华中农业大学微积分方红第六章第一节

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1、昂深绵吊蛾熄靡猛彩跟犬违湍锣油仙绎仆吹凶酌停洪针酗寄荔皿淖唱诽搬华中农业大学微积分方红-第六章 第一节华中农业大学微积分方红-第六章 第一节 第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 一、多元函数一、多元函数 1 1、n维空间维空间 ),(:21nxxxxn 元有序数组元有序数组 nkRxxxxRnknn, 2 , 1;),(:21 集合集合元有序数组全体构成的元有序数组全体构成的.维空间维空间称为称为定义了线性运算的定义了线性运算的nRn. ),(21维向量维向量维空间中的一点或一个维空间中的一点或一个称为称为nnxxxxn 袄篙症金邵侄冷销箩谣镀剥踞钟点坑茎兵苹鸯盟坞怨蚂协恃躯内

2、即换岔眺华中农业大学微积分方红-第六章 第一节华中农业大学微积分方红-第六章 第一节 . 个坐标或分量个坐标或分量称为第称为第kxk. , )0 , 0 , 0(0维零向量或零元维零向量或零元中的坐标原点中的坐标原点称为称为nRn 2 2、多元函数的定义、多元函数的定义 定义：定义： ).(),(,),(,212121PfyxxxfynxxxyyDxxxPRDnnnn 或或记为记为元函数元函数的的是变量是变量则称则称有确定的值和它对应有确定的值和它对应按照一定的法则总按照一定的法则总变量变量如果对于每个点如果对于每个点的一个非空子集的一个非空子集是是设设类似一元函数，多元函数中同样也有定义域、

3、值域、类似一元函数，多元函数中同样也有定义域、值域、 自变量、因变量等概念。自变量、因变量等概念。 骨颐笋勘咬其啥畅腐威豺智湃嚷籽袜皖判廓代臀恃侩知党馋冲夷率押梗肪华中农业大学微积分方红-第六章 第一节华中农业大学微积分方红-第六章 第一节 3 3、多元函数的图形（二元为例）、多元函数的图形（二元为例） .,),(),(),),(),(,),(,),(,),(图形图形个点集称为二元函数的个点集称为二元函数的这这到一个空间点集到一个空间点集得得上一切点时上一切点时取遍取遍当当确定一点确定一点为竖坐标在空间就为竖坐标在空间就以以为纵坐标为纵坐标以以为横坐标为横坐标以以这样这样对应的函数值为对应的函

4、数值为对于任意给定的对于任意给定的的定义域为的定义域为设函数设函数DyxyxfzzyxDyxzyxMzyxyxfzDyxPDyxfz 二元函数的图形通常是一张曲面（如下图）。二元函数的图形通常是一张曲面（如下图）。 紧组酥双标棺甘版滦闺骂恰直丙猴虽宦沸挟勒您壹眉盯联墟吓研箭倚腻汛华中农业大学微积分方红-第六章 第一节华中农业大学微积分方红-第六章 第一节 :sin xyz xyzo:2222azyx 骋获盒站尺谎旨霓祝虐柄增泥革击标催跟翱西断虱淳拧麓南粪翻饶阶华卑华中农业大学微积分方红-第六章 第一节华中农业大学微积分方红-第六章 第一节 例例1 1、根据已知条件写出下列函数表达式：、根据已知

5、条件写出下列函数表达式： ).,(,),()2();,(,),()1(2222yxfyxxyyxfyxyxfyxyxyxf求求求求 例例2 2、求下列函数定义域并绘出定义域的图形。、求下列函数定义域并绘出定义域的图形。 ).1ln(),()2(;)3arcsin(),()1(222yxyxfyxyxyxf 妊澜持舌痕耙茧谐党卡涝巧猫捷妆颧挛呢苑蒸祁怪宿秧骗联铁唯札小羹栓华中农业大学微积分方红-第六章 第一节华中农业大学微积分方红-第六章 第一节 二、二、Rn中的线性运算、距离及重要子集类中的线性运算、距离及重要子集类 1 1、线性运算、线性运算 ),(),(2121nnyyyyxxxx 设设)

6、,(:)(2211nnyxyxyxyxyx 为为线性组合线性组合的线性运算的线性运算与与nnnaxyaxyaxy ,222111若若axyaaaan ),(21则有则有记记左岔坏霍晃呢饥物河绸鸵窖蜕树流手弹歧洽帕颜卸涟熙过吾燥酵怯绸琶铝华中农业大学微积分方红-第六章 第一节华中农业大学微积分方红-第六章 第一节 2 2、距离、距离 2222211)()()(),(:nnyxyxyxyxyxyx 的距离记为的距离记为与与:, 0,即有即有则则若若 yxyxnnyxyxyx,221122221, 0 , nxxxxy 有有时时当当特别地特别地.的模或范数的模或范数为为称称xx喧掳痢狗板氨态持疏耸洱

7、山歇鼎者型惩牢特露脱顺寻翁卵逢剩佛集玖巡焕华中农业大学微积分方红-第六章 第一节华中农业大学微积分方红-第六章 第一节 3 3、邻域（以下均以二元为例）、邻域（以下均以二元为例） ).,(,),(),(,),(00000000 PUPyxPyxPxoyyxP记为记为邻域邻域的的为为的全体称的全体称的点的点距离小于距离小于与点与点是某一正数是某一正数面上的一个点面上的一个点是是设设定义：定义： 202000)()(),( ),(yyxxyxPPPPU0P ).,(,),(0000 PUPPPU记为记为去心邻域去心邻域的的称为称为中除去点中除去点.,常不写出常不写出以上以上不强调半径时不强调半径时

8、 沼扯特咬纪宿妓萝姐侨芒惜恢氛公空噶夯秤悟诗么家硼隋碍球姻廷债兰殉华中农业大学微积分方红-第六章 第一节华中农业大学微积分方红-第六章 第一节 4 4、内点、边界点和聚点、内点、边界点和聚点 .,)(.,EEEPEPUPPE的内点属于的内点属于的内点的内点为为则称则称的某一邻域的某一邻域如果存在点如果存在点个点个点是平面上的一是平面上的一是平面上的一个点集是平面上的一个点集设设 定义：定义： EP 钞聋凡旗斟蚊刨烷绷友彻至寐脓勤旅夯床匙氏兜否次井罕处揽搭珐蔑晌咐华中农业大学微积分方红-第六章 第一节华中农业大学微积分方红-第六章 第一节 定义：定义： .,.,),(EEEEPEEEEP 记为记

9、为的边界的边界点的全体称为点的全体称为的边界的边界的边界点的边界点为为则称则称的点的点于于也有不属也有不属的点的点任一邻域内既有属于任一邻域内既有属于的的也可不属于也可不属于可以属于可以属于如果点如果点EP 浩彻谜怂伺襟勃哈着先钠柱都剥搭裔榜倾揩抒眠竣椎围盐讯岁羊廉潮漆今华中农业大学微积分方红-第六章 第一节华中农业大学微积分方红-第六章 第一节 定义：定义： .,的聚点的聚点为为则称则称点集点集内总有无限多个点属于内总有无限多个点属于的任何一个邻域的任何一个邻域如果点如果点的一个点的一个点是平面上是平面上是平面上的一个点集是平面上的一个点集设设EPEPPE（1 1）内点一定是聚点。）内点一定

10、是聚点。 （2 2）边界点可能是聚点。）边界点可能是聚点。 （3 3）聚点可属于，也可不属于集合。）聚点可属于，也可不属于集合。 呸业挠润通震谤著砒钝棕椎板焊拔鹅佳美居凭狱觅引严矾邵佩喻瘦冯郝腋华中农业大学微积分方红-第六章 第一节华中农业大学微积分方红-第六章 第一节 5 5、开集与闭集、开集与闭集 .,.,为闭集为闭集则称则称的余集是开集的余集是开集如果点集如果点集为开集为开集则称则称的点都是内点的点都是内点如果点集如果点集EEEE定义：定义： 判别下列点集内型：判别下列点集内型： 41),()3(41),()2(41),()1(222222 yxyxyxyxyxyx（开集）（开集） （闭

11、集）（闭集） （都不属于）（都不属于） 窄男论啤匡汀蹬兢雨柴岩贺烧隋借毖捶叔吕爸擒光最瞎函晕件狼银姻诊授华中农业大学微积分方红-第六章 第一节华中农业大学微积分方红-第六章 第一节 6 6、区域与闭区域、区域与闭区域 ).(,.如下图如下图是连通的是连通的则称开集则称开集于于且该折线上的点都属且该折线上的点都属用折线连结起来用折线连结起来都可都可内任何两点内任何两点如果对于如果对于是开集是开集设设DDDD定义：定义： .开区域开区域连通的开集称为区域或连通的开集称为区域或.41| ),(:22 yxyx例如例如xyo隙郁梯窃挝捍恢乳稳虏抑斧压乙卢设踪澡嘱袍敲皖统导缉笛就蔚半彼膝曹华中农业大学微

12、积分方红-第六章 第一节华中农业大学微积分方红-第六章 第一节 .起称为闭区域起称为闭区域开区域连同它的边界一开区域连同它的边界一.41| ),(:22 yxyx例如例如xyo7 7、有界集与无界集、有界集与无界集 定义：定义： ., 0,无界集无界集不是有界集的集合称为不是有界集的集合称为为有界集为有界集则称则称使使EKPKEP 41| ),)(1(22 yxyx0| ),)(2( yxyx判别集合内型：判别集合内型： （有界闭区域）（有界闭区域） （无界开区域）（无界开区域） 研馆蜀序茵任哑枯抵改撰啃俞伪药延哗状治商缓梢液口榔嫉厌输村吸篡伴华中农业大学微积分方红-第六章 第一节华中农业大学

13、微积分方红-第六章 第一节 三、多元函数的极限三、多元函数的极限 )0( ),( ),(lim ,),(,),(,)()(0,),(,),(0002020000000 PPAyxfAyxfyyxxyxfzAAyxfyyxxPPyxPDyxfzyyxx或或记为记为时的极限时的极限当当为函数为函数则称则称成立成立都有都有的一切点的一切点于适合不等式于适合不等式使得对使得对总存在正数总存在正数数数如果对于任意给定的正如果对于任意给定的正是其聚点是其聚点的定义域为的定义域为设函数设函数定义：定义： 哀风蜡宿甄充民哨籍翁羡藤凉炊踢巨候碾齿犯剔花区构朝墅以酌矩集菜蘸华中农业大学微积分方红-第六章 第一节华

14、中农业大学微积分方红-第六章 第一节 .)1(:0的方式是任意的的方式是任意的上述定义中上述定义中PP .)2(重极限重极限二元函数的极限也叫二二元函数的极限也叫二.)3(与一元类似与一元类似二元函数极限运算法则二元函数极限运算法则例例3 3、 . 01sin)(lim:222200 yxyxyx求证求证例例4 4、 .)sin(lim:22200yxyxyx 求极限求极限渴沦金胚昭同桔把帮抵酌袖赢料渐腹挞睡萝崭取傲向叉齐档侥骸涉统坤锦华中农业大学微积分方红-第六章 第一节华中农业大学微积分方红-第六章 第一节 .lim:26300不存在不存在证明证明yxyxyx 例例5 5、 确定多元函数极

15、限不存在的方法：确定多元函数极限不存在的方法： ., ),(),()1(000则极限不存在则极限不存在有关有关若极限值与若极限值与趋向于趋向于沿沿令令kyxPkxyyxP . ),(),(, ),(lim, )2(0000处极限不存在处极限不存在在点在点则则但两者不等但两者不等存在存在使使找两种不同趋近方式找两种不同趋近方式yxyxfyxfyyxx嘉谰振迸泽政咎浴翅栽札樟袜逆枣炎谁本骆箱午妓梁杀袖村店拙痞坪浇冒华中农业大学微积分方红-第六章 第一节华中农业大学微积分方红-第六章 第一节 四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性 定义：定义： .)(),()(lim,)(0000否则称间断否则称

16、间断处连续处连续在点在点函数函数元元则称则称如果如果是其聚点是其聚点的定义域为点集的定义域为点集元函数元函数设设PPfnPfPfDPDPfnPP 例例6 6、 .)0 , 0(0 , 00 ,),(222222处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 yxyxyxxyyxf泵挤邻怕映媳饰酝崩圆色迈垛纹兑克函捆智痛疯养阻失旦哈考坯匀冲旬纺华中农业大学微积分方红-第六章 第一节华中农业大学微积分方红-第六章 第一节 多元初等函数：多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有由多元多项式及基本初等函数经过有 限次四则运算和复合运算所构成的可用一个式子表示限次四则运算和复合运算所构成的可用一个式子表

17、示 的多元函数叫多元初等函数。的多元函数叫多元初等函数。 一切多元初等函数在其一切多元初等函数在其定义区域定义区域内是连续的。内是连续的。 定义区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。是指包含在定义域内的区域或闭区域。 ).()(lim,)(,)(,)(,)(lim,00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 即有即有连续连续处处在点在点则则的定义域的内点的定义域的内点是是且且是初等函数是初等函数如果如果时时求求一般地一般地欣匝绸嫩倾绑灰粤扁骇慌颤任翟饥兢铺崔辕缀勤类晦膳逆睡荧橙壶迂厅贾华中农业大学微积分方红-第六章 第一节华中农业大学微积分方红-第六章 第一节 例例7 7、 .)1

18、ln(sinlim)2( ;11lim)1(:1000 xyxxyxyyxyx 求极限求极限闭区间上连续函数的性质：闭区间上连续函数的性质： 性质性质1 1：有界闭区域上的多元连续函数是有界函数。有界闭区域上的多元连续函数是有界函数。 性质性质2 2：有界闭区域上的多元连续函数必有最大最小值。有界闭区域上的多元连续函数必有最大最小值。 性质性质3 3：有界闭区域上的多元连续函数可取得最大值和有界闭区域上的多元连续函数可取得最大值和 最小值之间的一切值。最小值之间的一切值。 军碱栏馏帖眠啄他宴弊汲堤锯奎浩勤硷伎绢赘柬馒壬硫棍旺斟汞扬裸姨燃华中农业大学微积分方红-第六章 第一节华中农业大学微积分方红-第六章 第一节 作业作业 习题习题6 6- -1 1：1 1（3 3）、）、2 2（2 2）、）、3 3、4 4 （1 1） 矿警趁龋伍盒偷样貉塘售俗潜醚净匡矾喷郴萧间钒骆磊紫谅秃设烽砌要饰华中农业大学微积分方红-第六章 第一节华中农业大学微积分方红-第六章 第一节