湖南省雅礼中学高三2月月考文科数学试题及答案

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1、- 1 -雅礼中学雅礼中学 20152015 届高三年级二月份月考试卷届高三年级二月份月考试卷数数 学学 ( (文科文科) )( ( 时量：时量：120120 分钟，满分：分钟，满分：150150 分分) )一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1010 个小题，每题个小题，每题 5 5 分，共分，共 5050 分）分）1 1设全集设全集 |02Uxx，集合，集合1 |0Axx，则集合，则集合ACU= =（ C C ）A A(0,1) B B(0,1 C C(1,2) D D1,2)2 2复数复数31ii等于（等于（ D D ）A A12i B B1 2i C C2i D D2i 3 3设

2、设2 ,0( )2 ,0 xxf xax x，若( 1)2,ff 则a （ B B ）A A、2 2 B B、1 1 C C、-2-2 D D、-1-14 4、某商场在今年端午节的促销活动中，对、某商场在今年端午节的促销活动中，对 6 6 月月 9 9 时时至至 1414 时的销售额进行统计时的销售额进行统计 ，其频率分布直方图如图所示，其频率分布直方图如图所示，已知已知9 9 时至时至 1010 时的销售额为时的销售额为 3 3 万元，则万元，则 1111 时至时至 1212 时的销售为（时的销售为（ C C ）A A8 8 万元万元 B B1010 万元万元 C C1212 万元万元 D

3、D1515 万元万元- 2 -5 5、甲：函数、甲：函数 f x是是 R R 上的单调递增函数；乙：上的单调递增函数；乙：1212,()()xxf xf x，则甲是乙的（，则甲是乙的（ A A ）A A充分不必要条件充分不必要条件 B B必要不充分条件必要不充分条件C C充要条件充要条件 D D既不充分也不既不充分也不必要条件必要条件6 6、某程序框图如右图所示若输出的、某程序框图如右图所示若输出的57S ，则判断，则判断框内应填（框内应填（ A A ）A A4?k B B5?k C C6?k D D7?k 7 7已知某几何体的三视图（单位：已知某几何体的三视图（单位：cmcm）如图所示，则该

4、几何）如图所示，则该几何体的体积是（体的体积是（ B B ）左视图俯视图正视图42315A A48cm48cm3 3 B B98cm98cm3 3 C C88cm88cm3 3 - 3 -D D78cm78cm3 38 8已知实数已知实数, x y满足满足11yxxyy ，则目标函数，则目标函数2zxy的最大值为的最大值为（B B）A A6 B B5 C C12 D D 39.9. 函数函数( )23xf xx的零点所在的一个区间是（的零点所在的一个区间是（ B B ）A A （-2-2，-1-1） B.B.（-1,0-1,0） C.C.（0,10,1） D.D.（1,21,2）1010已知已

5、知1F，2F是双曲线是双曲线22221(0,0)xyabab的左，右焦点，若的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点双曲线左支上存在一点P与点与点2F关于直线关于直线xaby 对称，则该双对称，则该双曲线的离心率为（曲线的离心率为（ ）A A 5 B B52 C C2 D D2【答案答案】A】A【解析解析】试题分析：由已知试题分析：由已知2F到直线到直线bxya的距离为的距离为bbabc22，所以由，所以由双曲线的定义得双曲线的定义得aPFPF212，故，故abPF221，注意到，注意到xabyPF直线/1，所以，所以21PFPF ，所以，所以221224cPFPF即即222cbba22ba ，解

6、得，解得ab2，所以离心率为，所以离心率为512abace- 4 -考点：双曲线离心率考点：双曲线离心率二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 5 个小题，每题个小题，每题 5 5 分，共分，共 2525 分）分）1111直线直线tan3010 xy 的倾斜角是的倾斜角是_32_；1212直线直线exy 与函数与函数xexf)(的图象相切，则切点坐标为的图象相切，则切点坐标为 (1, )e 1313、设、设p在在0,5上随机地取值，则关于上随机地取值，则关于x的方程的方程210 xpx 有实有实数根的概率为数根的概率为 53 1414已知一个数列已知一个数列na的各项是的各项是 0 0

7、或或 1 1，首项为，首项为 0 0，且在第，且在第 k k个个 0 0 和第和第 k k1 1 个个 0 0 之间有之间有21k个个 1 1，即，即0 0，1 1，0 0，1 1，1 1，1 1，0 0，1 1，1 1，1 1，1 1，1 1，1 1， 1 1，0 0，则，则前前 2 2 015015 项中项中 0 0 的个数为的个数为_10_10_ 1515已知已知 G G 点为点为ABCABC 的重心，且的重心，且AGBG ，若，若112tantantanABC，则实数，则实数的值为的值为 14 DGACB 【解析解析】：如图，连接：如图，连接 CGCG 延长交延长交 ABAB 于于 D

8、 D，则，则 D D 为为 ABAB 的中的中点，由题点，由题12AGBGDGAB ，由重心的性质得，由重心的性质得32CDAB，由余，由余弦定理得弦定理得2222cosACADCDAD CDADC，2222cos,BCBDCDBD CDBDCADCBDCADBD，- 5 -2222222221922522ACBCADCDACBCABABAB又又112coscos2 costantantansintsinsinABCABCABCsincoscossinsin2sinsincosABABCABC222222222sin12sinsincos2cos54CABABABABCBC ACCBCACAB

9、ABAB三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 个小题，共计个小题，共计 7575 分。解答应写出文分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）字说明、证明过程或演算步骤）16.16.（本小题满分（本小题满分 1212 分）分）如图，已知函数如图，已知函数)2, 0, 0)(sin()(AxAxf的图象与的图象与y轴的交点为轴的交点为(0,1)(0,1)，它在，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为最低点的坐标分别为)2 ,(0 x和和)2,2(0 x(1)(1)求函数求函数)(xf的解析式及的解析式及0 x的值；的值；(2)(2) 在在AB

10、C中，角中，角A A，B B，C C成等差数列成等差数列 ，求，求( )f x在在0,xB上上的值域的值域解解(1)(1)由题由题22, 2TA即即4T42T21. . 2 2分分)21sin(2)(xxf，由图象经过点，由图象经过点(0,1)(0,1)得得1sin2)0(f，又又2，6. . )621sin(2)(xxf 4 4 分分- 6 -)(226210Zkkx，即，即)(3240Zkkx根据图象可得根据图象可得0 x是最小的正数，则是最小的正数，则320 x 6 6分分(2)(2)由由3B 8 8分分 0 xxB，即，即323 x，则，则2623x 1)621sin(23x，故，故)

11、2 , 3)(xf 1212分分17.17. ( (本小题满分本小题满分 1212 分）分）从某学校的从某学校的 800800 名男生中随机抽取名男生中随机抽取 5050 名测量身高，被测名测量身高，被测学生身高全部介于学生身高全部介于 155cm155cm 和和 195cm195cm 之间，将测量结果按如下之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组方式分成八组：第一组155155，160160） ，第二组，第二组160160，165165） ，第八组，第八组190190，195195，下图是按上述分，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八

12、组人数相同，第六组的人数为的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4 4 人。人。（1 1）求第七组的频率，并估计该校的）求第七组的频率，并估计该校的 800800 名男生的身高的中名男生的身高的中位数以及身高在位数以及身高在 180cm180cm 以上（含以上（含 180cm180cm）的人数；）的人数；（2 2）若从身高属于第六组和第八组的男生中随机抽取两名男）若从身高属于第六组和第八组的男生中随机抽取两名男生，求他们的身高之差不超过生，求他们的身高之差不超过 5 5 的概率。的概率。解：（解：（1 1）第六组的频率为）第六组的频率为40.0850，11 分分第七组的频率第七组

13、的频率- 7 -为为1 0.085 (0.08 20.0160.04 20.06)0.06 （3 3 分）分）易知中位数位于易知中位数位于170,175之间设为之间设为m m，则有，则有(170) 0.040.50.320.18m，174.5m 身高在身高在 180cm180cm 以上（含以上（含 180cm180cm）的人数为）的人数为0.18 800144人人（6 6 分）分）（2 2）设第六组四人分别为）设第六组四人分别为1234,180,185)AAAA ，第八组二人分别为第八组二人分别为12,190,195BB ，则从六人中任取两名共，则从六人中任取两名共有有 1515 种不同取法种

14、不同取法高之差不超过高之差不超过 5 5 的共有的共有 7 7 种情况种情况故故157P（1212 分）分）1818 （本题满分（本题满分 1212 分）分）如图，在等腰梯形如图，在等腰梯形ABCD中，中，/ /ABCD，2CBDCAD，30CAB，四边形，四边形ACFE为矩形，平面为矩形，平面ACFE 平面平面ABCD，3CF（）求证：）求证：BC 平面平面ACFE；（）设点）设点M为为EF中点，求二面角中点，求二面角CAMB的余弦值的余弦值- 8 -【解析解析】:】: （）30 ,30 ,2 3CABDCAAC，BCAC 平面平面ACFE 平面平面ABCD，平面，平面ACFE 平面平面AB

15、CDACBC 平面平面ACFE（）作）作CHAMBC 平面平面ACFE, , AMBC AM 平面平面CHB，BHAMBHC即为二面角即为二面角CAMB的平面角的平面角3,2CHBC，3 13cos13BHC。二面角二面角CAMB的余弦的余弦值是值是3 13131919 （本小题满分（本小题满分 1313 分）分）数列数列 na中，已知中，已知*111411,23log44nnnnaabanNa. .（1 1）求数列）求数列 na、 nb的通项公式；的通项公式；（2 2）设数列）设数列 nc满足满足11) 1(nnnnbbc，且，且 nc的前的前n项和项和nS，若，若2tnSn对对*Nn恒成立

16、，求实数恒成立，求实数t取值范围取值范围. .解析：（解析：（1 1）411nnaa, ,数列数列na是首项为是首项为41，公比为，公比为41的等比的等比数列，数列，*)()41(Nnann. . 33 分分2log341nnab 232)41(log341nbnn. .11b，公差，公差3d- 9 -数列数列nb是首项是首项11b，公差，公差3d的等差数列的等差数列. . 6 6 分分（2 2）由（）由（1 1）知，）知，23,)41(nbannn, , 当当 n n 为偶数时为偶数时11433221nnnnnbbbbbbbbbbS)()()(11534312nnnbbbbbbbbb22)2

17、34(6)(642nnbbbn2)23(23tnnn，即，即)23(23nt对对 n n 取任意正偶数都成立，所以取任意正偶数都成立，所以6t 1010 分分当当 n n 为奇数时，为奇数时，) 13)(23(2) 1(3)1(2311433221nnnnbbbbbbbbbbSnnnnn0273292nn对对6t时时2tnSn恒成立，恒成立，综上，综上，6t. . 1313 分分 . . 2020 （本题满分（本题满分 1313 分）分） 已知动圆已知动圆C过定点过定点）（ 2 , 0M，且在，且在x轴上截得弦长为轴上截得弦长为4设该设该动圆圆心的轨迹为曲线动圆圆心的轨迹为曲线C. . （1

18、1）求曲线）求曲线C方程；方程； （2 2）点）点A为直线为直线l：20 xy上任意一点，过上任意一点，过A作曲线作曲线C的的切线，切点分别为切线，切点分别为P、 Q，APQ面积的最小值及此时点面积的最小值及此时点A的坐标的坐标. .解析：（解析：（1 1）设动圆圆心坐标为）设动圆圆心坐标为( , )C x y，根据题意得，根据题意得 222(2)4xyy+-=+， 化简得化简得24xy=. . （4 4 分）分） （2 2）：设直线）：设直线PQ的方程为的方程为ykxb=+，- 10 - 由由24xyykxb=+ 消去消去y得得2440 xkxb-= 设设1122(,),(,)P x yQ

19、xy，则，则121244xxkx xb+= - ，且，且21616kbD =+ （6 6 分）分） 以点以点P为切点的切线的斜率为为切点的切线的斜率为1112yx=，其切线方程为，其切线方程为1111()2yyx xx-=- 即即2111124yx xx=- 同理过点同理过点Q的切线的方程为的切线的方程为2221124yx xx=- 设两条切线的交点为设两条切线的交点为(,)AAA xy在直线在直线20 xy-=上，上， 12xxQ，解得，解得1212224AAxxxkx xyb+= - ，即，即(2 ,)Akb-则：则：220kb+-=，即，即22bk=- （9 9 分）分）代入代入2221

20、61616323216(1)160kbkkkD =+=+-=-+ 22212|1|4 1PQkxxkkb=+-=+ (2 ,)Akb-到直线到直线PQ的距离为的距离为22| 22 |1kbdk+=+ 3322224(22)4(1)1kkk=-+=-+ 当当1k =时，时，APQSD最小，其最小值为最小，其最小值为4，此时点，此时点A的坐标的坐标为为(2,0). . （1313 分）分）21.21. （本小题满分（本小题满分 1313 分）分） 已知函数已知函数2( )2lnf xxx （1 1）求函数）求函数( )f x的最大值；的最大值；（2 2）若函数）若函数( )f x与与( )ag x

21、xx有相同极值点，有相同极值点，（）求实数）求实数a的值；的值；- 11 -（）若对于）若对于121, ,3xxe，不等式，不等式12()()11f xg xk恒成立，求实数恒成立，求实数k的取值范围的取值范围【解析解析】：（：（1 1）22(1)(1)( )2(0)xxfxxxxx ， 1 1 分分 由由( )00fxx得得01x，由由( )00fxx得得1x ，( )f x在在(0,1)上为增函数，在上为增函数，在(1,)上为减函数，上为减函数， 函数函数( )f x的最大值为的最大值为(1)1f ； 4 4 分分（2 2）( )ag xxx，2( )1ag xx ，（i i）由（）由（1

22、 1）知，）知，1x 是函数是函数( )f x的极值点，又的极值点，又函数函数( )f x与与( )ag xxx有相同极值点，有相同极值点， 1x 是函数是函数( )g x的极值点，的极值点，(1)10ga ，解得，解得1a ，经检验，当经检验，当1a 时，函数时，函数( )g x取到极小值，符合题意；取到极小值，符合题意； 6 6 分分（）211( )2fee ，(1)1f ，(3)92ln3f ， 2192ln321e ， 即即1(3)( )(1)fffe，1 ,3xe ，minmax( )(3)92ln3,( )(1)1f xff xf ， 88 分分由（由（）知）知1( )g xxx，

23、21( )1g xx ，当，当1 ,1)xe时，时，( )0g x，当，当(1,3x时，时，( )0g x，故故( )g x在在1 ,1)e为减函数，在为减函数，在(1,3上为增函数，上为增函数，- 12 -11110( ),(1)2, (3)333geggee，而而11023ee，1(1)( )(3)ggge，1 ,3xe ，minmax10( )(1)2,( )(3)3g xgg xg， 当当10k ，即，即1k 时，对于时，对于121, ,3xxe，不等式，不等式12()()11f xg xk恒恒成立成立12max1 ( )()kf xg x 12max ()()1kf xg x，12( )()(1)(1)123f xg xfg ，312k ，又，又1k ，1k ，1111 分分当当10k ，即，即1k 时，对于时，对于121, , xxee，不等式，不等式12()()11f xg xk，12min1 ()()kf xg x 12min ()()1kf xg x，121037()()(3)(3)92ln32ln333f xg xfg ，342ln33k ，又，又1k ，342ln33k ，综上，所求的实数综上，所求的实数k的取值范围为的取值范围为34(,2ln3(1,)3 1313 分分