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1、 一元一次方程提高试题讲练一 分类讨论例1 a取什么值时，方程a(a2)x=4(a2)有唯一的解？无解？有无数多解？是正数解？解：当a0且a2 时，方程有唯一的解，x=当a=0时，原方程就是0x= 8，无解；当a=2时，原方程就是0x=0有无数多解由可知当a0且a2时，方程的解是x=,只要a与4同号，即当a0且a2时，方程的解是正数。例2 k取什么整数值时，方程k(x+1)=k2（x2）的解是整数？（1x）k=6的解是负整数？解：化为最简方程（k2）x=4当k+2能整除4，即k+2=1，2，4时，方程的解是整数k=1，3，0，4，2，6时方程的解是整数。化为最简方程kx=k6，当k0时x=1，
2、只要k能整除6,即 k=1，2，3，6时，x就是整数当k=1,2,3时，方程的解是负整数5，2，1。例3 己知方程a(x2)=b(x+1)2a无解。问a和b应满足什么关系？解：原方程化为最简方程：(ab)x=b方程无解，ab=0且b0a和b应满足的关系是a=b0。例4a、b取什么值时，方程（3x2）a+（2x3）b=8x7有无数多解？解：原方程化为最简方程：（3a+2b8）x=2a+3b7，根据0x0时，方程有无数多解，可知当时，原方程有无数多解。解这个方程组得答当a=2且b=1时，原方程有无数多解。例5 解关于x的方程(mx-n)(m+n)=0解 把原方程化为m2x+mnx-mn-n2=0，
3、整理得 m(m+n)x=n(m+n)当m+n0，且m=0时，方程无解；当m+n=0时，方程的解为一切实数说明 含有字母系数的方程，一定要注意字母的取值范围解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论例6解方程(a+x-b)(a-b-x)=(a2-x)(b2+x)-a2b2解 将原方程整理化简得(a-b)2-x2=a2b2+a2x-b2x-x2-a2b2， 即 (a2-b2)x=(a-b)2(1)当a2-b20时，即ab时，方程有唯一解(2)当a2-b2=0时，即a=b或a=-b时，若a-b0，即ab，即a=-b时，方程无解；若a-b=0，即a=b，方程有无数多个解例7 已
4、知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，求代数式199(m+x)(x-2m)+m的值解 因为(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，所以m2-1=0，即m=1(1)当m=1时，方程变为-2x+8=0，因此x=4，代数式的值为199(1+4)(4-21)+1=1991；(2)当m=-1时，原方程无解所以所求代数式的值为1991例8已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，试求a的值解 将原方程变形为2ax-a=3x-2，即 (2a-3)x=a-2由已知该方程无解，所以例9 k为何正数时，方程k2x-k2=2kx-5k的解是正数？解 按未知数x整理
5、方程得(k2-2k)x=k2-5k要使方程的解为正数，需要(k2-2k)(k2-5k)0看不等式的左端(k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5)因为k20，所以只要k5或k2时上式大于零，所以当k2或k5时，原方程的解是正数，所以k5或0k2即为所求例10若abc=1，解方程解 因为abc=1，所以原方程可变形为化简整理为化简整理为说明 像这种带有附加条件的方程，求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化例11 若a，b，c是正数，解方程解法1 原方程两边乘以abc，得到方程ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc移项、合并同类项得abx-(a+
6、b+c)+bcx-(a+b+c)+acx-(a+b+c)=0，因此有x-(a+b+c)(ab+bc+ac)=0因为a0，b0，c0，所以ab+bc+ac0，所以x-(a+b+c)=0，即x=a+b+c为原方程的解解法2 将原方程右边的3移到左边变为-3，再拆为三个“-1”，并注意到其余两项做类似处理设m=a+b+c，则原方程变形为所以即x-(a+b+c)=0所以x=a+b+c为原方程的解说明 注意观察，巧妙变形，是产生简单优美解法所不可缺少的基本功之一例12 设n为自然数，x表示不超过x的最大整数，解方程：分析 要解此方程，必须先去掉 ，由于n是自然数，所以n与(n+1) ，nx都是整数，所以
7、x必是整数解 根据分析，x必为整数，即x=x，所以原方程化为合并同类项得故有所以x=n(n+1)为原方程的解例13 已知关于x的方程且a为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a的最小值解 由原方程可解得a最小，所以x应取x=160所以所以满足题设的自然数a的最小值为2练 习1. 关于x的方程ax=x+2无解，那么a_2. 在方程a(a3)x=a中，当a取值为时，有唯一的解；当a时无解；当a时,有无数多解；当a时,解是负数。3. k取什么整数值时，下列等式中的x是整数？ x= x= x= x=4. k取什么值时，方程xk=6x的解是 正数？ 是非负数？5. m取什么值时，方程3（m+x）=
8、2m1的解 是零？ 是正数？6. 己知方程的根是正数，那么a、b应满足什么关系？7. m取什么整数值时，方程的解是整数?8. 己知方程有无数多解，求a、b的值。练习参考答案1. 139无解无解无数多个解2. a=1 3. a3,a0；a=3；a=0；a3且a04.k=1,2,42，0，3，1，4，2，7，51，34，5，02（）5.k0 8. 化为最简方程mx=m+3, 当m=1,3时，有整数解9.化为最简方程(3ab)x=b+2 当时方程无解，解得几种类型的一元一次方程的解法 例1.（2001年湖南常德中考题）已知，则（ ）.（A）1 （B） （C）1或 （D）无解例2.（1996年“希望杯
9、”赛题）若则（ ）. （A）0或2 （B） （C） （D）0 例3.（2001年重庆市竞赛题）若.则等于（ ）. （A）20或21 （B）20或21 （C）19或21 （D）19或21练 习1.（1997年四川省初中数学竞赛题）方程的根是_.2.（2000年山东省初中数学竞赛题）已知关于的方程的解满足，则的值是（ ）.（A）10或 （B）10或（C）10或 （D）10或3.（2000年重庆市初中数学竞赛题）方程的解是_.例4.（“迎春杯”竞赛题）解方程练 习1.（2000年“希望杯”竞赛题）若，则等于（ ）.（A）2007 （B）2007 （C）1989 （D）19892.（“江汉杯”竞赛题）方程共有（ ）个解.（A）4 （B）3 （C）2 （D）1例5.（第11届“希望杯”竞赛题）适合的整数的值的个数有（ ）.（A）5 （B）4 （C）3 （D）2例6.（1999年武汉市竞赛题）若则使成立的的取值范围是_.练 习1.（1998年“希望杯”竞赛题）适合关系式的整数的值是（ ）.（A）0 （B）1 （C）2 （D）大于2的自然数2.（“祖冲之杯”竞赛题）方程成立的未知数的取值范围是_.例7.解下列关于的方程： .例8.解关于的方程：.练 习解关于的方程.
七年级数学上册一元一次方程提高试题讲练人教新课标版
