第1讲截长补短模型解析版

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1、中考数学几何模型1：截长补短模型名师点睛 拨开云雾 开门见山有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或差”及其比例关系. 这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解. 所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系. 所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等. 然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系. 有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解.典题探究 启迪思维 探究重点例题1. 如图，ABCD，BE平分ABC，CE平分BCD，若E在AD上求

2、证：（1）BECE；（2）BC=AB+CD【解答】证明：如图所示：（1）BE、CE分别是ABC和BCD的平分线，1=2，3=4，又ABCD，1+2+3+4=180，2+3=90，BEC=90，BECE（2）在BC上取点F，使BF=BA，连接EF在ABE和FBE中，ABEFBE（SAS），A=5ABCD，A+D=180，5+D=180，5+6=180，6=D，在CDE和CFE中，CDECFE（AAS），CF=CDBC=BF+CF，BC=AB+CD，变式练习1. 已知ABC的内角平分线AD交BC于D，B=2C. 求证：AB+BD=AC.答案：略例题2. 已知ABC中，A=60，BD，CE分别平分A

3、BC和ACB，BD、CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并说明理由【解答】解：在BC上取点G使得CG=CD，BOC=180（ABC+ACB）=180（18060）=120，BOE=COD=60，在COD和COG中，CODCOG（SAS），COG=COD=60，BOG=12060=60=BOE，在BOE和BOG中，BOEBOG（ASA），BE=BG，BE+CD=BG+CG=BC变式练习2. 已知：ABC中，AB=AC，D为ABC外一点，且ABD=60，ADB=90BDC试判断线段CD、BD与AB之间有怎样的数量关系？并证明你的结论【解答】解：AB=BD+CD，理由是：延长CD到E，使

4、DE=BD，连接AE，ADB=90BDC，ADE=180（90）BDC=90，ADB=ADE，在ABD和AED中ABDAED（SAS），E=ABD=60，AB=AE，AB=AC，AE=AC，ACE是等边三角形，AB=CE=CD+DE=BD+CD例题3. 如图所示，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180，求证：DA平分CDE【解答】解：连接AC，延长DE到F，使EF=BC，连接AF，BC+DE=CD，EF+DE=DF，CD=FD，ABC+AED=180，AEF+AED=180，ABC=AEF，在ABC和AEF中，ABCAEF（SAS），AC=AF，在ACD和A

5、FD中，ACDAFD（SSS）ADC=ADF，即AD平分CDE变式练习3. 如图，ABC是等边三角形，BDC是顶角BDC=120的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且MDN=60试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并给出证明【解答】解：CN=MN+BM证明：在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，ABC为等边三角形，ACB=ABC=60，又BDC为等腰三角形，且BDC=120，BD=DC，DBC=BCD=30，ABD=ABC+DBC=ACB+BCD=ECD=90，在MBD和ECD中，MBDECD（SAS），MD=DE，MDB=EDC，又MDN=60，BDC=120，E

6、DN=BDC（BDN+EDC）=BDC（BDN+MDB）=BDCMDN=12060=60，MDN=EDN，在MND与END中，MNDEND（SAS），MN=NE，CN=NE+CE=MN+BM例题4. 在四边形ABDE中，C是BD边的中点（1）如图（1），若AC平分BAE，ACE=90，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为AE=AB+DE；（直接写出答案）（2）如图（2），AC平分BAE，EC平分AED，若ACE=120，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；（3）如图（3），BD=8，AB=2，DE=8，若ACE=135，则线段AE长度的最大值是10+4

7、（直接写出答案）【解答】解：（1）AE=AB+DE；（2）猜想：AE=AB+DE+BD证明：在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CGC是BD边的中点，CB=CD=BDAC平分BAE，BAC=FAC在ACB和ACF中，ACBACF（SAS），CF=CB，BCA=FCA同理可证：CD=CG，DCE=GCECB=CD，CG=CFACE=120，BCA+DCE=180120=60FCA+GCE=60FCG=60FGC是等边三角形FG=FC=BDAE=AF+EG+FGAE=AB+DE+BD（3）作B关于AC的对称点F，D关于EC的对称点G，连接AF，FC，CG，EG

8、，FGC是BD边的中点，CB=CD=BDACBACF（SAS），CF=CB，BCA=FCA同理可证：CD=CG，DCE=GCECB=CD，CG=CFACE=135，BCA+DCE=180135=45FCA+GCE=45FCG=90FGC是等腰直角三角形FC=BDBD=8，FC=4，FG=4AE=AB+4+DEAB=2，DE=8，AEAF+FG+EG=10+4当A、F、G、E共线时AE的值最大2，最大值为10+4故答案为：10+4例题5.在ABC中，BAC=90（1）如图1，直线l是BC的垂直平分线，请在图1中画出点A关于直线l的对称点A，连接AC，AB，AC与AB交于点E；（2）将图1中的直线

9、AB沿着EC方向平移，与直线EC交于点D，与直线BC交于点F，过点F作直线AB的垂线，垂足为点H如图2，若点D在线段EC上，请猜想线段FH，DF，AC之间的数量关系，并证明；若点D在线段EC的延长线上，直接写出线段FH，DF，AC之间的数量关系【解答】解：（1）如图1：；（2）DF+FH=CA，证明：如图2，过点F作FGCA于点G，FHBA于H，A=90，FGCA，A=FGA=FHA=90，四边形HFGA为矩形FH=AG，FGAB，GFC=EBC，直线l是BC的垂直平分线，BE=EC，EBC=ECB，由（1）和平移可知，ECB=EBC=GFC，FDC=A=90，FDC=FGC=90在FGC和C

10、DF中FGCCDF，CG=FD，DF+FH=GC+AG，即DF+FH=AC；解：FHDF=AC，理由是：过F作FHBA于H，过点C作CGFH于G，FHBA于H，BAC=90，CGFH，CAH=CGH=FHA=90，四边形ACGH为矩形AC=GH，CGAB，GCF=EBC，直线l是BC的垂直平分线，BE=EC，EBC=ECB=FCD，GCF=FCD，由（1）和平移可知，FDC=A=90，FDC=FGC=90在FGC和CDF中FGCCDF，FG=FD，FHFG=GH，FHDF=AC例题6. 如图1，在ABC中，ACB=2B，BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线lAO于H

11、，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN=CD；（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系【解答】（1）证明：连接ND，如图2所示：AO平分BAC，BAD=CAD，直线lAO于H，AHN=AHE=90，ANH=AEH，AN=AC，NH=CH，AH是线段NC的中垂线，DN=DC，DNH=DCH，AND=ACB，AND=B+BDN，ACB=2B，B=BDN，BN=DN，BN=DC；（2）解：当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为CD=2CE，理由如下：过点C作CNAO交AB

12、于N，过点C作CGAB交直线l于点G，如图3所示：由（1）得：BN=CD，AN=AC，AN=AE，ANE=AEN，NN=CE，ANE=CGE，B=BCG，CGE=AEN，CG=CE，M是BC中点，BM=CM，在BNM和CGM中，BNMCGM（ASA），BN=CG，BN=CE，CD=BN=NN+BN=2CE；（3）解：BN、CE、CD之间的等量关系：当点M在线段BC上时，CD=BN+CE；理由如下：过点C作CNAO交AB于N，如图3所示：由（2）得：NN=CE，CD=BN=BN+CE；当点M在BC的延长线上时，CD=BNCE；理由如下：过点C作CNAO交AB于N，如图4所示：同（2）得：NN=C

13、E，CD=BN=BNCE；当点M在CB的延长线上时，CD=CEBN；理由如下：过点C作CNAO交AB于N，如图5所示：同（2）得：NN=CE，CD=BN=CEBN 达标检测 领悟提升 强化落实1. 如图，在ABC中，BAC=60，AD是BAC的平分线，且AC=AB+BD，求ABC的度数【解答】解：如图，在AC上截取AE=AB，AD平分BAC，BAD=CAD，在ABD和AED中，ABDAED（SAS），BD=DE，B=AED，AC=AE+CE，AC=AB+BD，CE=BD，CE=DE，C=CDE，即B=2C，在ABC中，BAC+B+C=180，60+2C+C=180，解得C=40，ABC=240

14、=802. 如图，在四边形ABCD中，ABDC，E为BC边的中点，BAE=EAF，AF与DC的延长线相交于点F，试探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论.3. 如图，ABC是等边三角形，BDC是顶角BDC=120的等腰三角形，以D为顶点作一个60角NDM，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并加以证明【解答】解：探究结论：BM+CN=NM证明：延长AC至E，使CE=BM，连接DE，BDC是顶角BDC=120的等腰三角形，ABC是等边三角形，BCD=30，ABD=ACD=90，即ABD=DCE=90，在DCE和DBM中，RtDCE

15、RtDBM（SAS），BDM=CDE，又BDC=120，MDN=60，BDM+NDC=BDCMDN=60，CDE+NDC=60，即NDE=60，MDN=NDE=60DM=DE（上面已经全等）在DMN和DEN中DMNDEN（SAS），BM+CN=NM4. 如图，ABCD中，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足DFA=2BAE（1）若D=105，DAF=35求FAE的度数；（2）求证：AF=CD+CF【解答】（1）解：D=105，DAF=35，DFA=180DDAF=40（三角形内角和定理）四边形ABCD是平行四边形，ABCD，AB=CD（平行四边形对边平行且相等）DFA=FAB=

16、40（两直线平行，内错角相等）；DFA=2BAE（已知），FAB=2BAE（等量代换）即FAE+BAE=2BAEFAE=BAE；2FAE=40，FAE=20；（2）证明：在AF上截取AG=AB，连接EG，CGFAE=BAE，AE=AE，AEGAEBEG=BE，B=AGE；又E为BC中点，CE=BEEG=EC，EGC=ECG；ABCD，B+BCD=180又AGE+EGF=180，AGE=B，BCF=EGF；又EGC=ECG，FGC=FCG，FG=FC；又AG=AB，AB=CD，AF=AG+GF=AB+FC=CD+FC5. 如图所示，在正方形ABCD的边CB的延长线上取点F，连结AF，在AF上取点

17、G，使得AG=AD，连结DG，过点A作AEAF，交DG于点E（1）若正方形ABCD的边长为4，且AB=2FB，求FG的长；（2）求证：AE+BF=AF【解答】解：（1）四边形ABCD是正方形，且边长为4，ABF=90，AB=AD=4，在RtABF中，AB=2FB，FB=4=2，AF=2，AG=AD=4，FG=AFAG=24；（2）证明：在BC上截取BM=AE，连接AM，AG=AD，AB=AD，AG=AB，AEAF，EAG=ABM=90，在AGE和BAM中，AGEBAM（SAS），AMB=AEG，BAM=AGD，AG=AD，AGD=ADG，BAM=ADG，BAD=90，FAB+BAE=BAE+E

18、AD=90，FAB=EAD，AEG=EAD+ADG=FAB+BAM=FAM，FAM=AMB，AF=FM=BF+BM=BF+AE6. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BAD=60，BCD=120，连接AC，BD交于点E（1）若BC=CD=2，M为线段AC上一点，且AM：CM=1：2，连接BM，求点C到BM的距离（2）证明：BC+CD=AC【解答】解：（1）AB=AD，BAD=60，ABD是等边三角形，ABD=ADB=60BC=CD，ABCADC，BAC=DAC=30，ACB=ACD=60AEB=BEC=90，ABC=90，CE=BC=1，BE=，AC=2BC=4AM：CM=1：2，AM=，

19、CM=，EM=，在RtBEM中由勾股定理得BM=过点C作CFBM于点F，CF=即点C到BM的距离（2）证明：延长BC到点F，使CF=CB，连接DF，AB=AD，ABD=60，ABD是等边三角形，ADB=60，AD=BD，BC=CD，CF=CDBCD=120，DCF=180BCD=60，DCF是等边三角形，CDF=ADB=60，DC=DF，ADC=BDF，又AD=BD，ACDBDF，AC=BF=BC+CF，即AC=BC+CD7. 如图，在正方形ABCD中，点P是AB的中点，连接DP，过点B作BEDP交DP的延长线于点E，连接AE，过点A作AFAE交DP于点F，连接BF（1）若AE=2，求EF的长；（2）求证：PF=EP+EB【解答】解：（1）四边形ABCD是正方形，且BEDP，AFAE，AB=AD，BAD=EAF=BEF=90，1+FAB=2+FAB=90，1=23+5=4+6，且5=6，3=4在AEB和AFD中，AEBAFD，AE=AF=2，在RtEAF中，由勾股定理，得EF=2（2）过点A作AMEF于M，且EAF=90，AE=AF，EAF为等腰直角三角形AM=MF=EMAME=BEF=90点P是AB的中点，AP=BP在AMP和BEP中，AMPBEP，BE=AM，EP=MP，MF=BE，PF=PM+FM=EP+BE