第十一章曲线积分与曲面积分

《第十一章曲线积分与曲面积分》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第十一章曲线积分与曲面积分（44页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第十章 曲线积分与曲面积分参考答案第十章 曲线积分与曲面积分答案一、选择题1曲线积分与路径无关，其中有一阶连续偏导数，且，则（ ） (B) (2分，难度：三级)(A). (B). (C). (D).02闭曲线为的正向，则（ ） (C) (2分，难度：二级) (A).0 (B).2 (C).4 (D).63闭曲线为的正向，则 ( ) D (2分，难度：二级)(A). (B). (C).0 (D). 4为YOZ平面上，则（ ） (D) (2分，难度：二级)(A).0 (B). (C). (D). 5设，则 （ ）(C) (2分，难度：一级)(A). (B). (C). (D). 6. 设为球面，则

2、曲面积分的值为（ ） (B) (2分，难度：一级)(A). (B). (C). (D).7. 设是从O(0,0)到(B)(1,1)的直线段，则曲线积分（ ）(C) (2分，难度：一级)(A). (B). (C). (D). 8. 设= 其中L是抛物线上点（0, 0）与点(1, 1)之间的一段弧,则=（ ）(D) (2分，难度：一级)(A). (B). (C). (D). 9. 如果简单闭曲线 所围区域的面积为 ，那么 是（ ）(D) (2分，难度：一级) (A). ； (B). ； (C). ； (D). 。10设，为在第一卦限中部分，则有（ ）(C) (2分，难度：一级)(A). (B).

3、(C). (D).11设为曲面=（ ） (D) (2分，难度：二级)(A). (B). (C). (D). 12. 曲线弧上的曲线积分和上的曲线积分有关系（ ）(B) (2分，难度：一级)(A). (B). (C). (D). 13设为曲面=（ ）(D) (2分，难度：二级)(A). (B). (C). (D). 14设=（ ）(B) (2分，难度：二级)(A). (B). (C). (D). 15设则=（ ）(C) (2分，难度：一级)(A). (B). (C) (D) 16设为=（ ）(B) (2分，难度：二级)(A). (B). (C). (D). 17设 （ ）(B) (2分，难度：三

4、级)(A). (B). (C). (D). 18设=（ ）(A) (2分，难度：二级)(A).0 (B). (C) (D)19设则=（ ）(D) (2分，难度：二级)(A). (B). 0 (C) (D)20设为,则的值为( ). (B) (2分，难度：一级) (A). (B). 6 (C). (D). 4 21.设为直线上从点到点的有向直线段,则=( ) (C). (2分，难度：一级) (A). 6 (B). (C). 0 (D).-22. 若是上半椭圆取顺时针方向,则的值为( ).(C) (2分，难度：二级) (A).0 (B). (C). (D).23、设在单连通区域内有一阶连续偏导数,

5、则在内与路径无关的条件是( ).(C) (2分，难度：一级) (A).充分条件 (B).必要条件 (C).充要条件 (D).充分非必要条件24、设为球面取外侧,为其上半球面,则( )式正确. (B) (2分，难度：一级) (A). (B). (C). . (D). 25、若为球面的外侧,则等于( ). (B)(2分，难度：一级) (A). (B). 2 (C). 0 (D). 26、曲面积分在数值上等于( ). (C) (2分，难度：一级)(A).向量穿过曲面的流量 (B).面密度为的曲面的质量 (C).向量穿过曲面的流量 (D). 向量穿过曲面的流量27、设是球面的外侧,是面的圆域,下述等式

6、正确的是( ). (C) (2分，难度：二级) (A) (B) (C) (D)28、若是空间区域的外表面,下述计算中运用奥-高公式正确的是( ). (B) (2分，难度：一级) (A). =； (B).=； (C).=. (D).=.29设所围空间立体的表面取外侧， 则=（ ）(B) (2分，难度：三级) (A). (B). (C). (D). 30设的弧段，且曲线积分（下式中为常数）=（ ）(C) (2分，难度：三级) (A). (B). (C). (D).31设那么曲线积分计算公式=（ ） (A) (2分，难度：一级) (A) (B) (C) (D)32.设，则( ) （B） (2分，难度

7、：二级) （A）对任意分段光滑的闭曲线，有； （B）在不包含原点时，其中是任意分段光滑闭曲线；（C）因为在原点不存在，故对任何分段光滑闭曲线，；（D）在包含原点时，在不包含原点时.33. 设是平面上有向曲线，下列曲线积分中，（ ）是与路径无关的(A)(2分，难度：二级)(A) (B) (C) (D)34. 若及在单连通域 内有连续的一阶偏导数，则在内，曲线积分与路径无关的充分必要条件是（ ） (B) (2分，难度：一级)(A)在域 内恒有 (B)在域 内恒有(C) 在域 内恒有 (D)在内任一条闭曲线上，曲线积分35.设曲面 =( ) (B) (2分，难度：三级)(A).0 (B). (C).

8、 (D). 36设是平面上的圆域则=（ ）（D）(2分，难度：二级)(A); (B) (C ) (D ) 二、填空题1. 设是以, , , 为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分 -2 (2分，难度：二级)2.S为球面的外侧,则0 (2分，难度：一级)3 = (2分，难度：二级)4曲线积分，其中是圆心在原点，半径为的圆周，则 (2分，难度：一级)5设为上半球面，则曲面积分= 32 (2分，难度：二级)6. 设曲线为圆周,则曲线积分 . (2分，难度：二级)7. 设C是以,为顶点的三角形边界，则曲线积分1+ (2分，难度：二级)8. 设为上半球面，则曲面积分的值为 。 (2分，难度：二级)9.

9、光滑曲面z=f（x，y）在平面上的投影区域为，则曲面的面积是(2分，难度：一级)10设是抛物线上从点到点的一段弧，则曲线积分 12(2分，难度：一级)11、 . (2分，难度：二级)12、设为的正向，则 .(2分，难度：二级)/13、设则则= 0 (2分，难度：一级)14、设则=0 .(2分，难度：一级)15、设则= .(2分，难度：二级)16设=0 (2分，难度：二级)17，则= (2分，难度：二级)18 法线的方向余弦，则曲面积分= . (2分，难度：二级)19设为的边界，则 0 (2分，难度：二级)20设为 (2分，难度：二级)21. 设：，则曲线积分 0 。(2分，难度：一级)22某物

10、质沿曲线：，（01）分布，其线密度为，则它的质量M可用定积分表示为 。 (2分，难度：二级)23若为某函数的全微分，则 1 。(2分，难度：二级)24设为抛物线上自点到点的一段弧，则曲线积分的值为 . (2分，难度：二级)25、设，则. (2分，难度：二级)26是曲线，其周长为，则= (2分，难度：二级)27是顺时针方向的光滑封闭曲线，所围成的平面图型的面积为，则 (2分，难度：二级)28. (2分，难度：三级)29 (2分，难度：三级)30 (2分，难度：三级)31设是由锥面与半球面围成的空间区域，是的整个边界的外侧，则.(2分，难度：三级)32. 5 (2分，难度：二级)33 设为椭圆其周

11、长为，则 .(2分，难度：二级)三、计算题1，其中为圆周，直线及x轴在第一象限所围图形的边界。（5分，难度：二级）解：记线段方程，圆弧方程线段方程。 . 2则原式.4 52. 计算，其中l 为由点经椭圆的上半弧到点再沿直线回到的路径（4分，难度：二级） 解：由于l为封闭曲线，故原式可写成其中，由格林公式原式= . 2= = 43，其中为圆周的上半部分，的方向为逆时针。（5分，难度：二级）解：的参数方程为，从0变化到。 . 1故原式 . 3 . 54求抛物面被平面所割下的有界部分的面积。（5分，难度：二级）解：曲面的方程为，这里为在平面的投影区域。 . 1故所求面积 . 3 . 4 . 55、计

12、算,其中为上半圆周,沿顺时针方向.（7分，难度：二级）解：添加从原点到点的直线段后，闭曲线所围区域记为，利用格林公式解 . 2如图,由格林公式 .4故有.6所以.76，其中为球面在第一卦限部分的边界，当从球面外看时为顺时针。（5分，难度：二级）解：曲线由三段圆弧组成，设在平面内的圆弧的参数方程 ，从变化到0。 . 1于是 . 3由对称性即得 57，其中为平面 所围立体的表面的外侧。（6分，难度：二级）解：记为该表面在平面内的部分，为该表面在平面内的部分，为该表面在平面内的部分，为该表面在平面内的部分。的方程为，根据定向，我们有. 1同理， . 2 . 3的方程为，故， . 4由对称性可得， .

13、 5故 于是所求积分为 . 6或：利用高斯公式令， ， . 3 . 4 . 68计算曲面积分：，其中为曲面的外侧。（6分，难度：二级）解：利用高斯公式，令， ， ， . 3所求积分等于 . 4=8 . 69. 计算I=，其中所围立体的表面外侧（6分，难度：二级）解：利用高斯公式，令，,， ， . 3 . 4 = . 5 = . 610计算,其中是从点到点的直线段.（4分，难度：二级）解：直线段的方程是；化为参数方程得： 从1变到0， . 1 所以： . 3 .411. 计算曲线积分I= 其中是由点 至点 的上半圆周（5分，难度：二级）解：在x轴上连接点, 将扩充成封闭的半圆形 在线段上, .

14、1从而 又由Green公式得: . 3 . 512. 计算曲线积分其中是与 的交线沿着曲线的正向看是逆时针方向（5分，难度：二级）解：将写成参数方程: . 1 于是: = . 3 = . 5 另证：由斯托克斯公式得令，,= . 3上侧，则： . 513. 设曲面为在第一卦限部分，计算曲面的面积（4分，难度：二级）解：在平面的投影区域为： . 1= . 3 . 4 .5 14.计算曲线积分其中是沿着圆 从点到点的上半单位圆弧 （6分，难度：二级）解：设， 当时， . 2故：所求曲线积分在不包围原点的区域内与路径无关 则：= .4= =ln5-arctan2 .6 15.确定的值，使曲线积分在平面

15、上与路径无关。当起点为，终点为时，求此曲线积分的值。（5分，难度：二级）解：由已知，；由条件得 , 即 , . 2 . 516. 设曲面为球面被平面截出的顶部，计算I=（5分，难度：二级）解：的方程为：在平面的投影区域为： I= . 1= . 3 . 5 17. 计算I=，其中是，取下侧（6分，难度：二级）解：作辅助曲面，取上侧 . 1设为,所围闭区域 为平面区域 . 3 = = . 6 18. 为上半椭圆圆周，取顺时针方向，求（4分，难度：二级）解： . 2 . 3 . 4 19计算曲面积分，其中为锥面与所围的整个曲面的外侧。（5分，难度：二级）解： 由高斯公式，可得 . 2 . 4 . 5

16、 20计算曲线积分，其中是椭圆的正向。（5分，难度：二级）解：令, , 则。 . 2设所围成的闭区域为，则其面积。 从而由格林公式可得. . 4 . 5 21设为柱面在使得，的两个卦限内被平面及所截下部分的外侧，试计算。（6分，难度：二级）解：将分成与，其中：（取上侧），：（取下侧）， . 2与在面上的投影为，故 . 3 . 4 . 5 . 6 22计算曲面积分，其中是柱面介于的部分。（6分，难度：二级）解：设为在第一卦限的部分曲面。， . 2 。 . 4在面上的投影域为。故 . 6 23. 计算曲面积分，其中是旋转抛物面介于及之间部分的下侧。（7分，难度：二级）解：利用高斯公式，取且。取上侧

17、，与构成封闭的外侧曲面，所围的闭域为，对应的为：。 . 1 2. 4 . 6 . 7 24.计算曲线积分，其中是自点沿曲线到点的曲线段。（5分，难度：二级）解：, 2取小圆周充分小,取逆时针方向,则由Green公式可得: 525用高斯公式计算，其中柱面及平面围成封闭曲面的外侧。 （6分，难度：二级）解： 3 原式= 4 = 5 = = = 626计算曲面积分，其中是曲面被平面所截下的部分，取下側。 （8分，难度：三级）解：补,取上侧, 1, 而 3 5其中 , 7 8 27计算曲线积分，其中L是区域0x1，0y1的边界正向。 （4分，难度：二级）解：利用Green公式= 2= 428、计算曲面

18、积分，其中为平面方程在第一卦限的上侧。（5分，难度：二级）解： 2= 5或由对称性：， 2而， 4故。 529、计算，其中L是由点到的直线段。（4分，难度：二级）解：的方程 2 = 430、设可微，且曲线积分与路径无关。求。（7分，难度：三级）解： 2因该项积分与路径无关，所以。令， 4得微分方程，解得， 6代入条件得(C)=1 从而有 731、计算对面积的曲面积分 。（5分，难度：二级）解:曲面在XOY平面上的投影为 2原式= 3= = 532、计算曲面积分，其中是曲面在的部分的下侧。（6分，难度：二级）解：补充曲面且取上侧，又， 2由高斯公式 3= 4= 633. 计算曲线积分，其中L是以

19、(1,0)为中心，R为半径的圆周，取逆时针方向。（8分，难度：三级）解：令，则 () .2(1)当时，设圆内区域为(D)，此时，则由格林公式有 .4(2)当时，在圆内点(0,0)处，无意义，作曲线C：，且足够小，使整个含在曲线L中，取顺时针方向。在L与C所围的环型域内，由复连通区域的格林公式有 .834.计算，其中光滑曲面围成的的体积为V。（5分，难度：二级）解：由高斯公式 .3 .535计算，其中是曲面z=x2+y2在0z1范围内在第一卦限部分曲面的下侧。（7分，难度：二级）解法一: 曲面在平面和平面上的投影区域分别为。由轮换对称性有 。 3而 .5故 。 .7解法二: 用高斯公式计算补充曲

20、面，取上侧；，取后侧；，取左侧。则与、构成一封闭曲面的外侧，设所围区域为，显然在和的曲面积分为0。 3则由高斯公式有.4。 736计算，其中为下半球面的下侧，为大于零的常数。（7分，难度：二级）解：取为面上的圆盘，方向取上侧，则， .3。 737、求，其中为圆周上从到点的一段弧. （5分，难度：二级）解：添加直线段，则原式 .2。（2分） .4 .538已知空间曲线：，计算曲线积分（5分，难度：二级）解：的参数方程 . 2则原式 .4= .539计算,其中为连续函数，是平面在第四卦限部分的上侧.（6分，难度：二级）解： . 2= . 4= . 640. 计算其中为圆柱面x2+y2=R2在0zH

21、中的一段曲面的外侧，R和H都是正数。 （7分，难度：二级）解：的方程：在yoz面上的投影域为(D)：RyR,0zH.由对称性，则 .2 .4所以： 541设，与球面，所围立体表面的外侧，计算曲面积分 （7分，难度：二级）解：令，,， . 3 = . 4 = . 5= . .742. 计算，其中是从到 （6分，难度：二级）解：补充直线段， . 1 . 2 . 4 . 643求摆线，的弧的重心（6分，难度：二级）解： . 1 . 2 . 3 . 4故， .644计算，其中是从轴正向看的方向为顺时针方向（5分，难度：二级）解：取为被所截得的部分，由右手定则方向为下侧，根据斯托克斯公式有： . 3 .

22、 545其中是在的第一象限部分的下侧（8分，难度：三级）解：补面， ，取上侧； ，取左侧； ， ，取后侧 . 1 . 2 . 5 . 846. （6分，难度：二级）解：令，=，（） . 2所以当时 。则 . 4= . 647（7分，难度：三级）解：令，（） . 2，则 . 4 . 6 . 748验证在平面内是某一函数的全微分, 并求这个函数.（6分，难度：二级）解： 在平面内,具有一阶连续偏导数,且 . 2故所给表达式是某函数的全微分,并且有 . 4 . 649计算,其中为锥面被柱面所截得的有限部分.（6分，难度：三级）解: 曲面在平面上的投影区域为=, 又曲面关于平面对称, 函数和都是关于的

23、奇函数, 故有 . 2又在曲面上, , 于是由计算第一型曲面积分的方法得 .4.650.利用斯托克斯公式计算其中是圆周,若从轴正向看去, 这圆周取逆时针方向.（6分，难度：二级）解: 因曲线在平面上，即有, 故若取为平面上的区域的上侧, 则曲线为的正向边界曲线, 由斯托克斯公式有 .4 .651. 计算,其中为球面与平面的交线.（7分，难度：三级）解: 因积分曲线的方程对变量具有轮换对称性，故 .2 .4因而.752. 计算第一类曲线积分,其中，为椭圆, 为的外法线向量（8分，难度：三级）解: 设的逆时针方向单位切向量为, 并且有将顺时针旋转即得曲线朝外的单位法向量，因此于是 .2又,故 .4

24、 .6 .8其中为由围成的椭圆域, 其面积为.53. 计算，其中是由圆周与直线在第一象限所围区域的正向边界.（6分，难度：二级）解: 因点不包含在所围的区域D内, 又在D内具有一阶连续偏导数, D为单连通域, 并且有 .2利用格林公式得到 原积分 .4= .654. 计算其中为从点沿曲线到点一段弧（7分，难度：三级）解 因积分路径不封闭,构造封闭曲线,添加路径与，记（如图）,使之构成封闭路径以应用格林公式计算， .2 .4则而 .6 故 .7又积分路径是顺时针方向，因此有55. 计算曲面积分,其中是抛物柱面被平面和所截下的那部分的后侧曲面.（7分，难度：三级）解 如右图,因为柱面在坐标面上的投

25、影是一条曲线,由定义知 .2在坐标面上的投影区域记为.由于取后侧,故 .4 6 756 已知流体的速度场试求单位时间内流过立方体的全表面的外侧的流量(流体的密度为1). （7分，难度：三级）解 流量为 .2 .5 .757利用斯托克斯公式计算曲线积分其中是曲线从轴的正向看去的方向是顺时针的.（8分，难度：四级）解 设是平面上以为边界的有限部分,其法向量与轴正向的夹角为钝角,在平面上的投影区域为.则由斯托克斯公式. .6 .857 求均匀曲面的重心坐标.（7分，难度：二级）解： 已知是中心在原点,半径为的上半球面.由于关于坐标面均对称,故有 .2设的面密度为,的质量为. .3曲面在坐标面上的投影

26、,则 .4 .6所以曲面的重心坐标为:. .758,其中为平面在第一卦限的部分.（5分，难度：二级）解 设,在坐标面上的投影区域为：.由于 .2所以 559计算曲面积分,其中为有向曲面,其法向量与轴正向的夹角为锐角（8分，难度：三级）解： 设取下侧,与所包围的空间区域,在面上的投影为. 3 5 7所以 860. 计算其中为折线段,这里,.（8分，难度：三级）解 如图 线段的参数方程为 2 3线段的参数方程为5线段的参数方程为， 7所以8四、综合题1、证明在整个平面上，是某个函数的全微分，求这样的一个函数并计算，其中L为从到的任意一条道路。 （8分，难度：三级）解：令，则有 ， .2故知是某个函数的全微分。取路径，则一个原函数为