石油衍生品的定价模型——跳扩散过程

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1、第4组 金融、银行 字数：9658石油衍生品的定价模型作者：姚慧，女，1978年11月，复旦大学，博士研究生跳扩散过程姚慧1 （1.复旦大学 博士研究生）【摘要】石油作为世界能源储备中最重要的一族，它的价格波动及随之而来的风险管理一直广受瞩目。因此在模型基础上定价石油期货以及其它石油衍生产品有助于在石油市场风险加剧的今天更有效的进行石油风险管理。本文根据石油特有的供求关系建立了石油现货价格的两类跳扩散连续时间模型，并在此基础上定价了石油期货、远期、石油期货的欧式期权、上限期权、下限期权、双限期权和一类考虑两个期货合约价差的奇异期权。关键词 石油 衍生品定价中图分类号： F2 文献标识码：AOi

2、l Derivative Pricing-Based on Jump Diffusion ModelAbstract：In this paper, we are aimed at studying derivative pricing based on jump diffusion models for crude oil, which is suitable for oils special conditions of demanding and supplying. We price futures, European options on futures and some one kin

3、d of exotic options using risk neutral pricing methods. Crude oil is one of the most important world energy products, therefore its turbulent behavior in price and consequent risk management attract world wide focus. Our motivation for pricing oil derivatives basing on models is to help risk managem

4、ent for crude oil more efficiently, especially now more risk and challenge in world oil market.Key words： crude oil , pricing models for crude oil derivatives石油衍生品的定价模型跳扩散模型石油工业是我国国民经济支柱产业之一。作为上游产业，石油工业为下游产业提供原材料保证，石油工业的健康发展直接影响到一系列下游产业的发展随着我国国经济的快速发展，我国已经成为石油的消费大国。虽然我国原油年产量已经达到了1.7亿吨，居世界第5位，但还远远无法满

5、足国内需求。自1993年开始，我国已经成为石油净进口国，每年要从国外进口大量原油和成品油。2004年我国进口原油1.2亿吨、成品油3786万吨，同比分别增长34.8%和34.1%。从2003年5月起，我国石油消费量已经超过日本，日均石油消费量达546万桶，成为仅次于美国的世界第二大石油消费国。我国对石油的进口依存度已经超过40%，相对于巨大的国内需求，我国已经重新进入“贫油国”的行列，对国际石油市场的依赖性越来越强，而且这种趋势肯定将在21世纪内一直延续下去。而在世界石油市场上，自1997年之后又出现了金融危机与能源危机双重冲击的新形势。油价由稳定多年的1518美元/桶，先急剧下跌到最低8美元

6、/桶，然后又反弹到38美元/桶，自2004年以来更是一直刷新石油价格的最高纪录，强烈的冲击波严重影响了各国的经济安全。在如此严峻的国内外形势之下，通过模型预测石油价格，并在此基础上对石油期货及其他衍生品定价，由此进行石油风险管理，已经具有越来越重要的理论及实际意义。本文的目的正是要给出石油期货及其它石油衍生品的连续时间模型的定价公式。1模型的经济基础影响原油价格的因素不胜枚举，其中最主要的是供给、需求、地缘政治、天气等因素。从下面对这些因素的简单叙述中可以看到这些因素都存在一个共同特点：跳跃。（1）供给 由于世界石油生产在地域分布上的极端不平衡，以中东产油国为主的OPEC组织在世界石油市场的供

7、应端起着非常重要的作用。每次世界石油供应总量和结构的重大变化都与OPEC组织在“限产保价”和“降价保产”政策之间的战略选择直接相关。除此之外，非OPEC产油国在油价高位时的石油增产使石油价格价格呈现一定的均值回归特性。因为非OPEC国家高成本的石油只有在价格高的条件下生产才有利可图，当供过于求时，价格将出现回落。石油供给，受资源禀赋和产能建设条件的制约，一般的生产者很难在油价上涨时快速增加产量，而沉没成本的发生使得生产者也不愿意在油价下跌时快速削减产量；更何况石油生产不是一个充分竞争的生产领域，寡头垄断的生产格局容易形成价格联盟和投机和约。（2）需求 石油消费变化同全球经济发展之间存在一定的量

8、比关系。价格水平会引起石油消费弹性系数的变化。但是到目前为止，石油仍然难以被取代，这使得消费者即使在石油价格剧烈波动时也不可能在短时间内找到替代能源或采取有效的节能措施，而一个国家经济结构的调整也是一个循序渐进的过程；在极端的情况下，消费者由于心理预期的作用，甚至会在油价居高不下时抢购囤积，而在油价下跌是反而持币观望，加剧了市场的波动。（3）其他短期因素 20世纪的战争多数是因为争夺能源尤其是石油引发的，而在1970年以后，几乎任何一次突发性的政治经济事件都会不同程度的影响到世界石油价格。例如，1990年的伊拉克入侵科威特，国际油价陡涨至30多美元，随后美国出兵将伊拉克赶出科威特，油价又回落至

9、15美元左右。2002年委内瑞拉发生工人大罢工，受其影响和美英威胁对伊拉克采取军事行动的影响，世界石油价格大幅上升。作为国际上颇具影响力的两大能源组织之一，而国际能源机构拥有大量的石油储备，能在短时期内改变市场供求格局。库存对油价的影响，从长远看，是供给和需求之间的一个缓冲，对稳定油价有积极作用。但从短期看，石油库存又会对市场油价波动起到推波助澜的作用。因为库存石油往往是在油价看涨时购进，短期内将推动油价加剧上升；油价看跌时抛出，短期内又会推动油价加剧下跌。特别是当几个国家同时购进或抛出库存石油时，石油市场将产生剧烈波动。现在，石油库存对油价的影响越来越明显，甚至在一定程度上成为油价变动的信号

10、。20世纪90年代以来国际石油市场的特征是期货市场的影响显著增强，作为一种重要的金融衍生工具，石油期货交易的迅猛发展使得石油价格短期走势可以在一定程度上摆脱石油供求关系的束缚，而呈现出其独有的价格运动规律。美元一向作为世界原油市场的权威标价和结算货币，美元对欧元的持续贬值，使得石油输出国组织的石油美元收益在国际上的实际购买力下降，只能以维持原油高价作为有效措施。欧美许多国家用石油作为取暖的燃料，因此，当气候变化异常时，取暖油需求会在短期内增加，从而带动原油和其他油品的价格走高。2石油价格模型的建立我们认为到目前为止，不同时间段的石油价格呈现出两种截然不同的变化趋势：均值回归过程和几何布朗过程。

11、Bessembinder et al.(1995)中，作者给出明显的证据证实石油价格具有均值回复的特性。从影响石油价格的最主要因素供给、需求来看，似乎也存在着均值回归的特性。但是，从2003年起石油价格屡创新高，已经突破100美元/桶大关，并且这种上涨势头仍在持续。我们对此给出的解释是：当石油需求没有超出某个阀值(取决于各产油国的最大产能)时，OPEC国家为了稳定油价会采取一定的减产或增产措施，因此，此时的油价由于受到一些突发的短期因素影响和调整的时滞影响呈现出均值回归特性；而当石油需求超出某个阀值时，由于现有产能已经充分利用，没有剩余产能可以缓解价格上涨的压力，只有当价格的上涨水平足以刺激边

12、际油田的开发时，资金才会因为有利可图而流向勘探开发领域，使新增储量增加，大量的新的区块投入生产，从而增加石油供应总量。但是根据历史经验，在矿产和能源领域的新投资一般需要3-5年时间才能正式投入生产。因此，在这一阶段，再加上恐慌心理、投机需求和其他政治经济因素的推波助澜，油价呈现一路上升的几何布朗运动的特性。因此，我们建立两个不同的模型，首先是均值回归模型： 我们引入了在风险中性测度下，强度为的泊松过程N，我们假设为正。我们还假设N独立于布朗运动Z。J被定义为当跳跃发生时的随即跳跃幅度，是独立于布朗运动和泊松运动的随机变量，我们假设它服从正态分布N(,2)。令X=lnS其中和几何布朗模型：同样的

13、，N是强度为的泊松过程，假设为正，N独立于布朗运动Z，J服从正态分布N(,2)。令X=lnS其中我们分析了同现货价格极为接近的石油期货主力合约日价格的统计性质(1997.1.24-2007.12.20)。表1统计量均值标准差偏度峰度最大值最小值价格36.7519.580.89-0.2098.1810.72对数价格3.470.520.132.114.592.37对数价格变化0.00490.023-0.27026.290.14-0.17跳跃的存在是对数价格变化中出现的高峰度以及对数价格中的正偏度的一种合理解释。虽然这并不是解释这种现象的唯一途径，但是从影响石油价格的经济背景来看，跳越确实存在。3石

14、油远期和期货的定价公式远期和期货都是在当前时间下，签订的在未来某个确定的时间，按照当前确定的价格买入或卖出一项资产的合约。合约中确定的在未来的这个时间为了得到这项资产需要支付的价格称为远期或期货价格。但是，远期和期货的不同交易形式，使得他们的理论定价公式也不相同。远期，由交易双方直接商议达成，作为标的物的资产的交割将在未来的一个指定时间发生。期货，在期货交易所进行交易，最主要的特征是逐日盯市，每天结算收益。因此，定价公式分别为：FSt,T=Et*STHSt,T=S(t)P(t,T)=Et*(e-tTrsdsST)1P(t,T)其中，F(St,T)是在T时刻到期的t时刻的期货价格，简称为F(t,

15、T)。同样的，H(St,T)是T时刻到期的t时刻的远期价格，简称为Ht,T。S(t)是t时刻的商品价格。r(t)是t时刻的瞬时利率。P(t,T)是在T时刻到期的t时的折现债券。又因为Pt,T=Et*(e-tTrsds)，由上述公式可知，当r(t)是非随即变量；或者r(t)是随机变量，但是同S(t)不相关时，远期的价格和期货的价格相等。（1）我们先考虑当现货价格是均值回归时的期货价格：X=lnSdektX=kektX+ekt-kXdt+ektdz+ektJdNdektX=ektdt+ektdz+ektJdNekTXT=ektXt+tTekudu+tTekudz(u)+j=1nekujJj就=44

16、4444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444XT=e-k(T-t)Xt+tTe-k(T-u)du+tTe-k(T-u)dz(u)+j=1ne-k(T-uj)Jj就=55555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555

17、5555555555EtXT|n ,u1,un=e-k(T-t)Xt+k1-e-kT-t+i=1ne-k(T-uj)VtXT|n ,u1,un=tTe-2k(T-u)2dt+i=1ne-2k(T-uj)2EtST|n ,u1,un=expEtXT|n ,u1,un+1/2Vt(XT|n ,u1,un)EtST|n ,u1,un=expe-kT-tXt+k1-e-kT-t+i=1ne-kT-uj+12(tTe-2kT-u2dt+i=1ne-2kT-uj2)Ft,T=EtST=n=0Qt,T,ntTtTEtST|n ,u1,un(ui)/tTudundu1dun=n=0ne-(T-t)n!tTtT

18、EtST|n ,u1,undu1dun其中Qt,T,n=(tT(u)du)ne-tTudun!期货的随机过程：dFt,T=FxdX+Ftdt+12Fxx(dX)2+(FXt-F(Xt-)dNFX=Fe-k(T-t)FXt-FX(t-)=F(expe-kT-tJ-1)因为期货价格是风险中性测度下的鞅，因此(7从期货价格的随机过程，我们可以发现，虽然在每一时刻现货价格发生跳跃的幅度服从完全相同的随机分布，但是期货价格的跳跃却出现了期限结构，跳跃幅度随着到期日的延长而递减，这似乎更符合现实中的情况，离到期日越近的期货价格的变动越频繁，当市场出现巨幅波动时，也同样是离到期日越近的期货价格的变动越明显。

19、（2）当现货价格是几何布朗时的期货价格X=lnS：Ft,T=EtST=n=0Qt,T,ntTtTEtST|n ,u1,un(ui)/tTudundu1dun=n=0ne-(T-t)n!tTtTEtST|n ,u1,undu1dun其中Qt,T,n=(tT(u)du)ne-tTudun!期货的随机过程： （8）（3）远期 我们知道，如果描述利率的随机过程同描述石油价格的随机过程存在相关性，那么我们就没有办法确定这样一个两维随机变量的分布，从而也无法进一步推导欧式期权的公式，因此，下面的所有模型中，我们都假设用来描述无风险利率随机过程的布朗运动是完全独立的。显然这一个假设也是在一定意义上符合现实情

20、况的1：1.1997年1月到2007年7月，美元一个月期的Libor利率同石油主力合约价格的相关系数为-0.1；2.从决定两者变化趋势的经济基本面来看，主要因素也是不相同的，石油价格主要由石油的供求状况决定，利率主要由货币的供求状况决定。我们对无风险利率的模型假设是最常见的Hull White模型，并且通过一定的约束条件，还可以证明这同HJM模型也是相一致的。分别表示t时刻无风险利率，T时刻的瞬时远期利率和T时刻到期的无信用风险的零息债券的价格。并且，其中为正的常数，根据初始的期限结构给定，在这里我们假设为已知。又根据和数量关系我们可以得到的另一种同HJM模型相一致的表达方式为了计算欧式期权，

21、我们需要的表达式因此，是一个满足正态分布的随机过程，其期望和方差分别为 (9)4石油期货的欧式期权定价公式石油期货作为一种非常活跃的金融产品，石油期货的期权作为风险管理的重要工具也存在非常广泛的市场。一般情况下，标的物为期货的期权到期日总是比期货到期日早几天，因此我们假设期权的到期日为。（1）现货价格为均值回归：令其中服从正态分布，均值为方差为。令再令，上式等于，同理可得，其中，。 (10)（2）现货价格为几何布朗运动：同理可得：。，其中，。 (11)（3）石油期货的上限期权(cap)，下限期权(floor)和双限期权(collar)在世界能源市场中，能源价格的cap，floor，和colla

22、r都是非常受欢迎的有助于风险控制的金融产品。在得到的欧式期权价格公式的基础上，这些金融衍生品的价格就是一系列标准的欧式期权的组合，非常容易获得。一个石油价格的上限期权限制了石油价格波动的上限，cap持有人将在事先指定的时间内支付不超过K的价格购买石油。显然，一个上限期权就是欧式看涨期权的组合 (12)在这里期货的到期日同期权的到期日是同一天，也就是说既是上述各小节中的T，也是。相反的，一个石油价格的下限期权限制了石油价格波动的下限，floor持有人可以在指定时间内以不低于K的价格卖出石油。这显然是一个欧式看跌期权的组合。一个石油价格的双限期权的就是一个上限期权的多头和一个下限期权的空头的组合。

23、看涨期权c和看跌期权p的平价公式为，根据对无风险利率的假设。 (13)5石油期货的欧式奇异期权定价模型商品市场中一个最大的特点是“奇异”期权的交易非常活跃，在石油期货市场也同样如此，在纽约商品交易所就有很多石油奇异期权品种，例如，定义在不同石油产品（WTI和Dubai油）价差上的欧式期权称为裂解价差期权(crack spread option)，定义在具有不同到期日的相同商品价差上的欧式期权称为日历套利期权(calendar spread option)。我们要定价的期权涉及到两个不同的期货合约，可能是同一种商品不同到期日，也可以是不同商品；期权可以是定义在商品价格差之上，也可以定义在商品价格

24、比率之上；在这一部分我们不需要进行任何的关于两个合约之间关系的假设，例如假设两个合约的价格差服从一定的分布，所运用的技巧是Fourier变换。下面我们就给出期权的定义。假设石油期货的欧式奇异期权满足：其中是第i种到期日为的期货合约在时的价格，为期权合约执行日，。当，时，上述公式定义了裂解价差期权(crack spread options)，在实际市场中，这种期权一般是定义在不同商品期货同一天的报价之上，即。如果，我们要考虑的期权是现货期权，那么只需要使，。当时，上述公式可以用来表示价格比率的期权。当时，上述公式是日历套利期权(calendar spread option)，一般下，。显然，我们

25、所定义的通用公式还可以用来描述很多不同的奇异期权，甚至可以不是整数或零。因为上述期权可能涉及到两个不同的不同的石油产品，而这两个不同品种的长期走势可能不同，下面的定价过程中，我们假定两者的现货价格为均值回归过程，其他的情况，例如两者的现货价格均为几何布朗运动，或者一个是几何布朗运动，另一个是均值回归过程的定价公式都可以按照相同的方法获得；并且现货价格为均值回归的情况似乎比几何布朗运动的情况更常见。其中首先，先通过Fourier变换，对进行变化定义，也可以由Fourier逆变换表示为其中z是复数。根据Lewis(2001)，Sepp(2003)的结论，对进行Fourier变换，假设（z的复部），

26、那么把上式代入，表示如下其中我们可以用Fubini定理证明积分和求期望的交换是合理的。因此令我们有 其中条件均值和方差分别为： 假设，由于R，分别服从正态分布，因此-R也服从正态分布，条件均值和方差分别为因此 其中因为和R是正态分布，因此A也是正态分布 令6参数估计用极大似然估计方法对进行参数估计，其中N是强度为的泊松过程，J服从正态分布N(,2)。结果如下表2估计值0.27523608803303-0.00610.04990.0729T统计量1.14541.882319.822-1.88603.71081.5471注：所用数据是1997年1月2日到2002年12月31日的WTI主力和约。用极

27、大似然估计方法对进行参数估计，结果如下表3估计值0338903198-0.01890.03540.0336T统计量1850216.005-1.5930287414779注：所用数据是2003年1月2日到2007年7月3日的WTI主力和约。7.总结当今世界的能源市场风起云涌，特别是在石油能源市场中，世界原油价格一路飙升，在纽约商品交易所，原油期货的报价已经突破100美元大关，很多金融机构和媒体都称低油价时代已经过去；并且影响石油价格变化的因素趋于多元化，市场波动进一步加剧；各国的石油外交政策层出不穷；几乎每一天，我们都会在各种媒体获得与石油相关的信息。因此，本文对石油和一些非常常见的石油衍生品价

28、格进行比较系统的建模、定价，确是具有现实意义的。原油期货、欧式期权和一些简单的石油衍生品都是石油风险管理的有效金融工具。在建立了具有直观经济含义的石油现货价格的随机模型之后，我们通过风险中性的方法定价了一系列有助于石油风险控制的简单石油衍生品期货、标准欧式期权、cap、floor和以两个不同期货合约价格的差异为标的物的欧式期权。当石油现货价格存在均值回归特性时，期货价格的跳跃出现期限结构，跳跃幅度随着到期日的临近而递增，这似乎更符合现实情况，离到期日越近的期货价格的变动越频繁，当市场出现巨幅波动时，也同样是离到期日越近的期货价格的变动越明显。并在期权定价中考虑了随机利率的影响。总之，本文对石油

29、的单因子跳扩散模型进行较深入的研究。参考文献1 Bertus M. J., Multerfactor valuation models of energy futures ans options on futures, Dissertation for PHD, 20032 Bessembinder H., Coughenour J.F., Senguin P. J. and Smoller M. M., Mean-reversion in equilibrium assest prices: evidence: evidence from the futures term structure

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