中考几何综合

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1、代几综合点睛提分1、翻折与几何探究【例1】 如图，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP（1）如图，若M为AD边的中点AEM的周长_cm；求证：EPAEDP；（2）随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A、D重合），PDM的周长是否发生变化？请说明理由图BCEADFCNCPCMC图BCEADFCNCPCMC【解析】 （1）6 BCEADFCNCPCMCGC图证明：如图，取EP中点G，连接MG在梯形AEPD中，M、G分别是AD、EP的中点MG( AEDP ) 由折叠得EMPB，又

2、G为EP的中点MG EP 故EPAEDP（2）PDM的周长保持不变证明：如图，设AMx cm在RtAEM中，由AE 2x 2( 4AE )2，得AE2x 2 DMPAME，AEMAME，DMPAEM又DA，DMPAEM 图BCEADFCNCPCMC，即CDMP ( 4x )8cm 故PDM的周长保持不变【例2】 操作发现如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE沿BE折叠后得到GBE，且点G在矩形ABCD内部小明将BG延长交DC于点F，认为GFDF，你同意吗？说明理由GBCEFAD（2）问题解决保持（1）中的条件不变，若DC2DF，求的值；（3）类比探究保持（1）中的条件不变，若DCnDF

3、，求的值【解析】 （1）同意连接EF，则EGFD90，EGAEED，EFEFRtEGFRtEDF，GFDF （2）由（1）知GFDF，设DFx，BCy，则有GFx，ADyGBCEFADDC2DF，CFx，DCABBG2xBFBGGF3x在RtBCF中，BC 2CF 2BF 2，即y 2x 2(3x)2yx， （3）由（1）知GFDF，设DFx，BCy，则有GFx，ADyDCnDF，DCABBGnxCF(n1)x，BFBGGF(n1)x在RtBCF中，BC 2CF 2BF 2，即y 2(n1)x2(n1)x2yx，（或）【例3】 如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O（0，0

4、），A（3，0），C（0，2），点P是OA边上的动点（与点O、A不重合）现将PAB沿PB翻折，得到PDB；再在OC边上选取适当的点E，将POE沿PE翻折，得到PFE，并使直线PD、PF重合（1）设P（x，0），E（0，y），求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；（2）如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；（3）在（2）的情况下，在该抛物线上是否存在点M，使PEM是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点M的坐标图1CBADFEPOxy图2CBADFEPOxy 【解析】 （1）由已知PB平分APD，PE平分OPF，且PD、PF重合，则BP

5、E90OPEAPB90图1CBADFEPOxy又APBABP90，OPEPBARtPOERtBPA ，即yx(3x)x 2x（0x3）(x)2当x时，y有最大值 （2）由已知，PAB、POE均为等腰三角形，可得P（1，0），E（0，1），B（3，2）设过此三点的抛物线的函数关系式为yax 2bxc则 解得yx 2x1 （3）由（2）知EPB90，即点M与点B重合时满足条件 图2CBADFEPOxy直线PB为yx1，与y轴交于点（0，1）将PB向上平移2个单位则过点E（0，1）该直线为yx1 由 得 M（4，5）故该抛物线上存在两点M（3，2）、（4，5）满足条件【例4】 如图1，点M、N分别是

6、正方形ABCD的边AB、AD的中点，连结CN、DM（1）判断CN、DM的关系，并说明理由；（2）设CN、DM的交点为H，连结BH，如图2，求证：BHAB；（3）将ADM沿DM翻折得到ADM，延长MA 交DC的延长线于点E，如图3，求CE : CB的值DACBNMH图1DACBNMH图2DACBNMH图3EA【解析】 （1）CNDM，CNDM证明：M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，DNAM又NDCA90，DCAD，DCNADMDCNADM，CNDM ADMMDC90，MDCDCN90DHC90，CNDM DACBNMH图1（2）如图2，延长DM、CB交于点FDACBNMH图2FAM

7、BM，AMDBMF，AMBF90，ADMBFMBFADBC 由（1）知HFC是直角三角形，BHFCBC BHAB （3）过E作EGMD于G，设正方形ABCD的边长为2a，则AMa，MDaEMDAMDEDM，DEMEHDMDMD HDEAMD，DHEA90，HEDADM，DEMDaaCEa2aa CE : CBa : 2a DACBNMH图3EAG【例5】 如图1，在矩形ABCD中，AB6，AD，点P是边BC上的动点（点P不与B、C重合)，过点P作直线PQBD，交CD边于Q点，再把PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点设CPx，PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y（1）求CPQ的度数（2

8、）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的边AB上？（3）如图2，当点R在矩形ABCD外部时，求y与x的函数关系式，并求此时函数值y的取值范围ABCDQPR图1DAERFBCPQ图2【解析】 （1）如图1，矩形ABCD，ABCD，ADBC又AB6，AD，C90，CD6，BCtanCBD，CBD60PQBD，CPQCBD60（2）如图2，当点R落在矩形ABCD的边AB上时ABCDQPR图2由轴对称的性质可知，RPQCPQRPQCPQ60，RPCPRPB60，RP2BPCPx，RPx，BPx 在RPB中，根据题意得：x2(x)解得：x （3）如图3，当点R在矩形ABCD外部时DAERFBCPQ图3x在

9、RtPFB中，RPB60，PF2BP2(x)又RPCPx，RFRPPF3x在RtERF中，EFRPFB30，ERx4SERF ERRF(x4)(3x)x 212x ySRPQSERF xx(x 212x)x 212x（x）yx 212x(x)2当x时，函数值y随自变量x的增大而增大又当x时，y()2当x时，y函数值y的取值范围是：y2、旋转与几何探究【例1】 如图，已知RtABC中，C90，ACBC2，将一个含30的RtDEF最小内角所在顶点D与RtABC的顶点C重合，当DEF绕点C旋转时，较长的直角边和斜边始终与线段BA交于G、H两点（G、H可以与B、A重合）（1）如图，当BCGACH时，求

10、GH的长；（2）如图，在DEF旋转的过程中，设两三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为S，问：S是否有最大值？若有，求出这个最大值；若没有，请说明理由AGBFECH(D)图AGBFECH(D)图【解析】 （1）BCGACH，BCGACH，BGAH，CGCH又ACB90，ECF30，ACH30如图，过点H作HKAC于K设HKx，A45，AKx又ACH30，CKxAC2，xx2解得：x1 BGAHxACBC2，ABAGBFECH(D)图KGHAB2AH2() （2）如图，过点C作COAB于OAGBFECH(D)图OAB，OCABSGHOCGH 显然，当GH最大时，S有最大值当H与A（或G与B）重合

11、时，GH最大，理由如下：如图，过点C作COAB于O ABC(D)图E1F1E2F2(H2)P1P2OH1G1G2ACO45，G1CO45BCG145G1COC/cosG1CO，ACOC/cos45ACG1C 过G1、H2分别作G1P1DE1、H2P2DF2，垂足分别为P1、P2则G1P1G1C，H2P2AC，H2P2G1P1 G1H1P1BCH1BE1CF1B，而E1CF1B304575G1H1P175又P2G2H2E2CF2BAC304575，G1H1P1P2G2H2G2H2H2P2/sinP2G2H2，G1H1G1P1/sinG1H1P1，G2H2G1H1当H与A（或G与B）重合时，S最大

12、当H与A重合时，过点G作GKAC于K，如图ABC(D)图(H)FEGK由于ECF30，故由（1）知GK1 S最大ACGK2(1)1 【例2】 如图1，RtABCRtEDF，ACBF90，AE30EDF绕着边AB的中点D旋转，DE，DF分别交线段AC于点M，K（1）观察：如图2、图3，当CDF0或60时，AMCK_MK（填“”，“”或“”）如图4，当CDF30时，AMCK_MK（只填“”或“”）（2）猜想：如图1，当0CDF60时，AMCK_MK，证明你所得到的结论（3）如果MK 2CK 2AM 2，请直接写出CDF的度数和的值DBCAFEMK图1DBCA(F,K)EM图2DBCAFEK图3(M

13、)DBCAFEMK图4【解析】 （1） （2）证明：作点C关于FD的对称点G，连接GK、GM、GDDBCAFEMKG则GDCD，GKCK，GDKCDKD是AB的中点，ADCDGDA30，CDA120EDF60，GDMGDK60ADMCDK60ADMGDM 又DMDM，ADMGDM，GMAMGMGKMK，AMCKMK （3）CDF15，【例3】 如图，在ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DEBC，将ADE绕A点顺时针旋转一定角度，连结BD、CE，得到图，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DMBD，ENCE，连结AM、AN、MN，得到图，请解答下列问题：（1）若ABAC，请探究下列数量关

14、系： 在图中，BD与CE的数量关系是_； 在图中，猜想AM与AN的数量关系、MAN与BAC的数量关系，并证明你的猜想；（2）若ABkAC（k1），按上述操作方法，得到图，请继续探究：AM与AN的数量关系、MAN与BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明DBCAE图DBCA图EMNDBCA图EDBCA图EMN【解析】 （1）BDCEAMAN，MANBAC 证明：在BAD和CAE中BACDAE，BADCAE由题意知：ABAC，ADAEBADCAE DBCA图EMNBDCE，ABDACE又DMBD，ENCE，BMCNABMACNAMANBAMCAN，MANBAC（2）AMkANMANBAC 证明

15、如下BACDAE，BADCAEDBCA图EMNk，BADCAE，ABDACE，BDkCE又DMBD，ENCEBMBD，CNCE，ABMCANk，BAMCANAMkAN，MANBAC【例4】 如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接BG与DE相交于点H（1）试猜想BHD的度数，并说明理由；（2）将正方形ABCD绕点A逆时针旋转（0BAE180），设ABE的面积为S1，ADG的面积为S2，判断S1与S2的大小关系，并给予证明；CBAHEDGF（3）若AB3，AE，设DBE的面积为S，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转一周，求S的取值范围【解析】 （1）猜想：BHD90，理由如下：GAEB

16、AD90，GABEAD又AGAE，ABAD，ABGADE 12又34，132490BHD90（2）当正方形ABCD绕点A逆时针旋转（0BAE180）时，S1和S2总保持相等CBAHEDGFMN1234图1证明如下：由于0BAE180，因此分三种情况：当0BAE90时（如图1）过点B作BM直线AE于点M，过点D作DN直线AG于点NMANBAD90，MABNAD又AMBAND90，ABADAMBAND，BMDN又AEAG，AEBMAGDNCBAEDGF图2S1S2 当BAE90时（如图2）AEAG，DAGBAE90，ABADABEADGS1S2 当90BAE180时（如图3）CBAEDGF图3和一

17、样，同理可证S1S2综上所述，在（2）的条件下，总有S1S2 （3）正方形ABCD在绕点A旋转的过程中，它的对称中心O的轨迹是以点A为圆心，AO为半径的圆（如图4）因为DBE的边BD，故当E点到BD的距离取得最大、最小值时，S取得最大、最小值当O1在直线AE上时，S取得最大值S最大()当O2在直线AE上时，S 取得最小值S最小() CBAEDGF图4BCDO1O2故S的取值范围是： S 【例5】 已知：在ABC中，ABAC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，BAEBDF，点M在线段DF上，ABEDBM（1）如图1，当ABC45时，求证：AEMD；（2）如图2，当

18、ABC60时，则线段AE、MD之间的数量关系为_；MBACD（图1）（图2）EFMBACDEF（3）在（2）的条件下，延长BM到P，使MPBM，连接CP，若AB7，AE，求tanACP的值【解析】 （1）证明：如图1，连接ADABAC，BDCD，ADBC又ABC45，BDABcosABC，即ABBDBAEBDM，ABEDBM，ABEDBM ，AEMD （2）AE2MD MBACD（图1）EF（3）解：如图2，连接AD、EPABAC，ABC60，ABC为等边三角形又D为BC中点，ADBCDAC30，BDDCABBAEBDM，ABEDBMABEDBM，2，AEBDMBEB2BM又BMMP，EBBP

19、又EBMABC60，BEP为等边三角形 EMBP，BMD90，AEB90 在RtAEB中，AE，AB7（图2）MBACDEFPNHBE，tanEABD为BC中点，M为BP中点，DMPCMDBPCB，EABPCBtanPCB 在RtABD中，ADABsinABD在RtNDC中，NDDCtanNCDNAADND过N作NHAC，垂足为H在RtANH中，NHAN，AHANcosNAH CHACAH，tanACP3、动点与几何探究【例1】 已知：线段OAOB，点C为OB中点，D为线段OA上一点，连结AC，BD交于点P（1）如图1，当OAOB，且D为OA中点时，求的值；（2）如图2，当OAOB，且时，求t

20、anBPC的值；（3）如图3，当AD : AO : OB=1 : n :时，直接写出tanBPC的值ABCODP图1ABCODP图2ACODP图3B【解析】 （1）延长AC至点E，使CECA，连接BEC为OB中点，BCEOCAABCDPOEBEOA，EOACBEOA，APDEPB又D为OA中点，OAOB，2 （2）延长AC至点H，使CHCA，连结BHC为OB中点，BCHOCADCOPHABCBHO90，BHOA由，设ADt，OD3t，则BHOAOB4t在RtBOD中，BD5tOABH，HBPADP4BP4PDBD4t，BHBP tanBPCtanH （3）tanBPC【例2】 如图1，在RtA

21、BC中，ACB90，AC6，BC8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，EMBD垂足为M，ENCD垂足为N（1）当ADCD时，求证：DEAC；（2）探究：AD为何值时，BME与CNE相似？（3）探究：AD为何值时，四边形MEND与BDE的面积相等？图1ECAMDBN图2（备用图）CAB图3（备用图）CAB【解析】 （1）证明：ADCD，DACDCA图1ECAMDBNBDC2DAC 又DE是BDC的平分线BDC2BDEDACBDE DEAC （2）解：（）当BMECNE时（如图1），得MBENCEBDDCDE平分BDCDEBC，BEEC又ACB90，DEAC ，即BDAB5AD5

22、（）当BMEENC时（如图2），得EBMCENENBD又ENCD，BDCD，即CD是ABC斜边上的高 图2ECAMDBN由三角形面积公式得ABCD=ACBC，CDAD 综上，当AD5或时，BME与CNE相似（3）解法1：由角平分线性质易得SMDE SDEN DMMES四边形MEND SBDE DMMEBDME，即DMBD EM是BD的垂直平分线.EDBB图3ECAMDBNEDBCDE，BCDE又DCEBCDCDECBD ，即CD又cosB，CD45 由式得CEBE8，BMBEcosBADAB2BM102 解法2：同解法1可得：EDBB如图4，过点C作CFAB于F，交DE于P，过点P作PGCD于

23、GtanB，可设PF3a，DF4a图4ECAMDBNFPNGN由角平分线性质得GP3aCP3a，CD 2(4a)2()2PCGDCF，CGPCFD90CGPCFD ，即 a0，a 在RtACF中，AC6，cosA，得AFADAFDF4 解法3：同解法1可得：BMBD 如图5，过点D作DPAC于PPCDECN90，PCDPDC90PDCECN，RtCPDRtENC （*）图5ECAMDBNPN设ADx，则APx，PDxCP6x，BMBDEMBMtanB(10x)由角平分线性质知EN(10x)又BE(10x)CEBCBE(145x)由（*）得CNPDx 在RtCNE中，CN 2EN 2CE 2即(

24、x)2(10x)2(145x)2解得x当AD时，S四边形MEND SBDE【例3】 刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图、图中，B90，A30，BC6cm；图中，D90，E45，DE4cm图是刘卫同学所做的一个实验：他将DEF的直角边DE与ABC的斜边AC重合在一起，并将DEF沿AC方向移动在移动过程中，D、E两点始终在AC边上（移动开始时点D与点A重合）（1）在DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐_（填“不变”、“变大”或“变小”）（2）刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：问题：当DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线

25、与AB平行？问题：当DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形？问题：在DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得FCD15？如果存在，求出AD的长度；如果不存在，请说明理由请你分别完成上述三个问题的解答过程（图）ACB（图）ACBDEF（图）DEF【解析】 （1）变小（2）问题：ACBDEF30B90，A30，BC6，AC12FDE90，DEF45，DE4，DF4连结FC，设FCAB，则FCDA30在RtFDC中，DCADACDC12即AD(12)cm时，FCAB 问题：设ADx，在RtFDC中，FC 2DC 2FD 2(12x)216

26、（）当FC为斜边时由AD 2BC 2FC 2得：x 26 2(12x)216，x（）当AD为斜边时由FC 2BC 2AD 2得：(12x)2166 2x 2，x8（不合题意，舍去）（）当BC为斜边时由AD 2FC 2BC 2得：x 2(12x)2166 2即x 212x620，1442480，方程无解另解：BC不能为斜边FCCD，FCAD12FC、AD中至少有一条线段的长度大于6BC不能为斜边由（）、（）、（）得，当xcm时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形ACBDEF15P1515问题：解法一：不存在这样的位置，使得FCD15理由如下：假设FCD15由FED45得EF

27、C30作EFC的平分线，交AC于点P则EFPCFPFCP15PFPC，DFPDFEEFP60PD，PCPF2FD8PCPD812不存在这样的位置，使得FCD15解法二：不存在这样的位置，使得FCD15ACBDEF1530H理由如下：假设FCD15，设ADx由FED45得EFC30作EHFC，垂足为H，则HEEFCEACADDE8x，且FC 2(12x)216FDCEHC90，DCF为公共角CHECDF，又()2()2，()2即，整理得x 28x320x140，x248，均不合题意，舍去不存在这样的位置，使得FCD15【例4】 如图，在等边ABC中，线段AM为BC边上的中线，动点D在直线AM上时

28、，以CD为一边且在CD的下方作等边CDE，连结BE（1）填空：ACB_度；（2）当点D在线段AM上（点不运动到点A）时，试求出的值；（3）若AB8，以点C为圆心，以5为半径作C与直线BE相交于点P、Q两点，在点D运动的过程中（点D与点A重合除外），试求PQ的长EDCBMA备用图（2）CBA备用图（1）CBA【解析】 （1）60 （2）ABC与DEC都是等边三角形ACBC，CDCE，ACBDCE60ACDDCBDCBBCEACDBCEACDBCEADBE，1（3）如图（1）当点D在线段AM上（不与点A重合）时由（2）可知ACDBCE，则CBECAD30作CHBE于点H，则PQ2HQ，连结CQ，则

29、CQ5在RtCBH中，CBH30，BCAB8，则CH4在RtCHQ中，由勾股定理得：HQ3图（1）EDCBMAHQP则PQ2HQ6 如图（2），当点D在线段AM的延长线上时ABC与DEC都是等边三角形ACBC，CDCE，ACBDCE60ACBDCBDCBDCEACDBCE，ACDBCECBECAD30，同理可得：PQ6 如图（3），当点D在线段MA的延长线上时ABC与DEC都是等边三角形ACBC，CDCE，ACBDCE60ACDDCBDCBBCEACDBCEACDBCE，CBECADCAM30，CBECAD150CBQ30，同理可得：PQ6综上，在点D运动的过程中（点D与点A重合除外），PQ的

30、长为6 13分EDCBMQPA图（3）EDCBMQPA图（2）【例5】 已知：ABC是任意三角形（1）如图1，点M、P、N分别是边AB、BC、CA的中点求证：MPNA；（2）如图2，点M、N分别在边AB、AC上，且，点P1、P2是边BC的三等分点，你认为MP1NMP2NA是否正确？请说明你的理由；（3）如图3，点M、N分别在边AB、AC上，且，点P1、P2、P2009是边BC的2010等分点，则MP1NMP2NMP2009N_CBAMN图2P1P2CBAMN图3P1P2P2009CBAPMN图1【解析】 （1）证明：点M、P、N分别是AB、BC、CA的中点线段MP、PN是ABC的中位线MPAN

31、，PNAM 四边形AMPN是平行四边形 MPN=A （2）MP1NMP2NA正确 如图，连接MN CBAMNP1P212，AAAMNABCAMNB，MNBC，MNBC 点P1、P2是边BC的三等分点MN与BP1平行且相等，MN与P1P2平行且相等，MN与P2C平行且相等四边形MBP1N、MP1P2N、MP2CN都是平行四边形MBNP1，MP1NP2，MP2AC MP1N1，MP2N2，BMP2AMP1NMP2N12BMP2A （3）A4、费马点问题【例1】 如图，P为正方形ABCD的边BC上任一点，BGAP于点G，在AP的延长线上取点E，使GEAG，连接BE，CE（1）求证：BEBC；（2）C

32、BE的平分线交AE于N点，连接DN，求证：BNDNAN；（3）若正方形的边长为2，当P点为BC的中点时，直接写出CE的长度PABCDGNE【解析】 （1）四边形ABCD为正方形，ABBCBGAP，AGGE，ABBEBEBC PABCDGNEH（2）过点D作DHAE于HBN平分CBE，EBNCBNABBE，BENBAPBGAP，ABP90，BAPPBGBENPBGBNGBENEBN，BNGGBNBGNGBNNGDHAE，DAB90，BAGADH又ABDA，BAGADHDHAG，BGAHGN，DHHNDNDHAGBNDNAN（3）CE【例2】 如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为

33、对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接AM、CM、EN（1）求证：AMBENB；ADCBMNE（2）当M点在何处时，AMCM的值最小；当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由；（3）当AMBMCM的最小值为1时，求正方形的边长【解析】 （1）ABE是等边三角形BABE，ABE60MBN60MBNABNABEABN即MBANBE又MBNB，AMBENB（SAS）（2）当M点落在BD的中点时，AMCM的值最小如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AMBMCM的值最小理由如下：连接MN由（1）知，AMBENBAMENMBN60，MBNB，BMN是等边三角形B

34、MMNAMBMCMENMNCM根据“两点之间线段最短”，得ENMNCMEC最短当M点位于BD与CE的交点处时AMBMCM的值最小，即等于EC的长（3）过E点作EFBC交CB的延长线于FEBF906030设正方形的边长为x，则BFx，EF在RtEFC中，EF 2FC 2EC 2() 2(xx) 2(1) 2解得，x（舍去负值）正方形的边长为【例3】 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴的正半轴上，为的中线，过、两点的抛物线与轴相交于、两点（在的左侧）.（1）求抛物线的解析式；（2）等边的顶点、在线段上，求及的长；（3）点为内的一个动点，设，请直接写出的最小值,以及取得最小值时，线段的长.

35、 （备用图）【解析】 (1）过作于 =， 点，可得 ， 为中点， ， 点的坐标为 抛物线经过、两点， .可得. 抛物线的解析式为 （2） 抛物线与轴相交于、，在的左侧， 点的坐标为. , 在中，, 过点作于，可得 . 是等边三角形, ,或 （写出一个给1分）（3）可以取到的最小值为 当取得最小值时，线段的长为. 4、几何ADBC【例1】 如图，在ABC中，ABAC，B的平分线与AC交于点D，且BCBDAD，求A的度数【解析】 在BC上截取BEBD，连结DEBD是B的平分线，BCBDAD，BCBEEC，BEBDADBCEADCE，ABAC，CBECDABC，EDECEDCC，BED2C设BCx，

36、则DBEx，BDEBED2x在BDE中，DBEBDEBED180x2x2x180，x40A180240100【例2】 已知：如图，等边三角形ABC中，D是BC边上的一点，且BD2CD，P是AD上的一点，且CPDABC，求证：BPADABCDP【解析】 过A作AHBC于H，设ABC的边长为6，则AHAB，BH3BD2CD，BD4，CD2，DH1ABCDHPADCPDABC，ACDABC60CPDACD，又CDPADC（公共角）CDPADC，即，PD，又，又BDPADH（公共角）BDPADH，BPDAHD90BPAD【例3】 如图，梯形ABCD中，ADBC，ABC90，ABAD，DEBC于E，F为

37、AB上一点，且AFEC，M是FC中点，连结FD、ME，设FC与DE相交于点N（1）求证：FDBFCB；DFNCBD；ME垂直平分BD；AMBCDEFN（2）若ME，求BF的长【解析】 ABC90，ABBC又ADBC，DEBC，DEABADADBC，ABC90，A90四边形ABED是正方形又AFEC，ADFEDCDFDC，ADFEDC又ADFFDE90，EDCFDE90FDC90，DFC是等腰直角三角形设FC与BD相交于点G，则DFGDCF45CBG45，DFGCBG又FGDBGC，FDGBCGFDBFCB FDN45FDB，BCD45FCB，FDNBCD又DFNCBD45DFNCBD 连结DM

38、，则DMFC，FDMCDM45又FDB45ADF，MDE45EDCFDBMDE又，DFBDMEMEDFBD45ME是正方形ABED的对角线，ME垂直平分BD （2）解：由DFBDME可知，FBME2【例4】 . 问题：已知ABC中，BAC=2ACB，点D是ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA。探究DBC与ABC度数的比值。请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。ACB(1) 当BAC=90时，依问题中的条件补全右图。观察图形，AB与AC的数量关系为 ；当推出DAC=15时，可进一步推出DBC的度数为 ；可得到DBC与ABC度数的比值为 ； (2) 当

39、BAC90时，请你画出图形，研究DBC与ABC度数的比值是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。【解析】 (1) 相等；15；1：3。(2) 猜想：DBC与ABC度数的比值与(1)中结论相同。 证明：如图2，作KCA=BAC，过B点作BK/AC交CK于点K，连结DK。BAC90，四边形ABKC是等腰梯形，CK=AB，DC=DA，DCA=DAC，KCA=BAC，BACDK123456图2KCD=3，KCDBAD，2=4，KD=BD，KD=BD=BA=KC。BK/AC，ACB=6，KCA=2ACB，5=ACB，5=6，KC=KB，KD=BD=KB，KBD=60，ACB=6=60-1，BAC=2ACB=120-21，1+(60-1)+(120-21)+2=180，2=21，DBC与ABC度数的比值为1：3。2011年.中考点睛提分课.第1讲XXX.教师版 Page 29 of 29