弹性力学 扭转

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1、 材料力材料力学学解解决决了了圆圆截面直杆的截面直杆的扭转问扭转问题题，但，但对对非非圆圆截面杆的截面杆的扭转问题扭转问题却无法却无法分析。分析。对对于任意截面杆的于任意截面杆的扭转扭转，这这本是本是一一个较简单个较简单的空的空间问题间问题，根据，根据问题问题的特的特点，本章首先点，本章首先给给出了求解出了求解扭转问题扭转问题的的应应力函力函数数所所应满应满足的微分方程和足的微分方程和边边界界条条件。件。其次，其次，为为了求解相了求解相对复杂对复杂截面杆的截面杆的扭转扭转问题问题，我，我们们介介绍绍了薄膜比了薄膜比拟拟方法。方法。13第九章第九章 扭扭 转转9-1 9-1 等截面直杆的等截面直

2、杆的扭转扭转 9-2 9-2 椭圆椭圆截面杆的截面杆的扭转扭转9-3 9-3 薄膜比薄膜比拟拟9-4 9-4 矩形截面杆的矩形截面杆的扭转扭转9-5 9-5 开开口薄壁杆件的口薄壁杆件的扭转扭转29-19-1 等截面直杆的扭转一 应力函数 设有等截面直杆，体力不计，在两端平面内受扭矩M作用。取杆的一端平面为 xy面，图示。横截面上除了切应力zx、zy以外，其余的应力分量为零0 xyzyx将应力分量及体力X=Y=Z=0代入平衡方程，得xMMoyz3 )()(zyzxyx根据前两方程可见，zx、zy只是x和y的函数，与z无关，由第三式0, 0, 0yxzzzyzxyzxz000ZyxzYxzyXz

3、yxyzxzzxyzyyzxyxx注：空间问题平衡微分方程根据微分方程理论，一定存在一个函数x,y，使得,yxzxzy函数x,y称为扭转问题的应力函数。 a 40)1 (0)1 (0)1 (222222yxxzzyxyzxyz0)1 (0)1 (0)1 (222222222zyxzyx注：体力为零时，空间问题应力分量表示的相容方程 将应力分量代入不计体力的相容方程，可见：前三式及最后一式得到满足，其余二式要求0022yx即C2 b 5二 边界条件 在杆的侧面上，将 n=0，及面力分量为零代入边界条件，可见前两式总能满足，而第三式要求注：空间问题应力边界条件 ZmlnYlnmXnmlsyzsxz

4、szsxyszysyszxsyxsx0)()(szyszxml0ssxmyl即由于在边界上sxmsyldd,dd60ddddddssxxsyyss于是有说明在横截面的边界上，应力函数为常量，由于应力函数减一个常数，应力分量不受影响，因此在单连通截面（实心杆）时可设0s c 在杆的任一端，剪应力合成为扭矩7xxxyyyyxyxxxyyyxxyMzyzxdddddd)(dd)(xxxxxxxyyyyyyyBBAABBAAdddddd分步积分，并注意在边界上为零最后得到 Myxdd2 d 8三 位移公式 根据应力、应变、位移的关系可以得到000zwyvxu011yuxvyGxwzuxGzvyw积分后

5、得到KxzzxvvKyzyzuuxzzy009其中K表示杆的单位长度内的扭转角.不计刚体位移代入前面右边前两式上两式可用来求出位移分量w。KxzvKyzu e KxxGywKyyGxw11 f 10上两式分别对y和x求导，再相减，得Gk22可见前面公式 b 中C2的C=-2GK. 显然，为了求得扭转问题的解，只须寻出应力函数，使它满足方程 b 、 c 和 d ，然后由 a 式求出应力分量，由式 e 和和 f 给出位移分量的值。119-2 9-2 椭圆截面杆的扭转 椭圆的半轴分别为a和b，其边界方程为012222byax应力函数在边界上应等于零，故取12222byaxm代入C2 1 xyabo1

6、2得求得CbabamCbmam)(22222222回代入 1 式式得1)( 222222222byaxCbaba Myxdd2由13MyxyxybyxxaCbaba)dddd1dd1(22222222可得3322)(2baMbaC于是得12222byaxabM最后得14最后得到解答xbaMyabMyzxz332,2xyzyyzzxxz,于是由横截面上任意一点的合剪应力是21424221222byaxabMzyzx159-3 9-3 薄膜比拟 由上节的例子可以看出，对于椭圆形这种简单等截面直杆，我们给出了横截面上剪应力的计算表达式，但却没有指出截面最大剪应力的位置及其方向；而对于矩形、薄壁杆件这

7、些截面并不复杂的柱体，要求出其精确解都是相当困难的，更不用说较复杂截面的杆件了。为了解决较复杂截面杆件的扭转问题，特提出薄膜比拟法。该方法是建立在柱体扭转问题与受均匀侧压力而四周张紧的弹性薄膜之间数学关系相似的基础上。 设有一块均匀薄膜，张在与扭转杆件截面相同或成比例的边界上。当在侧面上受着微小的均匀压力时，在薄膜内部将产生均匀的张力，薄膜的各点将发生图示 z 方向微小的垂度。16 取薄膜的一个微小部分abcd图示，它在xy面上的投影是一个矩形，矩形的边长分别是dxdx和dydy。设薄膜单位宽度上的拉力为 T，则由z方向的平衡条件 得0Z0qdxdyyzTdxdyyzzyTdxxzTdydxx

8、zzxTdy简化后得02222qyzxzTTdxTdydxdyabdcxyTTxzqoy17即Tqz2此外，薄膜在边界上的垂度显然等于零，即0sz由于q/T为常量，所以以上两式可改写为0, 012szqTzqT a 而应力函数所满足的微分方程和边界条件为 0,22sGk18其中Gk也是常量，故也可改写为02, 0122sGkGk b 将式 b 与式 a 对比，可见 与 决定于同样的微分方程和边界条件，因而必然具有相同的解答。于是有Gk2zqTqTzGk2即TqGkz/2 c 19 设薄膜及其边界平面之间的体积为V，并注意到 Myxdd2则有GTkqMdxdyGTkqzdxdyV42从而有TqG

9、kVM/22 d 由xyzyyzzxxz,又可得TqGkyzzx/2/ e 20 调整薄膜所受的压力q，使得 c 、 d 、 e 三式等号的右边为1，则可得出如下结论： 1 扭杆的应力函数等于薄膜的垂度z。 2 扭杆所受的扭矩M等于该薄膜及其边界平面之间的体积的两倍。 3 扭杆横截面上某一点处的、沿任意方向的剪应力，就等于该薄膜在对应点处的、沿垂直方向的斜率。 由此可见，椭圆截面扭杆横截面上的最大剪应力发生在短轴的两端点处，方向平行于长轴。xyabo21 9-4 9-4 矩形截面杆的扭转一 狭长矩形截面杆的扭转 设矩形截面的边长为a和b。若ab (图示)，则称为狭长矩形。由薄膜比拟可以推断，应

10、力函数在绝大部分横截面上几乎不随x变化，于是有dydyx, 0则C2成为Cdyd22yaxbo22 Myxdd2积分，并注意在边界上02by即得4222byC将代入积分后得36abMC故22343ybabM应力分量为063xyabMyzyzx 由薄膜比拟可知，最大剪应力发生在矩形截面的长边上，方向平行于 x轴，其大小为 22max3abMbyzx23二 矩形截面杆 在狭矩形截面扭杆应力函数的基础上，取任意矩形截面杆应力函数为bymbxmchAybGkmmcos4, 5 , 3 , 122代入微分方程Gk22 0, 022byax并使满足边界条件24得到4cos222, 5 , 3 , 1byG

11、kbymbamchAmm 将上式右边在y -b/2,b/2 区间展为 的级数，然后比较两边的系数，得bymcosbamchmGkbAmm28133221将Am代入，得确定的应力函数, 5 , 3 , 132132222cos184mmbamchmbymbxmchbybGk25 由薄膜比拟可以推断，最大剪应力发生在矩形截面长边的中点若ab5 , 3 , 1222,02,0max2181mbyxbyxzxbamchmGkby其中扭角 k 由26 Myxdd2求得,5, 3, 155326431mmbamthabGabMk27 9-5 9-5 开口薄壁杆件的扭转 实际工程上经常遇到开口薄壁杆件，例如

12、角钢、槽钢、工字钢等，这些薄壁件其横截面大都是由等宽的狭矩形组成。无论是直的还是曲的，根据薄膜比拟，只要狭矩形具有相同的长度和宽度，则两个扭杆的扭矩及其横截面剪应力没有多大差别。a1b1a2a1a1b2a3a2a1a3b228 设 ai 及 bi 分别表示扭杆横截面的第 i 个狭矩形的长度和宽度，Mi表示该矩形截面上承受的扭矩，M表示整个横截面上的扭矩，i代表该矩形长边中点附近的剪应力，k代表扭杆的扭角。则由狭矩形的结果，得3233iiiiiiibGaMkbaM由后一式得33iiibGkaM29而33iiibaGkMM故有MbabaMiiiii33从而有3333iiiiiibaGMkbaMb

13、值得注意的是：由上述公式给出的狭矩形长边中点的剪应力已相当精确，然而，由于应力集中的存在，两个狭矩形的连接处，可能存在远大于此的局部剪应力。30习题9.1 有一根高为a 的等边三角形截面扭杆，坐标如图所示。三角形三条边AB，OA，OB的方程分别为：. 03; 03yxyxyxyxaxm33; 0ax试证应力函数能满足一切条件，并求出最大剪应力及扭角。解： 将 代入相容方程C2得Cam 4即aCm4o oxyB BA Aa a故yxyxaxaC334 扭杆无孔洞， 显然满足侧面边界条件 ，由杆端部边界条件0sMdxdy2得axxMdyyxyxaxdxaC033332MaC4330从而得yxyxaxaM3323155剪应力32553232315)(345yaxxaMxyaxaMyyzxz对于等边三角形，由薄膜比拟法知，最大剪应力发生在 0, yax处，即3225max2315232315aMaaaM单位长度上的扭角43152GaMGC 习题9.2 等截面杆单位长度上的扭转角为 ，剪切弹性模量为 ，若函数 ，其中 为实常量， 为待定函数。试问： 满足什么条件时， 可作为扭转问题的应力函数？ 2cosrfArG,A f fA,答： 若题意所给函数能作为扭转问题的应力函数，则该函数必须满足相容方程G22将 代入后得 GffrA24cos 222此即为 需满足的条件。 fA,31