初中数学定理证明(完整版）

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1、初中数学定理证明初中数学定理证明 第一篇： 初中数学定理证明初中数学定理证明数学定理三角形三条边的关系定理： 三角形两边的和大于第三边推论： 三角形两边的差小于第三边三角形内角和三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180推论1直角三角形的两个锐角互余推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和推论3三角形的一个外角大雨任何一个和它不相邻的内角角的平分线性质定理在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等几何语言： o是aob的角平分线peoa，pfob点p在o上pe=pf判定定理到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上几何语言： peoa，pfobpe=pf点p在aob的角平分线上

2、等腰三角形的性质等腰三角形的性质定理等腰三角形的两底角相等几何语言： ab=ab=推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边几何语言： ab=a，bd=d1= 2，adbab=a，1=2adb，bd=dab=a，adb1= 2，bd=d推论2等边三角形的各角都相等，并且每一个角等于60几何语言： ab=a=ba=b=60等腰三角形的判定判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等几何语言： b=ab=a推论1三个角都相等的三角形是等边三角形几何语言： a=b=ab=a=b推论2有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形几何语言： ab=a，a=60ab=a=b推论3在直

3、角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半几何语言： =90，b=30b=ab或者ab=2b线段的垂直平分线定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等几何语言： mnab于，ab=b，点p为mn上任一点pa=pb逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上几何语言： pa=pb点p在线段ab的垂直平分线上轴对称和轴对称图形定理1关于某条之间对称的两个图形是全等形定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线定理3两个图形关于某直线对称，若它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上逆定理若两个图形的对应点连线被同一条直

4、线垂直平分，那这两个图形关于这条直线对称勾股定理勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边的平方，即a2+b2=2勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、有关系，那么这个三角形是直角三角形四边形定理任意四边形的内角和等于360多边形内角和定理多边形内角和定理n边形的内角的和等于180推论任意多边形的外角和等于360平行四边形及其性质性质定理1平行四边形的对角相等性质定理2平行四边形的对边相等推论夹在两条平行线间的平行线段相等性质定理3平行四边形的对角线互相平分几何语言： 四边形abd是平行四边形adb，abda=，b=dao=o，bo=do平行四边形的判定判定定理1两

5、组对边分别平行的四边形是平行四边形几何语言： adb，abd四边形abd是平行四边形判定定理2两组对角分别相等的四边形是平行四边形几何语言： a=，b=d四边形abd是平行四边形判定定理3两组对边分别相等的四边形是平行四边形几何语言： ad=b，ab=d四边形abd是平行四边形判定定理4对角线互相平分的四边形是平行四边形几何语言： ao=o，bo=do四边形abd是平行四边形判定定理5一组对边平行且相等的四边形是平行四边形几何语言： adb，ad=b四边形abd是平行四边形矩形性质定理1矩形的四个角都是直角性质定理2矩形的对角线相等几何语言： 四边形abd是矩形a=bda=b=d=90推论直角

6、三角形斜边上的中线等于斜边的一半几何语言： ab为直角三角形，ao=obo=a判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形几何语言： a=b=90四边形abd是矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形几何语言： a=bd四边形abd是矩形菱形性质定理1菱形的四条边都相等性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角几何语言： 四边形abd是菱形ab=b=d=adabd，a平分dab和db，bd平分ab和ad判定定理1四边都相等的四边形是菱形几何语言： ab=b=d=ad四边形abd是菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形几何语言： abd，ao=o，bo=do四边形abd是菱

7、形正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角中心对称和中心对称图形定理1关于中心对称的两个图形是全等形定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称梯形等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等几何语言： 四边形abd是等腰梯形a=b，=d等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形几何语言： a=b，=d四边形abd是等腰梯形三角形、梯形中位线三角形中位线定理三角形的中位线平行与

8、第三边，并且等于它的一半几何语言： ef是三角形的中位线ef=ab梯形中位线定理梯形的中位线平行与两底，并且等于两底和的一半几何语言： ef是梯形的中位线ef=比例线段 1、比例的基本性质如果ab=d，那么ad=b 2、合比性质 3、等比性质平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例几何语言： lpa推论平行与三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行与三角形的第三边垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧几何语言： oab，o过圆心推论1平分弦的

9、直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧几何语言： oab，a=b，ab不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧)弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧几何语言： a=b，o过圆心平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧几何语言： 推论2圆的两条平分弦所夹的弧相等几何语言： abd圆心角、虎弦、弦心距之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条虎两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半推论1同

10、弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2半圆所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弦是直角推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形圆的内接四边形定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角几何语言： 四边形abd是o的内接四边形a+=180，b+adb=180，b=ade切线的判定和性质切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线几何语言： loa，点a在o上直线l是o的切线切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点半径几何语言： oa是o的半径，直线l切o于点aloa推论1经过圆心且垂直于切线的直径必

11、经过切点推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心切线长定理定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角几何语言： 弦pb、pd切o于a、两点pa=p，apo=po弦切角弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角几何语言： bn所夹的是，a所对的是bn=a推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等几何语言： bn所夹的是，am所对的是，=bn=am和圆有关的比例线段相交弦定理： 圆内的两条相交弦，被焦点分成的两条线段长的积相等几何语言： 弦ab、d交于点ppapb=ppd推论： 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中

12、项几何语言： ab是直径，dab于点pp2=papb切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项几何语言： pt切o于点t，pba是o的割线pt2=papb推论从圆外一点因圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的焦点的两条线段长的积相等几何语言： pba、pd是o的割线pt2=papb。第二篇： 北师大版初中数学证明定理公理 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行（同位角相等，两直线平行）定理 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行（同旁内角互补，两直线平行）定理 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么

13、这两条直线平行（内错角相等，两直线平行）定理 对顶角相等公理 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等（两直线平行，同位角相等） 定理 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等（两直线平行，内错角相等） 定理 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补（两直线平行，同旁内角互补） 定理 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行定理 三角形三个内角的和等于180（三角形内角和定理）定理 四边形的内角和等于360定理 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。定理 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。公理 三边对应相等的两个三角形全等（sss）公理 两边及其家变对应相等的两

14、个三角形全等（sas）公理 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（asa）公理 全等三角形的对应边相等、对应角相等。定理 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（XXs）定理 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）定理 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一） 定理 等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）定理 有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 定理 三个角都相等的三角形是等边三角形定理 直角三角形两条直角边的平方和

15、等于斜边的平方（勾股定理）定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（hl）定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。定理 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等定理 在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上定理 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等定理 平行四边形的对边相等定理 平行四边形的对角相等定理 平行四边形法的对

16、角线互相平分定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等定义 两腰相等的梯形是等腰梯形定理 同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形定理 夹在两条平行线间的平行线段相等定义 两组对边互相平行的四边形是平行四边形定理 两组对边分别相等的四边形是平行四边形定理 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形定理 对角线互相平分的四边形是平行四边形定理 两组对角相等的四边形是平行四边形定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半定理 矩形的四个角都是直角定理 矩形的对角线相等定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半定义 有一个叫是直角的平行四边形是矩形定理 有三个角是直角的四边形是矩形定理 对角线相等的平行四

17、边形是矩形定理 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 定理 菱形的四条边都相等定理 菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角定义 一组邻边相等的平行四边形是菱形定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形定理 有四条边相等的四边形是菱形定理 正方形的四个角都是直角，四条边都相等定理 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 定理 有一个角是直角的菱形是正方形定理 对角线相等的菱形是正方形定理 对角线互相垂直的矩形是正方形第三篇： 著名定理证明2 4.著名定理证明（14分）（该题有六个小题，须选做两个，全对才给分，每个七分，多做满分也是1

18、4分） （1） 试证明海伦公式： s三角形=p,试证明角平分线定理： 如图： 若ad平分ba，证明： ab*d=a*bd （3）证明射影定理： 如图： 在rt三角形egf中，hgef，egfg： 证明： hg2=eh*hf： 证明： fg2=hf*ef： 证明： eg2=eh*ef （4）证明： s圆锥=sh3（s=底面积，h=高）（提示，将圆锥等分为无限个“圆片”） （ 5） 证明： 2=sin（360）*（提示，作圆内接正n边形） （6）证明： 中线定理： 如图，ai是三角形ab中线，证明： 2 5、三角形是一个神奇的图形，如三角形有五心（旁心、重心、内心、外心、垂心），在三角形中有许多重

19、要定理，如： 勾股定理、余弦定理，三角形有许多重要公式，如： 海伦公式，在三角形中还有许多重要的点，如： 费马点、欧拉点但今天，我们来研究一个多点共圆的问题： 首先，要证明多点共圆，只能从四点共圆入手，因此我现在这里提出一个证明四点共圆的方法： 证明： 在任意凸四边形中，连接对角线，若同边所对的角相等，则这四点共圆，请以下图为例证明： 如图，bd=ad（4分） （2）如图，在任意等腰三角形中（顶角小于90度），证明： 三垂线垂足、及三个欧拉点共圆（欧拉点： 三角形三垂线交于一点为垂心，垂心与三顶点的连线的三条线段的中点即为欧拉点）（10分）： 以下图为例证明： 如图，ab=a，h、ad、bm是

20、等腰三角形ab的高，p为垂心， o、n、g是三个欧拉点第四篇： 初中数学常用定理1圆是定点的距离等于定长的点的集合2圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合3圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合4同圆或等圆的半径相等5到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆6和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线7到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线8到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线9定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。10垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧11推论1 平

21、分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧12推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等13圆是以圆心为对称中心的中心对称图形14定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等15推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等16定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半17推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等18推论2 半圆（或直径

22、）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径19推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形20定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角21 直线l和o相交 dr 直线l和o相切 d=r 直线l和o相离 dr22切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线23切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径24推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点25推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心26切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角27圆的外切四边形的两组对边的和相等28弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角29推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等30相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等第五篇： 初中数学公式定理大全初中数学公式定理大全 一、锐角三角函数： a是rtab的任一锐角，则a的正弦： sin