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1、第23讲与圆相关的位置关系知识点1点与圆的位置关系1已知O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与O的位置关系是(C)A点A在O上 B点A在O内C点A在O外 D点A与圆心O重合2如图，在矩形ABCD中，AB3，AD4，若以点A为圆心，以4为半径作A，则下列各点在A外的是(C)A点AB点BC点CD点D知识点2直线与圆的位置关系3已知O的半径是6 cm，点O到同一平面内直线l的距离为5 cm，则直线l与O的位置关系是(A)A相交 B相切 C相离 D无法判断4已知RtABC中，C90，AC3，BC4，若以2为半径为C，则斜边AB与C的位置关系是(C)A相交 B相切C相离 D无法确定知识点3切线的
2、性质5如图，AB和O相切于点B，AOB60，则A的大小为(B)A15 B30 C45 D60 第5题图 第6题图6如图，AB是O的直径，C是O上的点，过点C作O的切线交AB的延长线于点E，若A30，则sinE的值为(A)A. B.C. D.知识点4切线的判定7如图，AC是O的直径，BC是O的弦，点P是O外一点，连接PA，PB，AB，已知PBAC.求证：PB是O的切线证明：连接OB.AC是O的直径，ABC90，CBAC90.OAOB，BACOBA.PBAC，PBAOBA90，即PBOB.PB是O的切线知识点5切线长定理8如图，P为O外一点，PA，PB分别切O于A，B，CD切O于点E，分别交PA，
3、PB于点C，D，若PA5，则PCD的周长为(D)A5B7C8D10知识点6三角形与圆9如图，O是ABC的内切圆，则点O是ABC的(B)A三条边的垂直平分线的交点B三条角平分线的交点C三条中线的交点D三条高的交点 第9题图 第10题图10如图，ABC的内切圆的三个切点分别为D，E，F，A75，B45，则圆心角EOF120.重难点切线的性质与判定(2017咸宁T21，9分)如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DFAC，垂足为点F.(1)求证：DF是O的切线；(2)若AE4，cosA，求DF的长【思路点拨】(1)连接OD，可以先证明ODAC，根据DF
4、AC即可得出结论；(2)过圆心O作OGAC于点G，根据cosA，可求出OG的长，且可证四边形ODFG是矩形，即可求出DF的长(1)证明：连接OD.OBOD，ODBB.又ABAC，CB.ODBC.ODAC.2分DFAC，DFC90.ODFDFC90.DF是O的切线.4分(2)作OGAC于点G，AGAE2.5分cosA，OA5.OG.7分ODFDFGOGF90，四边形OGFD为矩形DFOG.9分证明圆的切线时，可以分以下两种情况：(1)若直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可，可简述为：“连半径，证垂直，得切线”“证垂直”时通常利用圆中的关系得到9
5、0的角(如例(1)；(2)直线与圆没有已知的公共点时，通常过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半径，可简述为：“作垂直，证半径，得切线”证明垂线段的长等于半径常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分线上的点到角两边的距离相等(如【变式训练1】(1)【变式训练1】(2016贵港)如图，在ABC中，ABAC，O为BC的中点，AC与半圆O相切于点D.(1)求证：AB是半圆O所在圆的切线；(2)若cosABC，AB12，求半圆O所在圆的半径解：(1)证明：作OEAB于E，连接OD，OA.ABAC，O为BC的中点，CAOBAO.AC与半圆O相切于D，ODAC.OEAB，ODOE.AB经过圆O半径
6、的外端点，AB是半圆O所在圆的切线(2)cosABC，AB12，OB8.由勾股定理，得AO4.由三角形的面积公式，得SAOBABOEOBAO.OE.半圆O所在圆的半径是.,本题将切线的判定与性质结合锐角三角函数进行考查【变式训练2】(2017菏泽)如图，AB是O的直径，PB与O相切于点B，连接PA交O于点C.连接BC.(1)求证：BACCBP；(2)求证：PB2PCPA；(3)当AC6，CP3时，求sinPAB的值解：(1)证明：PB与O相切于点B，OBPB.ABP90.ABCCBP90.AB是O的直径，ACB90.AABC90.BACCBP.(2)证明：在ABP和BCP中，ABPBCP.PB
7、2PCPA.(3)AC6，CP3，APPCAC369.PB2PCPA3927.PB3.sinPAB.,本题以切线的性质为主线，综合考查三角形相似和锐角三角函数，三者之间环环相扣，由切线的性质推出角相等，由角相等证明三角形相似(常见的三垂直模型)，由三角形相似求线段长，由线段的长求出某锐角的三角函数值题目难度适中，设计精巧 1(2017自贡)如图，AB是O的直径，PA切O于点A，PO交O于点C，连接BC.若P40，则B等于(B)A20 B25 C30 D402在一个三角形中，已知ABAC6 cm，BC8 cm，D是BC的中点，以D为圆心作一个半径为5 cm的圆，则下列说法正确的是(C)A点A在D
8、外 B点B在D上C点C在D内 D无法确定3如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为(0，3)，点B为(2，1)，点C为(2，3)则经画图操作可知：ABC的外心坐标应是(C)A(0，0)B(1，0)C(2，1)D(2，0)4(2017日照)如图，AB是O的直径，PA切O于点A，连接PO并延长交O于点C，连接AC，AB10，P30，则AC的长度是(A)A5B5C5D.5(2017泰安)如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若ABC55，则ACD等于(A)A20B35C40D556(2017百色)以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线yxb与O相交，则
9、b的取值范围是(D)A0b2 B2b2C2b2 D2b27(2017武汉)已知一个三角形的三边长分别为5，7，8，则其内切圆的半径为(C)A. B. C. D28(2017连云港)如图，线段AB与O相切于点B，线段AO与O相交于点C，AB12，AC8，则O的半径长为5 第8题图 第9题图9(2017眉山中考改编)如图，在ABC中，A66，点I是内心，则BIC的大小为12310(2017徐州)如图，AB与O相切于点B，线段OA与弦BC垂直，垂足为D，ABBC2，则AOB60 第10题图 第11题图11如图，ABC是一张三角形的纸片，O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD10 cm，小明准
10、备用剪刀沿着与O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形(AMN)，则剪下的AMN的周长为20_cm12(2017德州)如图，已知RtABC，C90，D为BC的中点以AC为直径的O交AB于点E.(1)求证：DE是O的切线；(2)若AEEB12，BC6，求AE的长解：(1)证明：连接OE，CE.AC是O的直径，AECBEC90.D是BC的中点，EDBCDC.DECDCE.OEOC，OECOCE.DECOECDCEOCE，即OEDACD.ACD90，OED90，即OEDE.又E是O上一点，DE是O的切线(2)由(1)知BEC90.在RtBEC与RtBCA中，B为公共角，BECBCA.即BC2BEBA.
11、AEEB12，设AEx，则BE2x，BA3x.又BC6，622x3x.x，即AE.13(2017山西)如图，ABC内接于O，且AB为O的直径，ODAB，与AC交于点E，与过点C的O的切线交于点D.(1)若AC4，BC2，求OE的长；(2)试判断A与CDE的数量关系，并说明理由解：(1)AB为O的直径，ACB90.在RtABC中，由勾股定理，得AB2，OAAB.ODAB，AOEACB90.又AA，AOEACB.，即.解得OE.(2)CDE2A.理由如下：连接OC，OAOC，ACOA.CD是O的切线，OCCD.OCD90.DOCCDE90.ODAB，DOCCOB90.COBCDE.COBAACOD
12、OCA，CDEDOCA.14(2017枣庄)如图，在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格线的交点称为格点)，如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为(B)A2r B.r3C.r5 D5r 第14题图 第15题图15(2017安顺)如图，O的直径AB4，BC切O于点B，OC平行于弦AD，OC5，则AD的长为(B)A. B. C. D.16(2017无锡)如图，菱形ABCD的边AB20，面积为320，BAD90，O与边AB，AD都相切，AO10，则O的半径长等于(C)A5B6C2D317(2017衢州)如图，在直角坐标系中，A的圆心A的坐标
13、为(1，0)，半径为1，点P为直线yx3上的动点，过点P作A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是2习题解析18(2017南宁)如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为H，连接AC，过弧BD上一点E作EGAC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EGFG，连接CE.(1)求证：ECFGCE；(2)求证：EG是O的切线；(3)延长AB交GE的延长线于点M，若tanG，AH3，求EM的值解：(1)证明：AB是直径，CDAB，.CEFACD.又EGAC，CGEACD.CEFCGE.又ECFGCE，ECFGCE.(2)证明：连接OE，EGFG，GFEGEF.OAFAFH90，AFHGFE，GEFOAF90.OAOE，OAFOEA.GEFOEA90.EG是O的切线(3)连接OC，tanG，GACH，tanACH.AH3，CH4.设O的半径为r，在RtCHO中，根据勾股定理有r2(4)2(r3)2，解得r.EOMM90，GM90，EOMG.tanEOM，即.EMOEr.
2020最新中考数学复习第23讲与圆有关的位置关系
