福建省福州一中高三5月校质检理科数学试题及答案

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1、福建省福州一中2014届高三5月校质检数学理试题（WORD版）2014.5本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分（满分150分 考试时间120分钟）第卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置）1. 已知命题：，则是A， B. ，C，D. ，2. 设集合，则“”是“”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分又不必要条件3. 执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的P值为 A2B3C4D54. 设变量满足约束条件，则的最大值为A. B. 3 C.

2、4 D. 65. 在等差数列中，已知则等于A40B42C43D456. 若，则等于A B C D 7. 函数的图象 A关于轴对称 B关于轴对称C关于直线对称 D关于原点对称8. 已知平面外不共线的三点到的距离都相等，则正确的结论是A平面必平行于B平面必与相交C平面必不垂直于D存在的一条中位线平行于或在内9. 已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为，记它们其中的一个交点为，且，则该椭圆离心率与双曲线离心率必定满足的关系式为A B. C D. 10设 为集合的个不同子集，为了表示这些子集，作行列的数阵，规定第行与第列的数为 则下列说法正确的个数是数阵中第1列的数全是0当且仅当;数阵中第列的数全是1当且仅

3、当;数阵中第行的数字和表明元素属于中的几个子集;数阵中所有的个数字之和不小于;数阵中所有的个数字之和不大于.A2 B. 3 C4 D. 5第卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分把答案填在答题卡的相应位置11若复数，则的共轭复数_.12已知多项式，且满足，则正整数的一个可能值为_.13已知圆，直线，在圆C上任取一点，则点到 直线的距离小于2的概率为_14. 已知，则_.15.已知两个非零向量和所成的角为，规定向量，满足：（1）模：；（2）方向：向量的方向垂直于向量和（向量和构成的平面），且符合“右手定则”：用右手的四指表示向量的方向，然后手指朝着手心的方向摆

4、动角度到向量的方向，大拇指所指的方向就是向量的方向.这样的运算就叫向量的叉乘，又叫外积、向量积.对于向量的叉乘运算，下列说法正确的是_.; 等价于和共线;叉乘运算满足交换律，即;叉乘运算满足数乘结合律，即.三、解答题：本大题共6小题，共80分解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（本小题满分13分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学所需时间的范围是，样本数据分组为，学校规定上学所需时间不小于1小时的学生可以申请在学校住宿.（）求频率分布直方图中的值；（）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；（）用

5、这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，从可以住宿的学生当中随机抽取3人，记为其中上学所需时间不低于80分钟的人数，求的分布列及其数学期望.17. （本小题满分13分）已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形（）求二面角的余弦值;（）试探究在棱上是否存在点，使得 ，若存在，求出的长；若不存在，请说明说明理由.18. （本小题满分13分）如图，直角三角形中，点分别在边和上(点和点不重合)，将沿翻折，变为，使顶点落在边BC上(点和B点不重合).设（）用表示线段的长度，并写出的取值范围；（）求线段长度的最小值 19. （本小题满分13分）已

6、知抛物线的顶点为坐标原点,其焦点到直线的距离为.（）求抛物线的方程;（）若是抛物线上异于原点的任意一点，圆与轴相切. （i）试证：存在一定圆与圆相外切，并求出圆的方程；（ii）若点是直线上任意一点，是圆上两点，且，求的取值范围. 20. （本小题满分14分）已知函数的图象在点(为自然对数的底数)处的切线斜率为3（）求实数的值；（）若，且对任意恒成立，求的最大值；（III）若，证明：21. 本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分如果多做，则按所做的前两题记分作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中（1）（本小题满分7

7、分）选修4-2：矩阵与变换已知矩阵，（）求二阶矩阵，使；（）求圆在矩阵变换下的曲线方程.（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线，已知过点的直线的参数方程为：，直线与曲线分别交于（）写出曲线和直线的普通方程；（）若成等比数列，求的值 （3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知为正实数.（）求证；（）利用（）的结论求函数的最小值.福州一中高考模拟数学试卷（2014年5月）参考答案（理科）一选择题BACDB BADCC二填空题11.；12. 4；13. ；14. 1；15. 三解答题16.解：（I）由直方图可得：.

8、所以. 3分（II）设中位数为，则，解得所以中位数估计为30分钟. .6分（III）依题意得，的所有可能取值为0,1,2,3, .7分.11分所以的分布列为0123所以的数学期望是.13分17. 解：（I）由三视图知，两两两垂直，以为原点，以 所在直线为轴建立空间直角坐标系1分则（4，0，0），（0，4，0），（0，4，1），（0，0，4），3分设面的法向量为，面的法向量为则有，即，取得，即，取得， 6分设二面角的大小为，由图可知为钝角故二面角的余弦值为 8分（II）点在棱上，存在使得 9分同理 11分即解得所以满足题设的点存在，的长为1.13分18. 解：（I）设，则在中， 2分 4分点在线

9、段上，点和点不重合，点和点不重合，5分（II）在中，, 8分令 11分， 当且仅当，即时， 有最大值. 时，有最小值 13分19.解：() 依题意,设抛物线的方程为,由结合,解得. 所以抛物线的方程为. 4分() （i）设圆与轴的切点是点,连结交抛物线的准线于点，则，所以圆与以为焦点，1为半径的圆相切，圆即为圆，圆的方程为;8分(ii)由可知，为圆直径，9分从而所以的取值范围是.13分20.解：（I）因为，所以 1分因为函数的图像在点处的切线斜率为3，所以，即所以 2分（II）由（1）知，所以对任意恒成立，即对任意恒成立 3分令，则， 4分令，则，所以函数在上单调递增 5分因为，所以方程在上存在唯一实根，且满足当，即，当，即，6分所以函数在上单调递减，在上单调递增所以 7分所以故整数的最大值是3 8分（III）由（II）知，取，则有 将上面各式相加得即，故，所以14分21.（1）解：（）法：由于，M-1=,；3分（）设圆上任意一点在矩阵对应的变换作用下变为则则，所以作用后的曲线方程为.7分（2）解：（）4分（）直线的参数方程为（t为参数）,代入得到,则有，因为，所以，即 ，即解得7分（3）（）证明：，由柯西不等式得等号成立当且仅当，即.所以.4分（）解：由（）知，当且仅当，即时等号成立.所以函数的最小值为1. 7分