数学一例精彩千解下

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1、深入研究教材，灵活使用教材，创造性地开发教材一部用黄老哲学研究解题的数学书一部视解题如游戏的数学书哲学的视野与数学的神韵数学一例 精彩千解 （下） 孟祥礼 著哲学是望远镜，数学是显微镜例题、出处及对待课本上的例题的正确态度例题：过点作直线与轴的正半轴、的正半轴分别交于两点，当的面积最小时，求直线的方程.出处：本题是普通高中课程标准教科书苏教版数学必修5第三章“不等式”第100页的例3.对待课本上的例题的态度：很多同学总觉得数学课本太简单，不重视课本上的例题的钻研。笔者认为这是不恰当的。重点都在课本里，这一点对于任何科目的学习都有指导作用。“道生一，一生二，二生三，三生万物。”（老子：道德经）数

2、学课本就隐藏了数学之“道”，将课本上的例题反复钻研，换着法子演练，看穿例题的结构; 解题不在于多，而在于精，在于思考了多少（当然，大量的、自觉的、有反思的解题是有效的）.“得道之本，握少以知多，得事之要，操正以正畸。”“故能至素至精，浩弥无形，然后可以为天下正。”（黄帝四经）本书给出了该例题的2000余种解法，这些解法将一些常见的知识、方法和技巧巧妙地排列组合，美轮美奂，真实体现数学解题的奇趣.解法探究题记-图难于其易也，为大于其细也；天下之难作于易，天下之大作于细.（老子：道德经）解法系列8 从直线的参数方程入手解法1：设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为 在中，令，得 .将代入，得，即 在

3、中，令，得 将代入，得 即. 由二元算术几何均值不等式，得当且仅当，即，也即时，取“”.因此，当的面积最小时，直线的方程为，即 解法2：同解法1，.由二元算术几何均值不等式，得当且仅当即，也即时，取“”.（余略）解法3：同解法1，得 ，.由柯西(Cauchy)不等式，得当且仅当，即，也即时，取“”.（余略）解法4：同解法1，得，.由二元几何-调和均值不等式，得 当且仅当，即，也即时，取“”.，当且仅当时，取“”.当且仅当时，取“”.（余略）解法5：同解法1，得 ，.即 由二元算术几何均值不等式，得当且仅当，即，也即时，取“”.（余略）解法6：同解法1，得 ，.即 由二元算术几何均值不等式，得当

4、且仅当，即，也即时，取“”.（余略）解法7：同解法1，得，.即 ，.由二元算术几何均值不等式，得当且仅当，即，也即时，取“”.（余略）解法8：同解法1，得，.即 ，.由二元算术几何均值不等式，得当且仅当即，也即时，取“”.（余略）解法9：同解法1，得 ，.即 ，.由柯西(Cauchy)不等式，得 当且仅当，即，也即时，取“”.（余略）解法10：同解法1，得 ，.即 ，.由二元几何-调和均值不等式，得 当且仅当，即，也即时，取“”.，当且仅当时，取“”.当且仅当时，取“”.（余略）解法提示：若令，则容易得到.利用解法系列1的方法，可得解法11-解法130.注：本解法系列供参加数学竞赛或重点大学自

5、主招生的同学参考.解法系列9 从直线的极坐标方程入手 解法提示：如图9-1，以原点为极点、轴为极轴建立极坐标系，则 图9-1设直线的倾斜角，则由正弦定理可得直线的极坐标方程为 ，其中，为直线上任一点的极角. 令，得 即 令，得即 若令，则容易得到.利用解法系列1的方法，可得解法1-解法120.注：本解法系列供参加数学竞赛或重点大学自主招生的同学参考.解法系列10 从直线的法线式方程入手 解法1：如图10-1，设直线的法线的辐角为，则直线的法线式方程为，其中，是原点到直线的距离. 直线过点， ， . 直线的法线式方程为 图10-1 令，得，即 令，得 ，即 由二元算术几何均值不等式，得当且仅当，

6、即时，取“”.因此，当的面积最小时，直线的方程为，即 解法2：同解法1，得，由二元算术几何均值不等式，得当且仅当即时，取“”.（余略）解法3：同解法1，得，由二元算术几何均值不等式，得当且仅当，即时，取“”.（余略） 解法4：同解法1，得，由二元算术几何均值不等式，得当且仅当，即时，取“”.（余略） 解法5：同解法1，得，由基本不等式，得当且仅当，即时，取“”.（余略） 解法6：同解法1，得，由柯西(Cauchy)不等式，得当且仅当，即时，取“”.（余略） 解法7：同解法1，得，由二元几何-调和均值不等式，得 当且仅当，即时，取“”.当且仅当时，取“”.当且仅当时，取“”.（余略） 解法8：同

7、解法1，得，由二元算术几何均值不等式，得当且仅当，即时，取“”.解法9：同解法2，得，由二元算术几何均值不等式，得 当且仅当，即时，取“”.（余略）解法10：同解法1，得，由柯西(Cauchy)不等式，得当且仅当，即时，取“”. （余略）解法11：同解法1，得，由二元几何-调和均值不等式，得 当且仅当，即时，取“”.当且仅当时，取“”.当且仅当时，取“”.（余略） 解法提示：若令，则容易得到利用解法系列1的方法，可得解法12-解法131.注：本解法系列供参加数学竞赛或重点大学自主招生的同学参考. 解法系列11 从三角函数的定义入手 解法1：如图11-2，过点分别作轴、轴的垂线、，垂足分别为、，

8、连接，则， 图11-1 ， 由二元算术几何均值不等式，得 当且仅当，即时，取“”.因此，当的面积最小时，直线的方程为，即 解法2： 同解法1，得 由二元算术几何均值不等式，得当且仅当即时，取“”.（余略）解法3：同解法1，得 由二元算术几何均值不等式，得当且仅当，即时，取“”.（余略）解法4：同解法1，得 由二元算术几何均值不等式，得当且仅当，即时，取“”.（余略）解法5：同解法1，得 由基本不等式，得当且仅当，即时，取“”.（余略）解法6：同解法1，得 由柯西(Cauchy)不等式，得当且仅当，即时，取“”.（余略）解法7：同解法1，得 由二元几何-调和均值不等式，得 当且仅当，即时，取“”

9、. 当且仅当时，取“”.当且仅当时，取“”.（余略）解法8：同解法1，得 ， 即 由二元算术几何均值不等式，得当且仅当，即时，取“”.（余略）解法9：同解法8，得 由二元算术几何均值不等式，得当且仅当即时，取“”.（余略）解法10：同解法8，得 由柯西(Cauchy)不等式，得当且仅当，即时，取“”.（余略）解法11：同解法8，得 由几何-调和均值不等式，得 当且仅当，即时，取“”. 当且仅当时，取“”.当且仅当时，取“”.（余略）解法提示：若令，则容易得到利用解法系列1的方法，可得解法12-解法131.解法系列12 从三点共线（向量方法）入手解法1：如图12-1，设点的坐标分别为，则 ，共线

10、，且点在线段的内部， 即 ， 图12-1 由二元算术几何均值不等式，得 当且仅当，即，也即时，取“”.因此，当的面积最小时，直线的方程为，即解法2：同解法1，得 由二元算术几何均值不等式，得 当且仅当，即时，取“”.（余略）解法3：同解法1，得 由二元几何-调和均值不等式，得 当且仅当，即时，取“”., 当且仅当时，取“”.当且仅当时，取“”.（余略）解法4：同解法1，得 由二元算术几何均值不等式，得 当且仅当时，取“”. 当且仅当时，取“”.当且仅当，即时，取“”.（余略）解法5：同解法1，得 令 ，得 当且仅当 即时，取“”. 当且仅当时，取“”. 当且仅当，即时，取“”.（余略）解法6：

11、同解法1，得 构造关于的一元二次方程 是此方程的二实根，由， 得，当且仅当时，取“”. 当且仅当，即时，取“”.（余略）解法7：同解法1，得 构造关于的一元二次方程 是此方程的一个实根， 由 ， 得 ，当且仅当时，取“”. 当且仅当，即时，取“”.（余略）解法8：同解法1，得 构造关于的一元二次方程 是此方程的一个实根， 由 ，得，当且仅当时，取“”. 当且仅当，即时，取“”.（余略）解法9：同解法1，得 令 得当且仅当，即时，取“”.当且仅当，即时，取“”.（余略）解法提示：由，得利用解法系列1的方法，可得解法10-解法129.解法系列13 从向量共线入手 解法提示：如图13-1，设，则 与

12、共线， 图13-1 利用解法系列1的方法，可得解法1-解法120.注：类似地，也可由与共线或与共线解题.解法系列14 从定比分点坐标公式入手 解法1：如图14-1，设，点分有向线段所成的比为，则 图14-1 .由二元算术几何均值不等式，得当且仅当，即，也即时，取“”. （余略）解法2：同解法1，得.由二元算术几何均值不等式，得 当且仅当即，也即时，取“”.（余略）解法3：同解法1，得.由二元算术几何均值不等式，得 当且仅当即，也即时，取“”.（余略）解法4：同解法1，得 .由二元算术几何均值不等式，得 当且仅当即，也即时，取“”. （余略）解法5：同解法1，得 .由柯西(Cauchy)不等式，

13、得 当且仅当，即，也即时，取“”. （余略）解法6：同解法1，得 .由二元几何-调和均值不等式，得 当且仅当 也即时，取“”. ，当且仅当时，取“”.当且仅当时，取“”.（余略）解法7：同解法1，得 .是正实数， 由及，得，当且仅当,即时，取“ ”. （余略）解法8：同解法1，得 . 令，得 当时，；当时，因此，在区间上单调递减，在区间上单调递增，当，即时，有最小值2. （余略）解法提示：由，容易得到利用解法系列1的方法，可得解法9-解法128.注：本解法系列供参加数学竞赛或重点大学自主招生的同学参考.解法系列15 从正弦定理入手（1）解法1：如图15-1，连接，则 设.在中，由正弦定理，得

14、图15-1即 ， 在中，同理可得： 当且仅当，即，也即时，取“”.因此，当的面积最小时，直线的方程为，即解法2：同解法1，得 ， 由二元算术几何均值不等式，得 当且仅当即，也即时，取“”.（余略）解法3：同解法1，得 ， 由二元算术几何均值不等式，得 当且仅当，即，也即时，取“”.（余略）解法4：同解法1，得 ， 由二元算术几何均值不等式，得 当且仅当，即，也即时，取“”.（余略）解法5：同解法1，得 ， 由基本不等式，得 当且仅当，即，也即时，取“”.（余略）解法6：同解法1，得 ， 由柯西(Cauchy)不等式，得 当且仅当，即，也即时，取“”.（余略）解法7：同解法1，得 ， 由二元几何

15、-调和均值不等式，得 当且仅当，即，也即时，取“”.，当且仅当时，取“”.当且仅当时，取“”.（余略）解法8：同解法1，得 ， ， 由二元算术几何均值不等式，得 当且仅当，即，也即时，取“”.（余略）解法9：同解法8，得 ， 由二元算术几何均值不等式，得 当且仅当即，也即时，取“”.（余略）解法10：同解法8，得 ， 由柯西(Cauchy)不等式，得 当且仅当，即，也即时，取“”.（余略）解法11：同解法8，得 ， 由二元几何-调和均值不等式，得 当且仅当，即，也即时，取“”.当且仅当时，取“”.当且仅当时，取“”.（余略）解法12：同解法1，得 , 由二元算术几何均值不等式，得 当且仅当，即

16、，也即时，取“”.（余略）解法13：同解法1，得 , 由二元算术几何均值不等式，得 当且仅当，即，也即时，取“”.（余略） 解法提示：若令，则容易得到利用解法系列1的方法，可得解法14-解法133.注：在中，由，也可得.解法系列16 从正弦定理入手（2）解法提示 ：如图16-1，连接，连接，则 设. 在中，由正弦定理，得 图16-1即 ， 在中，同理可得：若令，则容易得到利用解法系列1的方法，可得解法1-解法120.解法系列17 从正弦定理入手（3）解法提示：如图17-1，连接，连接，则设，则.在中，由正弦定理，得 即 , 在中，同理可得： 图17-1 若令,则容易得到利用解法系列1的方法，可

17、得解法1-解法120.解法系列18 从三角形的相似关系入手解法提示：如图18-1，过点分别作轴、轴的垂线、，垂足分别为、，则. 设，,则 . 由，得 图18-1即 ,利用解法系列1的方法，可得解法1-解法120.注：类似地，利用或也可解题.解法系列19 从割补法、等积法入手（1） 解法提示：如图19-1，连接 设点的坐标分别为， ，则 由，得 图19-1 利用解法系列1的方法，可得解法1-解法120.解法系列20 从割补法、等积法入手（2） 解法提示： 如图20-1，过点分别作轴、轴的垂线、，垂足分别为、，连接，则 设，则 由 ，得 ， 图20-1 利用解法系列1的方法，可得解法1-解法120.38以哲人的眼光看教育，以哲人的眼光看数学。