数学建模大赛

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1、A题 葡萄酒的评价队员：王磊 李凯阳 孔亚旭摘 要 本文针对品酒师对红葡萄酒和白葡萄酒的品尝打分和葡萄酒的理化指标以及筛选出的优质葡萄，进而分析葡萄酒的质量与哪些因素有关。通过分析我们得出葡萄酒的质量分别与酿酒葡萄、葡萄酒的理化指标及葡萄酒和葡萄的芳香物质有关。综合上诉三种因素才能对葡萄酒进行正确的评价。(1)对于第一问我们主要依据表一中给出的品酒师对各葡萄酒样品的评分，通过计算各个因素的均值，进而算出某种酒的加权平均数，通过比较第一组和第二组的评价结果计算出红、白葡萄酒各样品的加权平均数及加权平均数的方差，用F检测法对红、白葡萄酒加权平均数的方差进行检测 ，并结合MATLA画出的图像分析得出

2、两组评酒员的评价结果有显著性差异；通过比较两组评价结果的加权平均数的方差的大小，得出第二组评价结果更可信。(2)对于第二问我们首先依据第一题的结论评选出几种好酒，主要分析这几种好酒中含有的花色苷，单宁，总酚，酒总黄酮 ，白藜芦醇，DPPH半抑制体积六种主要的物质，并把含有大概等量的这六种物质的葡萄作为标准的葡萄，并算出它们的方差，并以这个方差为标准与各种葡萄样品中这六种物质算出的方差比较，以一定的误差范围来分级，当两种葡萄在误差范围之内而处于同一等级时则以葡萄中含有的氨基酸、蛋白质的含量为依据进行进一步的分级。此外分级后通过与标准葡萄的物质含量图进行拟合的方法来进行验证。(3)对第三问我们通过

3、对表二的数据分析发现葡萄样品的序号与葡萄酒样品的序号有一一对应的关系并且酿酒葡萄的单宁，总酚，酒总黄酮的含量与葡萄酒的单宁，总酚，酒总黄酮的含量有明显的正相关性，我们通过计算出每种葡萄样品和酒样品的这三种物质的和，进而通过模糊综合评价法算出这三种物质的权重，然后算出用每种物质的权重与其相应的含量作积算出每种葡萄和每种酒样品的这三种物质的总和数值，最后用这个数值对葡萄样品和酒样品进行排序，看其排序的相似度，在一定的误差范围内满足正相关性。最后通过几组图形的拟合进行进一步的验证。(4)对第四问首先我们通过由第一问评出的几种好酒与几种次酒的比较找出哪几种物质对酒的质量的影响最大，然后通过第二问中的葡

4、萄等级的划分选出几种上等的葡萄并结合表三中的葡萄中含有的葡萄酒的芳香物质的含量来选出几种优质的葡萄，用优质的葡萄中的物质的含量与用好酒与次酒相比找出的对葡萄酒质量影响最大的物质的含量作比较来进一步确定对葡萄酒的质量影响最大的几种物质。最后通过作图拟合的方法来进行进一步的验证。关键词 加权平均数;模糊综合评价法；图像拟合；辅助分析；F检测法；一、问题重述确定葡萄酒质量时一般是通过聘请一批有资质的评酒员进行品评。每个评酒员在对葡萄酒进行品尝后对其分类指标打分，然后求和得到其总分，从而确定葡萄酒的质量。酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒葡萄检测的理化指标会在一定程度上反映葡萄

5、酒和葡萄的质量。附件1给出了某一年份一些葡萄酒的评价结果，附件2和附件3分别给出了该年份这些葡萄酒的和酿酒葡萄的成分数据。请尝试建立数学模型讨论下列问题：1. 分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信？2. 根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级。3. 分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。4分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量？附件1：葡萄酒品尝评分表（含4个表格）附件2：葡萄和葡萄酒的理化指标（含2个表格）附件3：葡萄和葡萄酒的芳香物质（含4个表格）二、问题假设1、假设题目所给

6、数据可靠无误。2、假设两组评酒员的评价结果客观、公正。3、假设测量时无重大因素的影响。三、符号说明表示第n种样品的加权平均数（得分）； 表示第个品酒员对第n种葡萄酒样品的第j因素的评分； 表示第i种样品中的第j种因素（总酚、单宁、酒总黄酮）的数值； 表示总酚、单宁、酒总黄酮对应的权重； 表示第j个指标的变异系数； 第i组数据的比值。四、问题分析（一）问题1的分析问题1属于显著性分析和可信度的问题，确定葡萄酒质量时一般是通过聘请一批有资质的评酒员进行品评。据此我们可以通过对两组评酒员的评价结果进行分析，通过F检测的方法对两组评酒员的评价结果的红、白葡萄酒的加权平均数的方差进行检测 ，并比较两组数

7、据方差的大小；用附录1给出的各葡萄样品的加权平均数的数据借助MATLA软件1进行拟合对对上述结论进行进一步验证，得出两组评酒员的评价结果有无显著性差异，并确定哪一组结果更可信。（二）问题2的分析 问题2依据第一题的结论评选出几种质量好的酒，首先分析得出对葡萄酒的评价起主要作用的几种物质，分析评选出的几种质量好的酒中主要物质的含量取其平均值作为标准含量，然后对葡萄中这几种物质的含量与标准含量做方差，以对方差的均值为标准，分别与各葡萄样品进行比较，对酿酒葡萄进行分级。（三）问题3的分析 对于问题3为了分析葡萄与葡萄酒的理化指标之间的关系，我们采用模糊综合评价法，结合线性相关从而确定两理化指标的关系

8、。首先根据前两问的结果并结合对数据的观测，我们对理化指标总酚、单宁、酒总黄酮进行比较，根据含量的高低排序，然后比较是否葡萄中含量高的种类对应所酿出的葡萄酒样品中含量也高，并计算出其比率，从而确定其相关性。（四）问题4的分析 对于问题4通过我们的研究发现第四问主要是在前三问的基础之上进行分析的，通过第一问的葡萄的评分我们选出三种好的葡萄酒和三种次的葡萄酒然后通过成分的比较找出对酒的质量影响比较大的几种物质，再以第二问的葡萄等级的划分和表三的芳香物质的含量为依据选出三种优质的葡萄和三种次品的葡萄通过他们的主要物质的含量的差异选出差异比较大的几种主要成分与酒的理化指标做比较，在一定的误差范围内相吻合

9、则把这几种物质作为评价酒的质量好坏的主要物质。五、模型的建立与求解 我们将该问题分为四部分来完成，首先我们结合图像法和数值计算的方差分析附件1中两组评酒员的评价结果是否有显著性差异，如果有显著性的差异我们则选出比较可信的一组，然后以可信的一组为主，不可信的一组为辅选出几种好的酒；其次通过对选出的几种好酒中的花色苷，单宁，总酚，酒总黄酮 ，白藜芦醇，DPPH半抑制体积六种主要成分的分析来挑选出好的葡萄，以这个葡萄为优质葡萄与葡萄样本进行比较，通过计算它们的方差来进行分级，如果它们的方差差不了多少，那我们以一定的误差范围为基准依据样本葡萄的第二指标（氨基酸含量，蛋白质含量等）进行进一步的分等级；再

10、次我们通过对表二的数据分析发现葡萄样品的序号与葡萄酒样品的序号有一一对应的关系并且酿酒葡萄的单宁，总酚，酒总黄酮的含量与葡萄酒的单宁，总酚，酒总黄酮的含量有明显的正相关性，我们通过计算出每种葡萄样品和酒样品的这三种物质的和，进而通过模糊综合评价法算出这三种物质的权重，判断其在一定的误差范围内是否满足正相关性。最后通过对第一，二，三问的结论的综合分析我们找出决定葡萄酒质量的几种物质，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的好坏。（一）两组评酒员的评价结果 对于问题（1）的显著性问题，首先求出两组评酒员的评价结果中每个葡萄酒样品中每种因素的平均值（n表示相应的葡萄样品）。考虑到=（澄清度,

11、色调,纯正度,浓度,质量,纯正度,浓度,持久性质量,平衡/整体评价）这十种因素的单项分值有相应的侧重性，所以有必要按照单项分值的大小进行权重的分配。最终确定澄清度,色调,纯正度,浓度,质量,纯正度,浓度,持久性质量,平衡/整体评价十种因素的权重分别为： =（5,10,6,8,16,6，8，8，22,11），i（表示品酒师）=1,2，n1=10；j（代表酒的九种因素）=1,2，n2=9，(代表红酒的数量)=27，表示相应的第一组品酒员对第n种红酒的评分的加权平均数，表示相应的第二组品酒员对第n种红酒的评分的加权平均数，表示相应的第一组品酒员对第n种白酒的评分的加权平均数，表示相应的第二组品酒员对

12、第n种白酒的评分的加权平均数，酒样品的权重值为。然后根据权重均值公式求得每个酒样品的加权平均数（在Excel中的算法公式为：”=SUMPRODUCT(Mt:Mg,Nt:Ng)/SUM(Mt:Mg)”其中M和N代表对应的Excel中的字母，t和g代表相应的行）。公式如下： 每种酒样品的每种因素的平均值为： = 每种酒样品的加权平均数为： 根据方差公式可得一二组评酒员对红白酒的得分方差： 第一组评酒员对红酒评分的方差为：= 第二组品酒员对红酒评分的方差为： = 第一组评酒员对白酒评分的方差为： = 第二组品酒员对白酒评分的方差为： =根据附录1表中的数值由F检验2可得： 红酒的检测统计量为：白酒的

13、检测统计量 为：查表得所以两组评价的分数据之间存在显著性差异，并且第一组对红酒的评分方=0.021大于第二组对红酒的评分方差=0.012且第一组对白酒的评分方差=0.074大于第二组对白酒的评分方差=0.046则第二组的结果更可信（因为第二组的方差小波动范围小，更接近真实值）。为进一步论证，由MATLAB画出两组加权平均数的分布图如图5和图6所示：图5第一组红酒和第二组红酒的品尝得分的加权平均数图（黑线代表第一组红酒，红线代表第二组红酒）图 6第一组白酒和第二组白酒的品尝得分的加权平均数图（黑线代表第一组白酒，红线代表第二组白酒）由图可知两组的评价结果也有显著性的差异，并且第二组的的波动范围更

14、小，结果更可信。综上可知两组的结果有明显的差异并且第二组的结果更可信。（一）酿酒葡萄的等级划分考虑到葡萄酒并非由单一的某种物质浓度所决定，也就是说并不是某种物资越多越好或越少越好，而是有一定的合适范围。由分析可知葡萄中含有葡萄酒的所需要的主要的六种物质（花色苷，单宁，总酚，酒总黄酮 ，白藜芦醇，DPPH半抑制体积），因此可以由第一问中的10位品酒师的得分算出的各种酒的加权平均数评出几种好酒，对第一组红葡萄酒来说的酒样品的排序如表7，第二组红葡萄酒的酒样品的排序如表8，第一组白葡萄酒的酒样品排序如表9，第二组白葡萄酒的酒样品排序如表10：排序12345678910红酒样品121821413213

15、，23274,1716排序11121314151617181920红酒样品208,157,6,9,2411910255,261122表7第一组红葡萄酒的酒样品排序排序123456789101112白酒样品18220，2712722,16211419345排序131415161718192021222324白酒样品624159108251713,2311261表8第二组红葡萄酒的酒样品排序排序123456789101112白酒样品132752112116,1610,24151417排序131415161718192021222324白酒样品8,20194,1723182825229263表9第一

16、组白葡萄酒的酒样品排序排序12345678910白酒样品31713，1618410,24,25216,191,122排序11121314151617181920白酒样品11,14,2620,2815228952723表10第二组红葡萄酒的酒样品排序依据上面的几各表以第二组为主，第一组为辅选出8种好酒并且以这几种好酒为基础算出这六种物质的平均数，以这六种物质的平均数酿出的酒为最好的酒，则以这六种物质的平均数为优质葡萄的代表，算出葡萄样品与这六种物质的方差，以此作为葡萄分级的主要标准，对于红葡萄酒来说以6%（大概每个等级相差500个单位）的误差范围为依据，对于白葡萄酒来说以4%（大概每个等级相差1

17、个单位）的误差范围为依据，当两种葡萄的六种物质的方差相差在这个范围之内时，就结合葡萄本身的其他物质的含量为依据（如氨基酸的含量，蛋白质的含量）进行进一步的分级。各表见附录2：物质的名称花色苷，DPPH自由基总酚单宁葡萄总黄酮白藜芦醇标准葡萄222.980.236.207.234.9983.746表12 由几种红葡萄好酒算出来的六种物质的平均含量表27种物质和标准葡萄的六种物质的含量的方差由公式得如下表所示：红葡萄的样品方差126263.74927488.091533639.22044931.192752137.71016285.214237551.6768488942.928898547.16

18、5410243.073171192.14710512145.8290613558.52066142916.022615413.4979216495.7396717482.9595118230.32703191938.07632071.50007211101.427722754.45102234114.0135243196.504525338.9645626511.1485927156.06139标准葡萄7963.2555图13标准白葡萄和白葡萄样品的六种物质方差分布表由上面的几个表可以对对红葡萄酒来说的葡萄的好坏进行分级，如下表等级样 品上等一2二8,9三23中等四3,24五14六5,19下等

19、七7，13,15,16,17,22,26,4,21八6,10,12,18,25,27九1,11,20表14 对红葡萄酒来说的葡萄的分级 由表14可知在上等中有8,9两个样品在一个等级里面，中等中有3,24和5,19两组样品在一个等级里面，由于下等的每个等级里面各个样本的差距不大则不再进行进一步的分等级。对于样品8和9来说由题中表所给的成分可以看出样品9的氨基酸和蛋白质等物质的含量比样品8的丰富，则样品9的等级比样品8的等级高；同理可得样品3的等级比样品24的等级高，样品19的等级比样品5的等级高。为了进一步的分析，我们也采用了用Mathlab画图进行分析，图如下所示：图15 标准葡萄与葡萄样品

20、2的拟合曲线图由图可知两者的趋势大体一致，拟合度在误差范围之内，则以上的我们的等级的划分是合理的。白酒葡萄的各项指标如下表所示：白葡萄样品1234567五种含量的平均值DPPH自由基0.32370.30610.28370.36850.24620.33690.3709总酚5.3365.0906.9725.2486.32310.54110.267单宁2.9742.2392.9903.1482.6264.5024.729葡萄总黄酮2.5571.3343.8091.5482.3796.3606.824白藜芦醇0.1553.0381.3570.5301.1621.7271.235白酒样品89101112

21、1314五中含量的平均值DPPH自由基0.10450.37870.34210.23200.44900.40940.4177总酚5.1345.8147.7287.8548.48311.7745.324单宁1.6274.4346.7813.3123.2122.1292.388葡萄总黄酮2.8382.7853.4874.4044.3147.0442.393白藜芦醇0.1370.0870.2460.8220.7520.0950.095白酒样品15161718192021五中含量的平均值DPPH自由基0.35400.09760.25990.21130.20040.33500.2526总酚8.8715.0

22、076.57511.9574.7255.2514.367单宁2.7512.2282.2475.7832.2173.1411.952葡萄总黄酮5.1903.1352.3236.2612.1522.3410.744白藜芦醇4.0231.5721.0261.8201.7820.1570.845白酒样品22232425262728五中含量的平均值DPPH自由基0.36600.36000.40660.21250.29980.38500.3654总酚6.4095.12710.7557.6665.81616.9656.567单宁6.4633.3898.5062.7575.5176.2514.583葡萄总黄酮

23、2.7102.5087.9232.6252.7169.5263.885白藜芦醇0.9691.6500.4830.8501.4261.1552.921表16 28种白葡萄样品中的六种主要物质的平均含量表物质的名称DPPH自由基1/IC50(g/L)总酚mmol/Kg单宁mmol/Kg葡萄总黄酮mmol/Kg白藜芦醇mg/Kg标准葡萄0.05801.6111.9681.3800.341表17 由几种白葡萄好酒算出来的六种物质的平均含量表白葡萄样品方差15.13023.77536.77544.75255.808616.297716.65585.15395.894109.528119.4681210.

24、6391323.908145.085159.313163.807176.378182.981193.274204.996213.890225.928233.5472420.940258.821264.6622747.711284.988标准葡萄0.688图18 标准白葡萄和白葡萄样品的六种物质方差分布表由上面的几个表可以对对白葡萄酒来说的葡萄的好坏进行分级，如下表：等 级上等一19,23,2,16,21二26,4,28，20中等三14,1,8,5,9,22四17,3五25六15,11,10下等七12八6,7九24,18十13十一27表19 对白葡萄酒来说的葡萄的分级由分析可知对白葡萄来说每一个

25、等级里面的方差相差不超过1个单位，则那些辅助的因素对每个等级里的样品的划分有显著的影响，则需要对每个等级里的相差不大的样本进行辅助划分。对第一等来说由辅助因素进行的等级划分如下：21=23216=19.对第二等来说由辅助因素进行的等级划分如下：284=20=26.对第三等来说由辅助因素进行的等级划分如下：59=14=221=8.对第四组来说由辅助因素进行的等级划分如下：317.对第六组来说由辅助因素进行的等级划分如下:151011.对第八组来说由辅助因素进行的等级划分如下：6=7.对第九组来说由辅助因素进行的等级划分如下：2418。（拟合的图形见附录2）(三) 酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的

26、联系根据观测葡萄理化指数与葡萄酒理化指数，主要以葡萄酒的七个根据观测葡萄理化指数与葡萄酒理化指数，主要以葡萄酒的七个理化指标为依据，并结合第二问对葡萄等级的划分可基本得出葡萄与葡萄酒的总酚、单宁、酒总黄酮由着正相关性，我们采用模糊综合评价3的方法对其进一步验证。=1、2、3，分别表示总酚、单宁、酒总黄酮的权数， 表示第i种葡萄中第j因素的数值，表示第i种葡萄酒中第j种因素的数值，m表示红葡萄的总种类数，M表示红葡萄酒的总种类数，表示第i中样品中对应的三种物质的和。建立各因素的指数权数（j=1、2、3）。由系数变异法可知： ， ，其中 ， 利用EXCEL可求得各指标的权数如表20所示：种类 因素

27、权重 总酚单宁酒总黄酮红葡萄0.2960.3130.390红葡萄酒0.3370.2640.399白葡萄0.4030.3420.255白葡萄酒0.2010.2170.582表20利用EXCEL求出对应的三个因素总和：（见附录） 并用EXCEL对红白葡萄和红白葡萄酒的三个量总和进行降序排序，考虑到红白不同种类比较，我们将红酒的表格取其前七和后七组数据分别比较，如下表所示： 红葡萄23921385红葡萄酒2392312117表21 前七组数据的分布表经观察葡萄和葡萄酒前七组数据中各有的有5 组，其概率为： =5/7=71.5%红葡萄274121872611红葡萄酒1518167111526表22 后

28、七组数据的分布表葡萄和葡萄酒后七组数据中各有的有 4组，其概率为：=4/7=57.2%平均概率为：考虑到白葡萄与白酒的出数值比较集中区分度不明显可将其分成两组：白葡萄27241876131022151222112826白葡萄酒2724371814152511131216105表23 第一组数据其中第一组数据中各有8 组，其概率为：=8/14=57.1%白葡萄3259172312041614819221白葡萄酒15420262819172218221236表24第二组数据第二组数据中各有 9组，其概率为：=9/14=64.3%平均概率为： 进过对以上数据的分析可以看出红白葡萄分别于红白葡萄酒用着

29、显著的正相关性，并且红葡萄与红葡萄酒的相关性比白葡萄与白葡萄酒的相关性跟为显著，这有可能是红白葡萄之间的其他不同成分所至，但对总酚、单宁、酒总黄酮整体趋势影响不大。我们用MATLAB拟合出红葡萄与红葡萄酒的三个含量的曲线指标：图25 红葡萄与红葡萄酒的三种含量的曲线关系图图26 白葡萄与白葡萄酒的三种含量的曲线关系图由曲线可知葡萄和葡萄酒的三种含量总酚、单宁、酒总黄酮是正相关性，这与前面的表格分析所得出的结论是基本吻合的。(四) 分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响以及能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量：首先由第一问的结论依据红葡萄酒来选出的三种好酒分别为样品18,2,

30、27；选出的三种次品酒分别为样品 10,25,11；由分析可知三种好红葡萄酒的主要的成分差别和三种次红葡萄酒的的主要成分差别分别如下表所示：成分种类花色苷单宁总黄酮上品红葡萄酒的含量均值242.6468.1626.705次品红葡萄酒的含量均值103.0405.1872.757表27上品红葡萄酒与次品红葡萄酒主要成分差别均值表由分析可知上品红葡萄酒与次品红葡萄酒的主要的成分差别为花色苷，单宁，总黄酮这三种物质，可知这三种物质对红葡萄酒的质量影响比较大。同理由第一问的结论依据白葡萄酒来选出的三种上品白葡萄酒分别为样品 13,16,24；选出的三种次品酒分别为样品28,20,8；由分析可知三种好白葡

31、萄酒的主要的成分差别和三种白红葡萄酒的主要成分差别分别如下表所示：成分种类花色苷单宁总黄酮上品白葡萄酒的含量均值2.4221.4032.421次品白葡萄酒的含量均值2.0731.1110.634表28上品白葡萄酒与次品白葡萄酒主要成分差别均值表由分析可知上品白葡萄酒与次品白葡萄酒的主要的成分差别为花色苷，单宁，总黄酮这三种物质，可知这三种物质对白葡萄酒的质量影响比较大。由第二题的葡萄等级排序我们取出上等的红葡萄并结合葡萄和葡萄酒的芳香物质表中上等葡萄含有的葡萄酒的芳香物质的种类我们选出了三种优质的红葡萄为样品2,9,23；三种次品的红葡萄为样品1,11,20；其含有的主要的三种物质差异表如下：

32、成分种类花色苷单宁总黄酮上品红葡萄的含量均值212.61219.53043.581次品红葡萄的含量均值146.44611.5596.717表29上品红葡萄与次品红葡萄主要成分差别均值表由分析可知上品葡萄与次品葡萄的主要的成分差别为花色苷，单宁，总黄酮这三种物质，可知这三种物质对红葡萄酒的质量影响比较大。由第二题的葡萄等级排序我们取出上等的白葡萄并结合葡萄和葡萄酒的芳香物质表中上等葡萄含有的葡萄酒的芳香物质的种类我们选出了三种优质的白葡萄为样品2,19,23；三种次品的白葡萄为样品18,24,27；其含有的主要的三种物质差异表如下：成分种类花色苷单宁总黄酮上品白葡萄的含量均值1.2402.615

33、1.998次品白葡萄的含量均值0.5356.8477.903表30上品白葡萄与次品白葡萄主要成分差别均值表由以上四个表可以看出酿酒葡萄中含有的花色苷，单宁，总黄酮这三种物质和葡萄酒的这三种理化指标对葡萄酒的质量有显著地影响，可以说这三种物质决定着葡萄酒的质量。通过对第一，二，三问的结论的分析我们可以看出葡萄酒的质量主要与葡萄的质量和葡萄酒的理化指标有关，这两个因素决定着葡萄酒的质量，葡萄酒中含有的成分和色泽都可以用葡萄的质量和葡萄酒的理化指标来反应，因此可以用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量。模型评价 我们的模型分析以主要因素为主，次要因素为辅进行了全面的分析并且结合图形拟合的方法进行了进一步的分析，分析的比较全面。此外我们不仅计算了数据的均值，方差而且还计算了数据的加权平均数，对数据进行了比较全面的处理，因此我们得出的结论还是比较可信的。 当然，由于时间和所掌握的知识有限我们的数据处理还存在着不足以及数据关系的处理还带有一些主观性。参考文献1赵静，但琦，数学建模与数学实验，北京，高等教育出版社，2008.1；2 韩世迁，杨北，概率论与数理统计，北京，化学工业出版社，2010.12；3韩中庚，张岚，数学建模及其应用，北京，高等教育出版社，2009.6；4姜启源，谢金星，数学模型，北京，高等教育出版社，2011.117