上半连续和下半连续教案

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1、函数的上、下半连续性一、上、下半连续性的定义设函数在集合上有定义,为的一个聚点。在处连续,用语言描述,即:当时,有 若将此条件减弱,在不等式中,只使用其中的一个不等式,那么就得到半连续。定义 设在及其附近有定义,所谓在处上半连续,是指:当时,恒有。在处下半连续,是指:当时,恒有。推论 在及其附近有定义,则在处连续的充要条件是,在处既上半连续又下半连续。例1 函数 在有理点处上半连续,但不下半连续。 在无理点的情况恰恰相反。 例2 考虑函数。 当时,跟的结论一样, 当时,跟的结论相反, 当时,既上半连续又下半连续,因而在处连续。例3 函数 在无理点处既上半连续又下半连续。 在有理点处上半连续,但

2、不下半连续。二、上、下半连续性的等价描述 定理1 设在集合上有定义,为的一个聚点且。则如下断言等价:、在处上半连续(即:当时,恒有)、,必有证明:明显,因当时,有 对上式取极限,并注意的任意性,即得。由 ,直接可得。 (用反证法)设在处不上半连续,则,使得。这与已知条件矛盾。 当且仅当集合中处处上(下)半连续时称在中上(下)半连续。定理2 设为闭集,在上有定义,则在中上半连续的充要条件是:,集合为闭集。证明 必要性 为了证明为闭集,即要证明,必有,此时,而为闭集,所以。要证,只要证。事实上,由知,从而有。因在上半连续,根据定理1有 充分性(反证法)若不在中上半连续,则至少存在一点,在不上半连续

3、,即 ,但。取数,使,于是根据的定义 但(当),为闭集,应有矛盾,证毕。注(1)上半连续与下半连续是对偶的概念。一方有什么结论,另一方也有相应的结论。定理2的对偶结论留给学生做为习题。 (2)定理2给出了半连续的又一等价形式,其中未用语言,只用了闭集的概念。这为半连续推广到一般拓扑空间,作了准备。三、上、下半连续的性质1、运算性质定理3(1)若在,函数,上、下半连续,则它们的和亦在中上、下半连续。 (2)若在上上下半连续,则-在中为下、上半连续。 (3)若在上,函数及,且上半连续(或及,且下半连续)则它们的积在上为上半连续。若上、下半连续,为下(上)半连续,则下(上)半连续。 (4)若在上,上

4、(下)半连续,则在上为下(上)半连续。这里只对(1)中上半连续的情况进行证明,证法1 (利用半连续的定义)因,上半连续,当时有 所以 故 在上上半连续。证法2 (利用上半连续的等价描述)因,在中上半连续,有(定理1)但 故在中上半连续。2、保号性 上半连续函数有局部保负性(即:若在处上半连续,则,使得时有)。同样,下半连续函数有局部保正性,这些由定义直接可得。3、无介值性 半连续函数,介值定理不成立。例如: 在上是上半连续的,但,无使得=。4、关于的界定理4 有界闭区间上的上半连续函数,必有上界,且达到上确界,具体来说,若在上上半连续,则(1)在上有上界(使)。(2)在上达到上确界(即使得)证

5、明 先证明(1)(反证法)若无界,则,使得由致密性原理,在中存在收敛的子序列,使(当)。因为闭的,故,但,当时,所以 。但在上上半连续,应有,故=+矛盾。下证(2)因上有界,若在上达不到上确界,则所以在上上半连续(定理3),从而有上界,即使有 即: 这与矛盾。 证法2 利用有限覆盖定理进行证明。 思考题:对于下半连续相应的定理如何叙述?若把闭区间改为任意的闭集合,结论是否正确。 事实上,上面的定理4可做如下推广。定理:假定为紧集,是上半连续的,则在上必有最大值。证明:因是上半连续的实值函数故,必在的某一邻域内有上界,故,必在的某一邻域内有上确界,设在的邻域内的上确界为构造邻域簇 ,显然 而由条

6、件为紧集,故存在自然数使得: 用分别表示在中的上确界,其中令 显然必为在上的最大值。定理5 若函数在内半连续,则必存在内闭区间,使在上保持有界。证:以下半连续为例进行证明。设在内下半连续,来证使得在上有界,用反证法,设,总在上无上界,于是:1、使得,因下半连续,故(不妨令),使得且有2、因在任何内闭区间上无上界,所以对,使得进而由的下半连续性,知(不妨令)使得时,有。3、如此继续下去,我们得到一串闭区间:,区间长(当时)且在每个区间上,恒有。 4、根据区间套定理。因此,矛盾。我们已经知道,连续函数单调序列的极限不一定是连续的。例如在上连续,当增加时单调下降有极限但极限函数在上不连续。定理6(保

7、半连续性)设函数在上有定义,且上半连续,即: 且。则在上上半连续。证明(我们的任务在于证明:,当时有)1、,因,所以,当时有2 、 将固定,因在上上半连续,所以,当时有。3、 又 ,故更有 这就证明了在上上半连续。下面,我们提出相反的问题:是否半连续函数一定可以作为连续函数的单调极限呢?回答是肯定的。定理7 设在上有定义,且上半连续,则存在一个递减的连续函数序列 使得 (即:上半连续函数,总可用连续函数从上方逼近)证明首先构造函数序列,然后证明连续,有下界,从而,然后证明。 1、 构造()对于固定的与,函数是的连续函数,所以上半连续,已知是上半连续的,是的上半连续函数(定理3),从而在上有上界

8、,且达到上确界(定理4),即使得 (1)(注意实际与有关,)今定义 (2)下面证明满足各项要求。2 (证明连续)由(1)、(2)式知 (3)从而所以 此式对任意的都成立,互换也成立,因而得 此式表明在上连续。3、(证明)设,则 (由式3) (因) 所以。4、(序列有下界)对任一固定的,在(3)式中令,可知(对一切成立),故,有下界。5、由3、4知;存在且。6、(证明)因上半连续,当,时有 (4)又因为上半连续,所以在上上有界,因此对固定的,当时有。这是因为若不收敛于,则的邻域,使得在此邻域之外(这里是的某一子序列)。但在上有上界,即:,使得(当时),因此 这与(当时矛盾 。由此可知,当时,于是由(4)式 但 从而更有 令取极限,得由的任意性,知再由5的结论可得。

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