个顶点引的对角线条数都是(n-3)条， n边形的对角线条数为

3、.误区点拨例 一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720，那么原多边形的边数为（ ） A.5 B.6 C.7 D.5或6或7错解：设这个多边形截去一个角后的边数为n，则180（n-2)=720，解得n=6因为截去一个角后这个多边形的边数增加1，所以原多边形的边数5，选A.剖析：由于不知道这个多边形截去一个角后的情况，因此要先判断截去一个角后多边形的边数，再分类讨论原多边形的边数.一个多边形截去一个角后，边数可能加1，可能不变，也可能减1.错解误认为只有第一种情况，思考不周造成错误. 正解：设这个多边形截去一个角后边数不变，设其边数为n，则180（n-2)=720，解得n=6，所以

4、原多边形的边数可能是5或6或7，故选D.跟踪训练 1.（2015丽水）一个多边形的每个内角均为120，则这个多边形是（ ） A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 2.（2015资阳）一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是_ 3. (2014毕节)如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340的新多边形，则原多边形的边数为( ) A13 B14 C15 D16 10.2平行四边形基础盘点平行四边形性质：（1）平行四边形的对边平行且相等；（2）平行四边形的对角相等，邻角互补；（3）平行四边形的对角线互相平分；（4）平行四边形是中心对称图形

5、，对称中心是对角线的交点.平行四边形判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形考点呈现 考点1 平行四边形的性质 例1 （1）（2015梅州）如图1，在ABCD中，BE平分ABC，BC=6，DE=2，则ABCD的周长等于 （2）（2015大连）如图2，在ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，AC垂直于BC，且AB=10cm，AD=8cm，则OB= cm 图1 图2分析：（1）根据ABCD可得AEBC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出ABE=AEB，

6、继而可得AB=AE，然后根据已知可求得结果；（2）根据ABCD可得BC=AD，AO=OC，BO=DO，则可在RtABC中求出AC，进而得到OC，再在RtBOC中求OB解：（1）因为四边形ABCD为平行四边形，所以AEBC，AD=BC，所以AEB=EBC又BE平分ABC，所以ABE=EBC，所以ABE=AEB，所以AB=AE.所以AE+DE=AD=BC=6，所以AE+2=6，所以AE=4，所以AB=CD=4，所以ABCD的周长为4+4+6+6=20. （2）因为AC垂直于BC，AB=10cm，BC=AD=8cm，所以AC=，所以OC=AC=3cm，OB=（cm）.点评：解决第（1）题的关键是根据

7、平行线的性质和角平分线的性质得出ABE=AEB，解决第（2）题的关键是运用平行四边形的对角线互相平分和勾股定理 考点2 平行四边形的判定 例2 （1）（2015广州）下列命题中：对角线互相平分的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形真命题的个数有（ ） A3 B2 C1 D0 （2）（2015绵阳）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，CBD90，BC4，BEED3，AC10，则四边形ABCD的面积为（ ） A6 B12 C20 D24 图3分析：（1）利用平行四边形的判定方法进行判断即可；（2）先在RtBE

8、C中求出CE，得到E为AC的中点，进而四边形ABCD是平行四边形，即可利用S四边形ABCD=BCBD求解解：（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，是真命题；两组对角分别相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题；一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，错误，例如等腰梯形，也符合一组对边平行，另一组对边相等故选B；（2）因为CBD90，所以BEC是直角三角形.又BC4，BE3，所以因为AC=10，所以E为AC的中点.又BE=ED=3，所以四边形ABCD是平行四边形.而且DBC是直角三角形，所以S四边形ABCD=BCBD=46=24.故选D点评：在平行四边形的判定方法中，只要稍微

9、改动一下说法，就可能成为假命题，若不注意，就会出现似是而非的错误.务必准确掌握判定定理 考点3 平行四边形性质与判定的综合应用 例3 （2015遂宁）如图4，在ABCD中，点E，F在对角线BD上且BEDF求证：四边形AECF是平行四边形.图4分析：根据平行四边形的性质，可得对角线互相平分，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证明结论 证明：如图4，连接AC，并交对角线BD于点O因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC，OB=OD因为BEDF，所以OE=OF所以四边形AECF是平行四边形点评：本题证明四边形BEDF是平行四边形的方法很多，这里用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”

10、来判定最简捷，你不妨写出其他证明方法，做一个对比判定四边形是平行四边形常可边、角、对角线三个方面入手，但有简繁之分，在解题时注意比较选择误区点拨例1 在ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，EBD=20，则A的度数为_ 图5 图6错解：如图5，因为EBD=20，所以EDB=70又AD=BD，所以A= 剖析：有些考生由于思维定式，考虑问题不全面，缺少分类，误以为高BE一定在ABD的内部， 其实高BE也可能在ABD的外部，如图6所示，因此应分类求解正解：（1）当高BE在ABD的内部时，同错解可得A=55；（2）当高BE在ABD的外部时，因为EBD=20，所以EDB=70，所以ADB=110又

11、AD=BD，所以A=综合（1）（2）可知A的度数为55或35.例2 （2015广州）已知在四边形ABCD中，A=C，B=D求证：四边形ABCD是平行四边形 错解：如图7，连接BD，则1+3=180-A，2+4=180-C因为A=C，所以1+3=2+4，所以1=4，2=3， 所以ABCD，BCAD，所以四边形ABCD是平行四边形图7剖析：上述错解中，由1+3=2+4并不能得到1=4，2= 3，这种推理其实是不自觉地默认了四边形ABCD是平行四边形，犯了“循环论证”的错误 正解：因为A=C，B=D，A+B+C+D=360，所以A+B=180，所以ADBC.同理，ABCD，所以四边形ABCD是平行四

12、边形跟踪训练1.（2015宁波）如图，ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使ABECDF，则添加的条件不能为（ ）A. BE=DF B. BF=DE C. AE=CF D. 1=2 第1题图 第2题图 第3题图 2.（2015牡丹江）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO=CO，请添加一个条件_（只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形. 3.（2015哈尔滨）如图，在口ABCD中，点0是对角线AC的中点，EF过点0，与AD、BC分别相交于点E、F，GH过点0，与AB、CD分别相交于点G、H，连接EG、FG、FH、EH. (1)求证：四边形EGFH是平行四边形

13、(2)如图，若EF/AB，GH/BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形（四边形AGHD除外）.10.3 特殊的平行四边形基础盘点1. 矩形性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线相等；（3）矩形是轴对称图形，有两条对称轴判定：（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）三个角都是直角的四边形是矩形；（3）对角线相等的平行四边形是矩形 2.菱形性质：（1）菱形的四条边都相等；（2）菱形的对角线互相垂直；（3）菱形是轴对称图形，有两条对称轴；（4）菱形的面积等于两条对角线乘积的一半判定：（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱

14、形；（2）四条边都相等的四边形是菱形；（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 3.正方形性质：（1）正方形的四条边都相等； （2）正方形的四个角都是直角；（3） 正方形的对角线互相垂直平分且相等；（4） 正方形是轴对称图形，有四条对称轴 判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形； （2）有一组邻边相等的矩形是正方形考点呈现考点1 矩形的性质 例1 （2015无锡）如图1，已知矩形ABCD的对角线长为8cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的周长等于_cm 图1分析：连接AC，BD，根据三角形的中位线求出HG、GF、EF、EH的长即可 解析：连接AC，BD，因为

15、四边形ABCD是矩形，所以AC=BD=8cm.因为E，F，G，H分别是AB，BC，CD、DA的中点，所以HG=EF=AC=4cm，EH=FG=BD=4cm，所以四边形EFGH的周长位4cm+4cm+4cm+4cm=16cm 点评：解题的关键是能求出四边形各边的长，注意：矩形的对角线相等，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 考点2 矩形的判定 例2（2015临沂）如图2，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ） A.AB=BE B.BEDC C.ADB=90 D. CEDE 图2分析：根据矩形

16、的判定方法来分析判断 解：因为四边形ABCD为平行四边形，所以ADBC.因为DE=AD，所以DEBC， 所以四边形EDBC为平行四边形.假若AB=BE，因为AB=BE，AD=DE，BD=BD，所以ADBEDB， 所以BDE=90，所以四边形EDBC为矩形；假若BEDC，则只能得到四边形EDBC为菱形；假若ADB=90，则EDB=90，所以四边形EDBC为矩形；假若CEDE，则DEC=90，四边形EDBC为矩形.故选B. 点评：本题中要谨防将矩形的判定方法与菱形的判定方法相混淆而产生错误.考点3 菱形的性质 例3 （2015漳州）如图3，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点

17、D落在边BC上的点F处，过点F作FGCD，交AE于点G，连接DG （1）求证：四边形DEFG为菱形； （2）若CD=8，CF=4，求的值图3分析：（1）由翻折得到EDEF，GDGF，再证明FEFG， 即可运用菱形的不同判定方法得到多种证法；（2）设DEx，则EC8x，在RtEFC中利用勾股定理求出x，即可求出的值 解：（1）如图3，由轴对称性质，得12，EDEF，GDGF因为FGCD，所以13，则23，所以FEFG，所以EDEFGDGF，所以四边形DEFG为菱形 （2）设DEx，由轴对称，得FEDEx，EC8x.在RtEFC中，FC2EC2EF2，即42（8x）2x2，解得x5，CE8x3，所

18、以 点评：菱形的判定方法较多，在解题中要根据具体情况来选择.重视对题目进行一题多解的研究，从多中取好，好中取优，进而提高我们分析问题和解决问题的能力考点4 正方形的性质 例4 （2015凉山州）如图4，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DEAG于E，BFDE交AG于F，探究线段AF，BF，EF三者之间的数量关系，并说明理由 图4分析：根据正方形的性质，可得AB=AD，DAB=ABC=90，根据余角的性质，可得ADE=BAF，根据全等三角形的判定与性质，可得BF与AE的关系，再根据等量代换，可得答案 解：线段AF，BF，EF三者之间的数量关系AF=BF+EF. 理由如下：因为四边

19、形ABCD是正方形，所以AB=AD，DAB=ABC=90因为DEAG于E，BFDE交AG于F，所以AED=DEF=AFB=90，所以ADE+DAE=90，DAE+BAF=90，所以ADE=BAF在ABF和DAE中，所以ABFDAE，所以BF=AE所以AF=BF+EF 点评：正方形是特殊的矩形，又是特殊的菱形，因此在解决正方形的有关问题时，要充分利用解决矩形和菱形问题时的方法与技巧在探索线段AF、BF、EF三者之间的数量关系时，可通过观察猜想出结论考点5 正方形的判定 例5（2015日照）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：AB=BC，ABC=90，AC=BD，ACBD中

20、选两个作为补充条件，使平行四边形ABCD成为正方形（如图5）现有下列四种选法，你认为其中错误的是（ ） A B C D 图5 分析：利用矩形、菱形、正方形之间的关系与区别，结合正方形的判定方法分别判断得出结论 解：因为四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当ABC=90时，菱形ABCD是正方形，故选项A不符合要求；因为四边形ABCD是平行四边形，所以当ABC=90时，平行四边形ABCD是矩形，当AC=BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故选项B符合要求；因为四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当AC=BD时，

21、菱形ABCD是正方形，故选项C不符合要求；因为四边形ABCD是平行四边形，所以当ABC=90时，平行四边形ABCD是矩形，当ACBD时，矩形ABCD是正方形，故选项D不符合要求故选B 点评：正确掌握正方形的判定方法是解题关键在ABCD的基础上，需要再同时具备矩形和菱形的特征，平行四边形ABCD即可成为正方形 考点6 四边形综合题例6 （2015泰州）如图6，正方形ABCD的边长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的动点，且AE=BF=CG=DH.（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）判断直线EG是否经过某一定点，说明理由； （3）四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在

22、，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由. 图6分析：（1）由正方形的性质得出A=B=C=D=90，AB=BC=CD=DA，证出AH=BE=CF=DG，由SAS证明AEHBFECGFDHG，得出EH=FE=GF=GH（也可以由勾股定理得到），AEH=BFE，证出四边形EFGH是菱形，再证明HEF=90，即可得出结论；（2）连接AC、EG，交点为O；先证明AOECOG，得出OA=OC，证明点O为对角线AC、BD的交点，即O为正方形的中心；（3）设四边形EFGH面积为S，BE=xcm，则BF=（8x）cm，由勾股定理得出S=x2+（8x）2=2（x4）2+32，S是x的二次函数，容易得出四边形EF

23、GH面积的最小值解：（1）因为四边形ABCD是正方形，所以A=B=C=D=90，AB=BC=CD=DA.因为AE=BF=CG=DH，所以AH=BE=CF=DG.在AEH、BFE、CGF和DHG中，所以AEHBFECGFDHG，所以EH=FE=GF=GH，AEH=BFE，所以四边形EFGH是菱形.所以BEF+BFE=90，所以BEF+AEH=90，所以HEF=90，所以四边形EFGH是正方形. （2）直线EG经过一个定点，这个定点为正方形的中心（AC、BD的交点）.理由如下：连接AC、EG，交点为O，如图6所示，因为四边形ABCD是正方形，所以ABCD，所以OAE=OCG.在AOE和COG中，所

24、以AOECOG，所以OA=OC，即O为AC的中点.因为正方形的对角线互相平分，所以O为对角线AC、BD的交点，即O为正方形的中心； （3） 设四边形EFGH面积为S，设BE=xcm，则BF=（8x）cm.根据勾股定理，得EF2=BE2+BF2=x2+（8x）2，所以S=x2+（8x）2=2（x4）2+32.因为20，所以S有最小值，当x=4时，S最小值=32，所以四边形EFGH的面积存在最小值，最小值为32cm2 点评：本题的解法很多，第（1）题系统复习了全等三角形、勾股定理、平行四边形、菱形、矩形及正方形等知识；第（2）题是第（1）题的延伸，要判定直线EG是否经过一个定点，由合情推理容易猜想

25、到直线EG一定经过正方形ABCD对角线的交点，再运用演绎推理来进行说理，同时综合复习了全等三角形、平行四边形、正方形、一次函数等知识；第（3）题是第（1）题的拓展，要求正方形EFGH面积的最小值，方法多元，从几何角度思考，可运用菱形的面积公式与垂线段最短的性质；从代数角度思考，可运用乘法公式与函数的有关知识.请你按照上述提示来对本题进行一题多解的研究，并与同伴交流误区点拨 例1（2015哈尔滨）在矩形ABCD中，AD=5,AB=4，点E,F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形，若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为_ 错解：如图，在RtAEB中，由勾股定理得AE=3,因为EF=5，M是EF的

26、中点，所以EM=2.5，所以AM=3+2.5=5.5 剖析：由于四边形BCFE为菱形，因此BE=BC=5，而AD=4，因此以点B为圆心，5为半径画弧与直线AD应该有两个交点，进而线段AM的长应该有两个，错解只考虑了其中的一种情况，犯了以偏概全的错误 正解：因为矩形ABCD中，AD=5,AB=4，所以BC=AD=5，BAD=90；因为四边形BCFE是菱形，所以BE=BC=5，以点B为圆心，5为半径画弧交直线AD于点E：（1） 当点E在线段AD上时，同错解有AM=5.5； （2）当点E在射线DA上时，如图22，在RtAEB中，由勾股定理，得AE=3.因为EF=5，M是EF的中点，所以EM=2.5，

27、所以AM=3-2.5=0.5因此线段AM的长为5.5或0.5.跟踪训练 1.（2015泸州）矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ） A.两组对边分别平行 B.两组对角分别相等 C.对角线互相平分 D. 对角线相等 2.（2015青岛）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O点，E、F分别是AB、BC边上的中点，连接EF.若EF=，BD=4，则菱形ABCD的周长为（ ） A.4 B. C. D.28 第2题图 第3题图 3.（2015长春）如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若ABE的面积为8，CE3，则线段BE的长为_ 4.（2015内江）如图，将ABCD的边AB延长至E，使AB=BE

28、，连接DE，EC，DE交BC于点O.（1）求证：ABDBEC； （2）连接BD，若BOD=2A，求证：四边形BECD是矩形. 第4题图 5.（2015长春）如图，CE是ABC外角ACD的平分线，AF/CD交CE于点F，FG/AC交CD于点G求证：四边形ACGF是菱形第5题图 6.(2015安顺)如图，在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足为点D，AN是ABC外角CAM的平分线，CEAN，垂足为点E （1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明第6题图参考答案10.1 多边形1.C 2.8 3B10.2 平行四边形1. C 2.答案不唯一

29、，从ABCD，ACBD，BAO=DCO，ABO=CDO，DAO=BCO，ADO=CBO，等中任取一个即可 3.(1)证明：因为四边形ABCD为平行四边形，所以AD/BC，所以EAO=FCO.因为OA=OC，AOE=COF，所以OAEOCF，所以OE=OF；同理OG=OH，所以四边形EGFH是平行四边形.(2)口GBCH，口ABFE，口EFCD，口EGFH.10.3 特殊平行四边形1. D 2.C 3.5 4.证明：（1）因为 四边形ABCD是平行四边形，所以AD=BC，ADCB，所以BAD=EBC.又AB=BE,所以ABDBEC.（2） 因为BE=CD，BECD，所以四边形BECD是平行四边形

30、，因为BOD=2A，所以BOD=2OCD，所以 OD=OC，所以 BC=ED，所以 四边形BECD是矩形；5. 证明：因为AF/CD，FG/AC，所以四边形ACGF为平行四边形，因为CE是ABC外角ACD的平分线，所以ACFFCG，因为AF/CG，所以AFCFCG，所以ACFAFC，所以AFAC，所以ACGF为菱形.6 证明：（1）在ABC中，AB=AC，ADBC，所以BAD=DAC.因为AN是ABC外角CAM的平分线，所以MAE=CAE，所以DAE=DAC+CAE=180=90.又ADBC，CEAN，所以ADC=CEA=90，所以四边形ADCE为矩形.（2） 当ABC满足BAC=90时，四边形ADCE是正方形.理由：因为AB=AC，所以ACB=B=45，因为ADBC所以CAD=ACD=45，所以DC=AD.因为四边形ADCE为矩形，所以矩形ADCE是正方形