复变函数第3讲x

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1、1 复变函数的主要研究对象是解析函数复变函数的主要研究对象是解析函数. .因为，一因为，一方面它具有比较良好的性质，如能展成幂级数，具方面它具有比较良好的性质，如能展成幂级数，具有任意阶导数，实、虚部皆为调和函数；另一方面有任意阶导数，实、虚部皆为调和函数；另一方面这也是实际问题中应用较为广泛的一类函数，如平这也是实际问题中应用较为广泛的一类函数，如平面无旋流体的流函数与势函数，静电场中的电通量面无旋流体的流函数与势函数，静电场中的电通量和电位，它们皆与解析函数有密切联系和电位，它们皆与解析函数有密切联系. .第二章第二章 解析函数解析函数2 第二章第二章 解析函数解析函数3 1、导数定义、导

2、数定义定义定义 设函数设函数w=f (z) zD, 且且z0、 z0 +zD，如果极限如果极限 存在，则称函数存在，则称函数f (z)在点在点z0处可导。处可导。称此极限值为称此极限值为f (z)在在z0的导数，的导数，记作记作zzfzzfz)()(lim000 .)()(lim)( 00000zzfzzfdzdwzfzzz 如果如果w=f(z)在区域在区域D内处处可导，则称内处处可导，则称f (z)在区域在区域D内可导内可导.4 也就是说也就是说, , 对于任给的对于任给的e e0, 存在存在d d(e e)0, 使当使当0| z|0, 相应地有一个相应地有一个d d0, 使当使当0| z|

3、d d 时时, , 有有.0)(lim),()()()(,)()()(0000000 zzfzzfzzfzzfzzfzzfze则则令令7.)(),()(lim0000连连续续在在即即所所以以zzfzfzzfz 连续不一定可导，请举出反例说明连续不一定可导，请举出反例说明. .Re)(:可可导导在在平平面面上上的的任任何何点点都都不不证证明明zzf 例例1zzzzzf )Re()Re(:证证明明.yixxyixxxx .lim0不不存存在在zfz 8思考思考的连续性如何？的连续性如何？zzfRe)( 例例2 问：函数问：函数f (z)=x+2yi是否可导？是否可导？ yixyixiyyxxzzf

4、zzfzz)2()(2lim)()(lim00解解.2)(处处处处不不可可导导故故函函数数yixzf 注：一个复变函数的可导性要求条件比较高！注：一个复变函数的可导性要求条件比较高！9由于复函数与实函数的导数定义和极限运算法则在由于复函数与实函数的导数定义和极限运算法则在形式上完全一致，因而二者具有相同的求导法则：形式上完全一致，因而二者具有相同的求导法则：).0)()()(; )()(; )()(2 zgggfgfgfiiigfgfgfiigfgfi;)()2(, 0)1(1 nnnzzcc为常数；为常数；其中其中都可导，则都可导，则、若若)()()3(zgzf10（5）反函数的导数）反函数

5、的导数 ，其中，其中 w=f (z)与与z= (w)互为单值的反函数，且互为单值的反函数，且(w) 0.)( 1)( wzf 这样，我们知道多项式处处可导这样，我们知道多项式处处可导. .例如，例如，).( )( )()()()4(zhzhfdztdtdddzdzhfzhttf 可可导导，且且可可导导，则则、若若. 1412)623(324 zzzzz另外，有理分式在分母不为零的点处可导另外，有理分式在分母不为零的点处可导. .11.)(12)( 1, 0,1)(222zzzzfzzzzf 时时，则则当当?)(,;),()(,22的的可可导导性性复复函函数数中中内内可可导导在在实实函函数数中中

6、zzfxxf 思考题思考题提示：提示：.0)(2处处处处连连续续处处可可导导，仅仅在在函函数数 zzzf例如例如12,2zzz 注注意意到到事实上事实上.0)(2处处可可导导仅仅在在 zzzfzzzzzzzzzfzzfzf000000)( )()()( .)(000000zzzzzzzzzzzz ;0)0( ,0lim000 fzfzz即即时时，当当.lim000不不存存在在时时，当当zfzz 134 4、 微分微分 设函数设函数w=f(z)在在z0可导可导, , 则有则有 w=f(z0+ z) f(z0)=f (z0) z+ ( z) z,.0)(lim0 zz其其中中 因此因此, | (

7、z) z|是是| z|的高阶无穷小量的高阶无穷小量. 而而f (z0) z是是 w=f(z) 的改变量的改变量 w的线性部分的线性部分, 称为函数称为函数 w=f(z) 在点在点 z0 的的微分微分, 记作记作dw=f (z0) z.如果函数在如果函数在z0的微分存在的微分存在, 则称则称函数函数 f(z) 在在z0可微可微.)(可可导导与与可可微微是是等等价价的的在在点点由由此此可可见见，zzf14不解析的点称为不解析的点称为奇点奇点.注：（注：（1 1）可导与解析是两个完全不同的概念，解析）可导与解析是两个完全不同的概念，解析一定可导，但可导未必解析一定可导，但可导未必解析. .不解析的点

8、可能可导，不解析的点可能可导，即解析的条件比可导要强，但我们却有以下结论：即解析的条件比可导要强，但我们却有以下结论： 定理定理 若函数在区域若函数在区域D D内可导，则在内可导，则在D D内一定解析内一定解析. .即在区域上，可导与解析是等价的即在区域上，可导与解析是等价的. .（为什么？）（为什么？）.)()(000点点解解析析在在邻邻域域内内处处处处可可导导，则则称称的的某某个个小小点点可可导导，而而且且在在不不仅仅在在定定义义：若若zzfzzzf1500(2)( )由由以以上上结结论论，若若在在点点解解析析，则则定定在在的的某某个个小小邻邻域域内内处处处处解解析析。f zzz即不可能存

9、在离散的、孤立的解析点即不可能存在离散的、孤立的解析点.另外，由求导法则，不难看出：另外，由求导法则，不难看出： 解析函数的和、差、积、商仍为解析函数，解析函数的和、差、积、商仍为解析函数， 解析函数的复合函数仍为解析函数解析函数的复合函数仍为解析函数. .于是于是zzf1)( 外外解解析析。外外可可导导，因因而而除除除除00zz.1)( 2zzf 并且并且处处处处解解析析。多多项项式式0111)(azazazazfnnnn 16 本节内容：介绍一种判别函数可导性、解析性的本节内容：介绍一种判别函数可导性、解析性的非常有效的方法；建立函数的可导性与其实、虚部非常有效的方法；建立函数的可导性与其

10、实、虚部之间的关系之间的关系. .；的的连连续续性性关关系系非非常常密密切切和和与与的的连连续续性性知知道道通通过过前前面面的的学学习习，我我们们vuviuzf )(处处不解析！处处不解析！但但可微，可微，尽管尽管设设)(2,2)(zfyvxuyixzf 怎怎样样的的关关系系？的的偏偏导导数数之之间间具具有有、的的可可导导性性与与的的问问题题：于于是是，就就自自然然提提出出这这样样vuviuzf )(17 本节从函数本节从函数 u (x , y) 及及 v (x , y) 的可导性，探求的可导性，探求函数函数w=f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的的可导性，从而给出判别函数解析的一个充

11、分必要条件，并给出解析函数的求导方法一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法.关于这个问题，我们有下面关于这个问题，我们有下面非常重要的结论：非常重要的结论：.,yuxvyvxu 定理定理1 函数函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在点在点 可导的充要条件是可导的充要条件是 u(x, y) 和和 v(x, y)在在 可微，且在该点满足可微，且在该点满足Cauchy-Riemann方程方程000yixz ),(00yx18 定理的详细证明请参见课本第定理的详细证明请参见课本第1919页；下面我页；下面我们讨论们讨论几个注意的问题几个注意的问题. .11有有效效的的方方法法一一种种非

12、非常常提提供供了了判判别别函函数数可可导导的的）定定理理注注（使用时使用时: i) 判别判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性；偏导数的连续性； ii) 验证验证C-R条件条件.xyyyyxxxivviuviuuivuzfviuzf )( )(2可可导导的的情情况况下下，有有）在在注注（ 由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系联系. .当一个函数可导时当一个函数可导时, ,仅由其实部或虚部就可以仅由其实部或虚部就可以求出导数来求出导数来. .19注（注（3 3）利用该定理可以判断那些函数是不可导的）利用该定理可以判断那些函数是不可导

13、的. .处处处处不不可可导导！例例如如，我我们们容容易易知知道道zzf )(,)( )( ,)( )( ),(),()()(4yyxxviuiiyxfzfviuiyxfzfyxviyxuyixfzfRiemannCauchy 可可导导，有有若若方方程程的的记记忆忆问问题题。）关关于于注注（.,yuxvyvxuyuiyvxvixu 20条条件件：域域内内可可导导因因而而解解析析的的点点换换为为区区域域，则则得得到到区区将将0z定理定理2 函数函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在在D内解析充要内解析充要 条件是条件是 u(x, y) 和和 v(x, y)在在D内可微，且内可微，且 满

14、足满足Cauchy-Riemann方程方程.,yuxvyvxu 注：如何验证一个实函数的可微性？注：如何验证一个实函数的可微性？ 由高数中定理，只要它具有连续的一阶偏导数由高数中定理，只要它具有连续的一阶偏导数即可即可. 另外注意，初等函数的性质另外注意，初等函数的性质.21下面下面, ,我们讨论几个题目我们讨论几个题目. . ；)sin(cos)()1(yiyezfx 例例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：判定下列函数在何处可导，在何处解析：，解解：yevyeuxxsin,cos)1( 在在全全平平面面可可导导，解解析析。故故)sin(cos)(cos,sinsin,cosyiyezf

15、yuxvyvxuyeyvyexvyeyuyexuxxxxx ).(sincos)( zfyieyexvixuzfxx 22 . iyxyxzf22332)()2( 可可微微，和和，解解：vuyxvyxu22332,)2( 处处处处不不解解析析。处处可可导导，和和仅仅在在条条件件知知道道故故由由)43,43()0 , 0()(,4,4,3,32222zfyxyvxyxvyyuxxuR-C .0)arctan()ln()(222的的值值解解析析，求求时时在在设设例例axyxiyxazf 23.)( ,),(),()(42的的值值求求解解析析，且且设设例例zfvuyxivyxuzf .0)( zf根

16、根据据解解析析的的条条件件，得得到到提提示示：例例3 3.()(, 0, 01)( 2121常常数数）CiCCzfCvCuvuvuvuiivuzfyyxxyyxx 证明证明.,)(,0)( DzCzfDzzf 则则若若241、导数导数的概念，复变函数求导法则的概念，复变函数求导法则.2、解析解析的概念，的概念，解析与可导的关系解析与可导的关系.3、判别复变函数解析性的有效方法：、判别复变函数解析性的有效方法： 柯西柯西黎曼定理黎曼定理.f(z)在区域在区域D内可导内可导f(z)在区域在区域D内解析内解析 f(z)在在z0点解析点解析 f(z)在在z0点可导点可导 f(z)在在z0点连续点连续 251. 判别真、假：判别真、假：?)(,)()(. 22222在复平面内处处解析在复平面内处处解析取何值时取何值时问常数问常数若若zfdcbaydxycxibyaxyxzf ;)()( )1(00解解析析在在存存在在，则则若若zzfzf;)()()2(00处处不不可可导导在在的的奇奇点点，则则为为若若zzfzfz的的奇奇点点；，也也是是的的奇奇点点，则则和和为为若若)()()()()()()3(00zgzfzgzfzzgzfz