圆周角定理一（钱鸣）

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1、24.1.4 24.1.4 圆周角圆周角 海南中学海南中学 钱鸣钱鸣 复习旧知：请说说我们是如何给复习旧知：请说说我们是如何给 圆心角下定义的？圆心角下定义的？ 顶点在圆心的角叫圆心角。顶点在圆心的角叫圆心角。 能仿照圆心角的定义，能仿照圆心角的定义， 给下图中象给下图中象ACB ACB 这样的角下个定义吗？这样的角下个定义吗？ 顶点顶点在在圆圆上，并且上，并且两边两边都和都和圆相交圆相交的角叫做的角叫做圆周角圆周角 问题探讨：问题探讨： 判断下列图形中所画的判断下列图形中所画的P P是否为圆周角？并说明理由。是否为圆周角？并说明理由。 P P P P 不是不是 是是 不是不是 不是不是 顶点

2、不顶点不在圆上。在圆上。 顶点在圆上，顶点在圆上，两边和圆相两边和圆相交。交。 两边不和两边不和圆相交。圆相交。 有一边和圆有一边和圆不相交。不相交。 . O B C 圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系 我们把顶点在圆心的周角等我们把顶点在圆心的周角等分成分成360360份时，每一份的份时，每一份的圆心角圆心角是是1 1的角。的角。 在同圆或等圆中，圆心角的度数和它所对的在同圆或等圆中，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等弧的度数相等。 因为同圆中相等的圆心角所因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被对的弧相等，所以整个圆也被等分成等分成36036

3、0份。我们把每一份这份。我们把每一份这样的样的弧弧叫做叫做1 1的弧。的弧。 在同圆或等圆中，在同圆或等圆中， D ABCO有没有圆周角？有没有圆周角？ 有没有圆心角？有没有圆心角？ 它们有什么共同的特点？它们有什么共同的特点？ 它们都对着它们都对着同一条弧同一条弧 画画一个圆一个圆, ,再任意画一个圆周角再任意画一个圆周角, ,看一下圆心在什么位置看一下圆心在什么位置? ? 圆心在一边上圆心在一边上 圆心在角内圆心在角内 圆心在角外圆心在角外 如图如图, ,观察圆周角观察圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOC,AOC,它们的大它们的大小有什么关系小有什么关系? ? O A B C O A

4、B C O A B C 圆周角圆周角和和圆心角圆心角的关系的关系 1 1. .首先考虑第一种情况：首先考虑第一种情况： 当当圆心圆心O O在在圆周角圆周角(ABC)(ABC)的一边的一边(BC)(BC)上时上时, ,圆周角圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC的大小关系的大小关系. . AOCAOC是是ABOABO的外角，的外角， AOC=B+A.AOC=B+A. OA=OBOA=OB， O A B C A=B.A=B. AOC=2B.AOC=2B. 即即 ABC = AOC.ABC = AOC. 21你能写出这个命题吗你能写出这个命题吗? ? 同弧所对的同弧所对的圆周角圆周角等于它所

5、对等于它所对的的圆心角的一半圆心角的一半. . 期望期望: :你你可要理解可要理解并掌握这并掌握这个模型个模型. . 第二种情况：第二种情况：如果圆心不在圆周角的如果圆心不在圆周角的一边上一边上, ,结果会怎样结果会怎样? ? 2.2.当当圆心圆心O O在圆周角在圆周角(ABC)(ABC)的内部时的内部时, ,圆周角圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC的大小关的大小关系会怎样系会怎样? ? 提示提示: :能否转化为能否转化为1 1的情况的情况? ? 过点过点B B作直径作直径BD.BD.由由1 1可得可得: : O ABC = AOC. ABC = AOC. 21能写出这个命题吗能写

6、出这个命题吗? ? 同弧所对的同弧所对的圆周角圆周角等于它所对等于它所对的的圆心角圆心角的一半的一半. . A B C D ABD = AOD, CBD = COD,ABD = AOD, CBD = COD, 2121O A B C 第三种情况：第三种情况：如果圆心不在圆周角如果圆心不在圆周角的一边上的一边上, ,结果会怎样结果会怎样? ? 3.3.当当圆心圆心O O在圆周角在圆周角(ABC)(ABC)的外部的外部时时, ,圆周角圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC的大的大小关系会怎样小关系会怎样? ? 提示提示: :能否也转化为能否也转化为1 1的情况的情况? ? 过点过点B B作

7、直径作直径BD.BD.由由1 1可得可得: : O ABC = AOC. ABC = AOC. 21你能写出这个命题吗你能写出这个命题吗? ? 同弧所对的同弧所对的圆周角圆周角等于它所对等于它所对的的圆心角圆心角的一半的一半. . ABD = AOD,CBD = COD,ABD = AOD,CBD = COD, 2121A B C O A B C 归纳：归纳： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 定定 理理 巩固练习：巩固练习： 如图，点如图，点A,B,C,DA,B,C,D在同一个

8、圆上，四在同一个圆上，四 边形边形ABCDABCD的对角线把的对角线把4 4个内角分成个内角分成 8 8个角，这些角中哪些是相等的角？个角，这些角中哪些是相等的角？ A B C D 1 2 3 4 5 6 7 8 练习：练习： 2.如图，圆心角如图，圆心角AOB=100，则，则ACB=_。 O A B C B A O . 70 x 1.求圆中角求圆中角X的度数的度数 A O . X 120 A O . X 120 C C D B 问题问题1：如图，：如图，AB是是O的直径，请问：的直径，请问： C1、C2、C3的度数是的度数是 。 A B O C1 C2 C3 推论：半圆（或直径）所对的推论：

9、半圆（或直径）所对的圆周角是圆周角是直角直角；90的圆周的圆周角所对的弦是角所对的弦是直径直径。 问题问题2： 若若C1、C2、C3是直角，那么是直角，那么AOB是是 。 90 180 探究与思考： 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等吗？为什么？它们所对弧一定相等吗？为什么？ 在同圆或等圆中，如果两个在同圆或等圆中，如果两个 圆周角圆周角相等，它们所对的相等，它们所对的弧弧 一定相等一定相等 OFBACEG 相等的两个圆周角所对的弧相等吗？相等的两个圆周角所对的弧相等吗？ C A B B A C 如图，如图，ABC=30，ABC=30，但

10、是，但是 ACA C 当球员在当球员在B,D,EB,D,E处射门时处射门时, ,他所处的位置对球门他所处的位置对球门ACAC分别形成三个张角分别形成三个张角ABC, ABC, ADC,AEC.ADC,AEC.这三个角这三个角的大小有什么关系的大小有什么关系?.?. B A C D E E E O O B B D D C C A A 规律：都相等，都等于圆心角规律：都相等，都等于圆心角AOCAOC的一半的一半 ACAC所对的圆周角所对的圆周角 AEC ABC AEC ABC ADC ADC的大小有什么关系？的大小有什么关系？ 结论：结论：同弧或等弧同弧或等弧所对的圆周角相等。所对的圆周角相等。

11、例例2 2 在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门合向对方球门MNMN进攻，当甲带球冲到进攻，当甲带球冲到A A点时，乙已点时，乙已跟随冲到跟随冲到B B点点( (如图如图2)2)此时甲是自己直接射门好，此时甲是自己直接射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？（导航还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？（导航1919页请你思考页请你思考5 5） 分析 在真正的足球比赛中情况会很复杂，这里仅用数学方法从两点的静止状态加以考虑，如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键看这两个点分别对球门MN的张角大小，当张角较小时，则球容易被对方守门员

12、拦截.怎样比较A、B两点对MN张角的大小呢？ 解解 考虑过M、N以及A、B中的任一点作一圆，这里不妨作出BMN，显然，A点在BMN外，设MA交圆于C，则 MANMCN，而MCN=MBN， 所以MANMBN 因此，甲应将球回传给乙，让乙射门. 求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形（提示：作出以这条边为直径的圆三角形是直角三角形（提示：作出以这条边为直径的圆.） A B C O 求证：求证： ABC 为直角三角形为直角三角形. 证明：证明： CO= AB, 12以以AB为直径作为直径作O， AO=BO， AO=B

13、O=CO. 点点C在在O上上. 又又AB为直径为直径, ACB= 180= 90. 12已知：已知：ABC 中，中，CO为为AB边上的中线，边上的中线， 12且且CO= AB ABC 为直角三角形为直角三角形. 课本课本 练练 习习 3 3：已知：已知O O中弦中弦ABAB的等于半径，的等于半径， 求弦求弦ABAB所对的圆心角和圆周角的度数。所对的圆心角和圆周角的度数。 O A B 圆心角为圆心角为6060度度 圆周角为圆周角为 30 30 度度 或或 150 150 度。度。 圆的内接四边形的对角互补。圆的内接四边形的对角互补。 例例 如图，如图，O直径直径AB为为10cm，弦，弦AC为为6

14、cm，ACB的平的平分线交分线交O于于D，求，求BC、AD、BD的长的长 86102222ACABBC又在又在RtABD中，中，AD2+BD2=AB2， 22105 2(cm)22ADBDAB解：解：AB是直径，是直径， ACB= ADB=90 在在RtABC中，中， CD平分平分ACB， AD=BD. .ACDBCD 例题例题 OABCD练一练 1、如图，在、如图，在O中，中，ABC=50， 则则AOC等于（等于（ ） A、50； B、80； C、90； D、100 A C B O D 2、如图，、如图，ABC是等边三角形，是等边三角形， 动点动点P在圆周的劣弧在圆周的劣弧AB上，且不上，且

15、不 与与A、B重合，则重合，则BPC等于（等于（ ） A、30； B、60； C、90； D、45 C A B P B 练一练 3、如图，、如图，A=50， AOC=60 BD是是O的直径，则的直径，则AEB等于（等于（ ） A、70； B、110； C、90； D、120 B 4、如图，、如图，ABC的顶点的顶点A、B、C 都在都在O上，上，C30 ，AB2， 则则O的半径是的半径是 。 A C B O D E C A B O 解：连接解：连接OA、OB C=30 ，AOB=60 又又OA=OB ，AOB是等边三角形是等边三角形 OA=OB=AB=2，即半径为，即半径为2。 2 在在O中，中

16、，CBD=30 ,BDC=20,求求A 在在O O中，中，CBD=30CBD=30 ,BDC=20,BDC=20, ,求求A A 2 2、如图，在、如图，在O O中，中，ABAB为直径，为直径，CB = CF,CB = CF, 弦弦CGABCGAB，交，交ABAB于于D D，交，交BFBF于于E E 求证：求证：BE=ECBE=EC 练习练习:如图如图 AB是是O的直径的直径, C ,D是圆上的两是圆上的两点点,若若ABD=40,则则BCD=. A B O C D 40 5.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下少种

17、方法？与同学交流一下 D A B C O O O 方法一方法一 方法二方法二 方法三方法三 方法四方法四 A B 练练 习习 A B E C O D 如图所示，已知如图所示，已知ABCABC的三个顶点都在的三个顶点都在OO上，上，ADAD是是ABCABC的高，的高，AEAE是是OO的直径的直径. . 求证：求证：BAEBAECADCAD 第二课时 应用 回顾：圆周角定理及推论？ 思考：判断正误： 1.同弧或等弧所对的圆周角相等（ ） 2.相等的圆周角所对的弧相等（ ） 3.90角所对的弦是直径（ ） 4.直径所对的角等于90（ ） 5.长等于半径的弦所对的圆周角等于30（ ） 课堂练习 1.1

18、.如图，如图，OAOA、OBOB、OCOC都是都是O O的半径，的半径，AOB=2BOCAOB=2BOC，ACBACB与与BACBAC的大小有什的大小有什么关系？为什么？么关系？为什么？ OABC2.2.如图，如图，A A、B B、C C、D D是是O O上的四个点，且上的四个点，且 BCD=100BCD=100，求，求BODBOD（ 所对的圆心角）所对的圆心角） 和和BADBAD的大小。的大小。 OBDCA探究 3 3、如图，、如图，ABAB是是O O的直径，的直径，BDBD是是O O的弦，延长的弦，延长BDBD到到点点C C，使，使DC=BDDC=BD，连接，连接ACAC交交O O于点于点

19、F F，点，点F F不与点不与点A A重合。重合。 （1 1）ABAB与与ACAC的大小有什么关系？为什么？的大小有什么关系？为什么？ （2 2）按角的大小分类，请你判断）按角的大小分类，请你判断ABCABC属于哪一类属于哪一类三角形，并说明理由。三角形，并说明理由。 A C B D F O ABC是锐角三角形是锐角三角形 解：（解：（1）AB=AC。 证明：连接证明：连接AD 又又DC=BD，AB=AC。 （2）ABC是锐角三角形。是锐角三角形。 由（由（1）知，）知，B=C90 连接连接BF，则，则AFB=90 ，A90 AB是直径，是直径，ADB=90， 1.AB1.AB、ACAC为为O

20、 O的两条弦，延长的两条弦，延长CACA到到D D，使，使 AD=ABAD=AB，如果，如果ADB=35ADB=35 ， 求求BOCBOC的度数。的度数。 2 2、如图，在、如图，在O O中，中，BC=2DEBC=2DE， BOC=84BOC=84， 求求 A A的度数。的度数。 BOC =140BOC =140 A=21A=21 4 4、在、在O O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x+100)(2x+100)和和(5x(5x- -30)30)，则，则x=x=_ _ _； 3. 3. 如图，在直径为如图，在直径为ABAB的半圆中，的半圆中，O O为圆心，为圆心，C C、D D 为半圆上的两点，为半圆上的两点，COD=50COD=50，则，则 CAD=_CAD=_； 2020 5050 拓展练习拓展练习 如图,点P是O外一点,点A、B、Q是O上的点。（1）求证P AQB （2）如果点P在O内， P与AQB有怎样的关系？为什么？ OBpQA