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1、2014年高中毕业班质量检测理科数学试卷理科数学备课组（完卷时间：120分钟；满分：150分）第卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题.每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、已知集合M(x,y)|x+y=2,N=(x,y)|xy=4,那么集合MN为( )(A).x=3,y=1 (B).(3，1)(C).3，1(D).(3，1)2.a为正实数，i为虚数单位，|2，则a() (A)2 (B) (C) (D)13.运行下面的程序：当输入168，72时，输出的结果是( ) (A)168 (B)72 (C)36 (D)24 4. 已知命题p： nN，2
2、n1 000，则非p为( )(A)nN，2n1 000(B)nN，2n1 000(C)nN，2n1 000(D)nN，2n1 0005. 已知等比数列an的前项积为n,若,则9=( ). A.512 B.256 C.81 D.166. 如图,设向量,若,且1,则用阴影表示C点所有可能的位置区域正确的是( ) 7. 函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可以是( ). A.f(x)=x+sinx B. C.f(x)=xcosx D.8定义：离心率e= 的椭圆为“黄金椭圆”，已知E： + =1（ab0）的一个焦点为F(c,0)(c0)，则E为“黄金椭圆”是“a、b、c成等比数列”的(
3、)(A)既不充分也不必要条件 (B)充分且必要条件(C)充分不必要条件 (D)必要不充分条件 9函数的零点所在的区间为( )(A)(0，1)(B)(1，2) (C)(2，3) (D)(3，4)10.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d(b、c、d为常数),当x(0,1)时取得极大值,当x(1,2)时取极小值,则的取值范围是( ).A. B. C. D.(5,25)第卷(非选择题 共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分11. 从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有_种.12. 若 展开式中第6项的系数最大，则不含
4、x的项等于_.13. 若直线与圆相交于A、B两点,则的值为 14. 若某几何体的三视图(单位：cm) 如图所示，则此几何体的侧面积=_cm2. 15.已知函数 ,若数列am满足,且的前项和为,则= .三、解答题:本大题共六个小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. (13分) 某同学参加语文、数学、英语3门课程的考试.假设该同学语文课程取得优秀成绩的概率为45,数学、英语课程取得优秀成绩的概率分别为m,n(mn),且该同学3门课程都获得优秀成绩的概率为24125,该同学3门课程都未获得优秀成绩的概率为6125,且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.(1)求该生至少有1门课程
5、取得优秀成绩的概率.(2)记为该生取得优秀成绩的课程门数,求的分布列及数学期望E().17. (13分)已知函数f(x)=sin2x+acos2x(aR,a为常数),且4是函数y=f(x)的零点.(1)求a的值,并求函数f(x)的最小正周期;(2)若x0,2,求函数f(x)的值域,并写出f(x)取得最大值时x的值. 18. (13分) 如图，四棱锥的底面是正方形，点E在棱PB上.(）求证：PBAC; () 当PD=2AB,E在何位置时， PB平面EAC;() 在（）的情况下，求二面E-AC-B的余弦值.19(13分) 如图1，已知：抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其中两点坐标分别为（4，0）、
6、（0，2），连结(1）求抛物线的函数关系式；(2）判断的形状，并说明理由；(3）若内部能否截出面积最大的矩形（顶点在各边上）？若能，求出在边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由 20 (14分) 20. （本小题满分14分）已知函数，其中且（）讨论的单调区间；（）若直线的图像恒在函数图像的上方，求的取值范围;（）若存在，使得，求证：.21. 本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中.（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换.已
7、知矩阵,若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为,属于特征值1的一个特征向量.（）求矩阵A的逆矩阵; （）计算A3的值. （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程.已知曲线C的极坐标方程为=4cos,直线l的参数方程是:x=-5+22ty=5+22t(t为参数).(1)求曲线C的直角坐标方程,直线l的普通方程;(2)将曲线C横坐标缩短为原来的12,再向左平移1个单位,得到曲线C1,求曲线C1上的点到直线l距离的最小值.（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 设函数f(x)=|x4|+|x3|,（）求f(x)的最小值m（）当a+2b+3c=m(a,b,cR)时,求a2+b2+c2
8、的最小值.数学(理科)试卷参考答案及评分标准1 D 2 B 3D 4A 5A 6D 7C 8B 9B 10D11. 186 12. 210 13. 0 14. 15 15 804216. 【解析】设事件Ai表示:该生语文、数学、英语课程取得优秀成绩,i=1,2,3.由题意可知P(A1)=45,P(A2)=m,P(A3)=n.(1)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“该生3门课程都未获得优秀成绩”是对立的,所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是1-P(=0)=1-6125=119125.6分(2)由题意可知,P(=0)=P(A1A2A3)=(1-45)(1-m)(1-n)=61
9、25.P(=3)=P(A1A2A3)=45mn=24125.又mn,解得m=35,n=25.P(=1)=P(A1A2A3+A1A2A3+A1A2A3)=37125.P(=2)=1-P(=0)-P(=1)-P(=3)=58125.的分布列为0123P6125371255812524125所以数学期望E()=0P(=0)+1P(=1)+2P(=2)+3P(=3)=9513分17. 【解析】(1)由于4是函数y=f(x)的零点,即x=4是方程f(x)=0的解,从而f(4)=sin2+acos24=0,则1+12a=0,解得a=-2.所以f(x)=sin2x-2cos2x=sin2x-cos2x-1,
10、则f(x)=2sin(2x-4)-1,所以函数f(x)的最小正周期为.6分(2)由x0,2,得2x-4-4,34,则sin(2x-4)-22,1,则-12sin(2x-4)2,-22sin(2x-4)-12-1,函数f(x)的值域为-2,2-1.当2x-4=2k+2(kZ),即x=k+38时,f(x)有最大值,又x0,2,故k=0时,x=38,f(x)有最大值2-1. 13分18【答案】以D为原点DA、DC、DZ分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系 设 则，(） =,=0 ACP4分(）当时， 由（）知，故只要即可 设,，则 ， 由得=0所以，PB平面EAC;8分(）由（）知,设,则 ， 等于二
11、面E-AC-B的平面角 ，二面角E-AC-B的余弦值为.13分.19【答案】（1）.3分(2）是直角三角形证明：令，则是直角三角形.7分(3）能当矩形两个顶点在上时，如图1，交于，设，则，=当时，最大，当矩形一个顶点在上时，与重合，如图2，设，=当时，最大， 综上所述：当矩形两个顶点在上时，坐标分别为，（2，0）；当矩形一个顶点在上时，坐标为 .13分20. 解:(I)f(x)的定义域为.其导数1分当时,函数在上是增函数;2分当时,在区间上,;在区间(0,+)上,所以在是增函数,在(0,+)是减函数. 4分(II)当时, 取，则, 不合题意.当时令,则6分问题化为求恒成立时的取值范围. 由于
12、7分在区间上,;在区间上,.的最小值为,所以只需即,9分()由于当时函数在上是增函数,不满足题意,所以构造函数:()11分则所以函数在区间上为减函数. ,则,于是,又,由在上为减函数可知.即14分21. (1)(本小题满分7分)选修4-2：矩阵与变换解: ()法一:依题意,. 2分所以4分():=25分A3=26313=7分(2)(本小题满分7分)选修4-4：坐标系与参数方程.解.(1)将曲线C:=4cos化为普通方程为(x-2)2+y2=4,直线l的普通方程是x-y+25=03分(2)将曲线C:(x-2)2+y2=4横坐标缩短为原来的12,得到曲线的方程为(2x-2)2+y2=4,即4(x-
13、1)2+y2=4,再向左平移1个单位,得到曲线C1的方程为4x2+y2=4,即x2+y24=1.设曲线C1上的任意一点为(cos,2sin),它到直线l的距离为d=|cos-2sin+25|2=|25-5sin(+)|2.5|25-5sin(+)|35,故102d3102.7分(3) )(本小题满分7分)选修4-5：不等式选讲 解:()法1: f(x)=|x4|+|x3|(x4)(x3)|=1,故函数f(x)的最小值为1. m=1. 4分 法2:.-1分x4时,f(x)1;x1,3x4时,f(x)=1,-3分故函数f(x)的最小值为1. m=1. 4分()由柯西不等式(a2+b2+c2)(12+22+32)(a+2b+3c)2=1-5分故a2+b2+c2-6分当且仅当时取等号7分
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