全国各地中考数学真题分类汇编—矩形、菱形与正方形

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1、2011年全国各地中考数学真题分类汇编矩形、菱形与正方形1. （2011福建福州，21，12分）已知,矩形中,的垂直平分线分别交、于点、,垂足为. (1)如图10-1,连接、.求证四边形为菱形,并求的长；(2)如图10-2,动点、分别从、两点同时出发,沿和各边匀速运动一周.即点自停止,点自停止.在运动过程中,已知点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒,当、四点为顶点的四边形是平行四边形时,求的值.若点、的运动路程分别为、(单位:,),已知、四点为顶点的四边形是平行四边形,求与满足的数量关系式.图10-1图10-2备用图【答案】(1)证明:四边形是矩形,垂直平分,垂足为 四边形为平行四

2、边形又四边形为菱形设菱形的边长,则 在中,由勾股定理得,解得(2)显然当点在上时,点在上,此时、四点不可能构成平行四边形;同理点在上时,点在或上,也不能构成平行四边形.因此只有当点在上、点在上时,才能构成平行四边形以、四点为顶点的四边形是平行四边形时,点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒,解得以、四点为顶点的四边形是平行四边形时,秒.由题意得,以、四点为顶点的四边形是平行四边形时,点、在互相平行的对应边上.分三种情况:i)如图1,当点在上、点在上时,即,得ii)如图2,当点在上、点在上时, 即,得iii)如图3,当点在上、点在上时,即,得综上所述,与满足的数量关系式是图1图2图32

3、. （2011广东广州市，18，9分） 如图4，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF 求证：ACEACF图4ABCDEF【答案】四边形ABCD为菱形BAC=DAC又AE=AF，AC=ACACEACF（SAS）3. （2011山东滨州，24，10分）如图，在ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MNBC.设MN交BCA的平分线于点E,交BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF。那么当点O运动到何下时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。（第24题图）【答案】当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是矩形2分证明：CE平分B

4、CA,1=2，3分又MNBC, 1=3，3=2，EO=CO. 5分同理，FO=CO6分EO=FO又OA=OC, 四边形AECF是平行四边形7分又1=2，4=5，1+5=2+4. 8分又1+5+2+4=1802+4=909分四边形AECF是矩形10分4. （2011山东济宁，22，8分）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图，正方形的边长为，为边延长线上的一点，为的中点，的垂直平分线交边于，交边的延长线于.当时，与的比值是多少？经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过作直线平行于交，分别于，如图，则可得：，因为，所以.可求出和的值，进而可求得与的比值.(1) 请按照小明的思路写出求解过程.(

5、2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.(第22题)（1）解：过作直线平行于交，分别于点， 则，.，.2分，. 4分（2）证明：作交于点，5分则，.，.，.7分.8分(第22题)5. （2011山东威海，24，11分）如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=5在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到MNK（1）若1=70，求MNK的度数（2）MNK的面积能否小于？若能，求出此时1的度数；若不能，试说明理由（3）如何折叠能够使MNK的面积最大

6、？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值（备用图）【答案】 解：ABCD是矩形，AMDN，KNM=1KMN=1，KNM=KMN1=70，KNM=KMN=70MNK=40（2）不能过M点作MEDN，垂足为点E，则ME=AD=1,由（1）知KNM=KMNMK=NK又MKME,NK1MNK的面积最小值为，不可能小于（3）分两种情况：情况一：将矩形纸片对折，使点B与点D重合，此时点K也与点D重合设MK=MD=x，则AM=5-x，由勾股定理，得,解得，即 （情况一）情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕为AC设MK=AK= CK=x，则DK=5-x，同理可得即MNK的面积最大值为1.3 （情

7、况二）6. （2011山东烟台，24,10分）已知：如图，在四边形ABCD中，ABC90，CDAD，AD2CD22AB2（1）求证：ABBC；ABCDE（2）当BEAD于E时，试证明：BEAECD【答案】（1）证明：连接AC，ABC90，AB2BC2AC2.CDAD，AD2CD2AC2.AD2CD22AB2，AB2BC22AB2，ABBC.（2）证明：过C作CFBE于F.BEAD，四边形CDEF是矩形.CDEF.ABEBAE90，ABECBF90，BAECBF，BAECBF.AEBF.BEBFEF AECD.7. (2011 浙江湖州，22，8) 如图已知E、F分别是ABCD的边BC、AD上的

8、点，且BE=DF(1) 求证：四边形AECF是平行四边形；(2) 若BC10，BAC90，且四边形AECF是菱形，求BE的长 【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，且AD=BC，AFEC，BE=DF，AF=EC，四边形AECF是平行四边形.（2）四边形AECF是，AECE，12，BAC90，3902，4901，34，AEBE，BEAECEBC5.8（2011宁波市，23，8分）如图，在ABCD中，E、F分别为边ABCD的中点，BD是对角线，过A点作AGDB交CB的延长线于点G（1）求证：DEBF；（2）若G90，求证四边形DEBF是菱形解：（1）ABCD 中，ABCD，AB

9、CDE、F分别为AB、CD的中点DFDC，BEABDFBE，DFBE四边形DEBF为平行四边形DEBF(2)证明：AGBDGDBC90DBC 为直角三角形又F为边CD的中点BFDCDF又四边形DEBF为平行四边形四边形DEBF是菱形9. （2011浙江衢州，22,10分）如图，中，是边上的中线，过点作，过点作与分别交于点、点，连接求证：;当时，求证：四边形是菱形；在（2）的条件下，若，求的值.（第22题）【答案】.证明：(1)解法1：因为DE/AB,AE/BC,所以四边形ABDE是平行四边形，所以AE/BD且AE=BD，又因为AD是边BC上的中线，所以BD=CD，所以AE平行且等于CD，所以四

10、边形ADCE是平行四边形，所以AD=EC.解法2： 又 (2)解法1：证明是斜边上的中线 又四边形是平行四边形 四边形是菱形解法2证明： 又四边形是平行四边形 四边形是菱形解法3证明： 四边形是平行四边形 又四边形是菱形解法1解：四边形是菱形的中位线，则解法2解：四边形是菱形10. （2011浙江省嘉兴，23，12分）以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不

11、要求证明）；（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设ADC=（090）， 试用含的代数式表示HAE； 求证：HE=HG； 四边形EFGH是什么四边形？并说明理由 （第23题图2）（第23题图3）（第23题图1）【答案】（1）四边形EFGH是正方形(2) HAE=90a在ABCD中，ABCD，BAD=180ADC=180a；HAD和EAB都是等腰直角三角形，HAD=EAB=45，HAE=360HADEABBAD3604545（180a）90aAEB和DGC都是等腰直角三角形，AE=AB，DG=CD，在ABCD中，AB=CD，AE=DG，HAD和GDC都是等腰直角三角形，DHA=CDG

12、= 45，HDG=HADADCCDG90aHAEHAD是等腰直角三角形，HA=HD，HAEHDG，HE=HG四边形EFGH是正方形由同理可得：GH=GF，FG=FE，HE=HG（已证），GH=GF=FG=FE，四边形EFGH是菱形；HAEHDG（已证），DHG=AHE，又AHD=AHGDHG=90，EHG=AHGAHE90，四边形EFGH是正方形13. （2011福建泉州，21，9分）如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把ACD沿CA方向平移得到A1C1D1(1)证明：A1AD1CC1B；(2)若ACB30，试问当点C1在线段AC上的什么位置时，四边形ABC1D1是菱形. （直接写出答案）

13、【答案】矩形ABCD BC=AD,BCADDAC=ACB把ACD沿CA方向平移得到A1C1D1A1=DAC,A1D1=AD,AA1=CC1A1=ACB，A1D1=CB。CBADA1C1D1（第21题）A1AD1CC1B（SAS）。6分当C1在AC中点时四边形ABC1D1是菱形，9分14. （2011甘肃兰州，27，12分）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（ADAB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE。（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm，ABF的面积为24cm2，求ABF的周长；（3）在线段AC上是否存

14、在一点P，使得2AE2=ACAP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由。ABCDEFO【答案】（1）由折叠可知EFAC，AO=COADBCEAO=FCO，AEO=CFOAOECOFEO=FO四边形AFCE是菱形。（2）由（1）得AF=AE=10设AB=a，BF=b，得a2+b2=100 ，ab=48 +2得 (a+b)2=196，得a+b=14（另一负值舍去）ABF的周长为24cm（3）存在，过点E作AD的垂线交AC于点P，则点P符合题意。ABCDEFOP证明：AEP=AOE=90，EAP=OAEAOEAEP，得AE2=AOAP即2AE2=2AOAP又AC=2AO2AE2

15、=ACAP15. （2011广东株洲，23，8分）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点， PO的延长线交BC于Q.（1）求证： OP=OQ；（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）.设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形【答案】（1）证明：四边形ABCD是矩形，ADBC， PDO=QBO，又OB=OD，POD=QOB， PODQOB， OP=OQ。 （2）解法一： PD=8-t 四边形ABCD是矩形，A=90，AD=8cm，AB=6cm，BD=10cm，OD=5cm. 当四边形PB

16、QD是菱形时， PQBD，POD=A，又ODP=ADB，ODPADB， ，即， 解得,即运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形. 解法二：PD=8-t 当四边形PBQD是菱形时，PB=PD=(8-t)cm， 四边形ABCD是矩形，A=90，在RTABP中，AB=6cm， ， ， 解得,即运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形. 16. （2011江苏苏州，28,9分）（本题满分9分）如图，小慧同学吧一个正三角形纸片（即OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕B1点按

17、顺时针方向旋转120，点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）.小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO1和弧O1O2，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两端圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和.小慧进行类比研究：如图，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片

18、AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：问题：若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；问题：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是？请你解答上述两个问题.【答案】解问题：如图，正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段弧，即弧OO1、弧O1O2以及弧O2O3，顶点O运动过程中经过的路程为.顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积为=1+.正方形

19、OABC经过5次旋转，顶点O经过的路程为.问题：方形OABC经过4次旋转，顶点O经过的路程为=20+.正方形纸片OABC经过了81次旋转.17. （2011江苏泰州，24，10分）如图，四边形ABCD是矩形，直线L垂直平分线段AC，垂足为O，直线L分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F（1）ABC与FOA相似吗？为什么？（2）试判定四边形AFCE的形状，并说明理由【答案】(1)相似.由直线L垂直平分线段AC，所以AF=FC，FAC=ACF，又ABC=AOF=90，ABCFOA（2）四边形AFCE是菱形。理由：AECF，EAO=FCO，又AOCO，AOE=COF，AOECOF，AE=CF，又A

20、ECF，四边形AFCE为平行四边形，又AF=FC，所以平行四边形AFCE为菱形18. （2011江苏泰州，28，12分）在平面直角坐标系xoy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限（1）当BAO=45时，求点P的坐标;(2)求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在AOB的平分线上；（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由【答案】解：（1）当BAO=45时，PAO=90，在RtAOB中，OAAB

21、，在RtAPB中，PAAB。点P的坐标为（，）（2）过点P分别作x轴、y轴的垂线垂足分别为M、N，则有PMA=PNB=NPM=BPA=90，MPA=NPB，又PAPB，PAMPBN，PM=PN，于是，点P都在AOB的平分线上；（3）h。当点B与点O重合时，点P到AB的距离为，然后顶点A在x轴正半轴上向左运动，顶点B在y轴正半轴上向上运动时，点P到AB的距离逐渐增大，当BAO=45时，PAx轴，这时点P到AB的距离最大为，然后又逐渐减小到，x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O ，点P到x轴的距离的取值范围是h。19. （2011山东济宁，17， 5分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC

22、、BD相交于点O，过点O作直线EFBD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形第17题【答案】证明：四边形ABCD是菱形，ADBC，OB=OD，1分EDO=FBO，OED=OFB，2分OEDOFB，DE=BF，3分又DEBF，四边形BEDF是平行四边形，4分EFBD，四边形BEDF是菱形5分20（2011山东聊城，25，12分）如图，在矩形ABCD中，AB12cm，BC8cm，点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动设移动开始后第t秒时

23、，EFG的面积为S（cm2）（1）当t1秒时，S的值是多少？（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由【答案】（1）如图甲，当t1秒时，AE2，EB10，BF4，FC4，CG2，由SS梯形EGCGSEBFSFCG(102)81044224(2)如图（甲），当0t2时，点E、F、G分别在AB、BC、CD上移动，此时AE2t，EB122t，BF4t，FC84t，S8t232t48（0t2）（3）如图乙，当点F追上点G时，4t2t8，解得t4，当2t4时，CF4t8

24、，CG2t，FGCGCF82t，即S8t32(2t4)，(3)如图（甲），当点F在矩形的边BC上移动时，0t2，在EFF和FCG中，BC90，若，即，解得t，又t满足0t2，所以当t时EBFGCF若，即，解得t，又t满足0t2，所以当t时EBFGCF，综上知，当t或时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似21. （2011山东潍坊，18，8分）已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别做直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F.（1）如图1，当P点在线段AB上时，求PE+PF的值；（2）如图2，当P点在线段AB的

25、延长线上时，求PEPF的值. 【解】（1）四边形ABCD为正方形，ACBD.PFBD，PF/AC，同理PE/BD.四边形PFOE为矩形，故PE=OF.又PBF=45，PF=BF.PE+PF=OF+FB=OB=.（2）四边形ABCD为正方形，ACBD.PFBD，PF/AC，同理PE/BD.四边形PFOE为矩形，故PE=OF.又PBF=45，PF=BF.PEPF=OFBF= OB=.22. （2011四川广安，23，8分）如图5所示，在菱形ABCD中，ABC= 60，DEAC交BC的延长线于点E求证：DE=BE图5【答案】证明：ABCD是菱形，ABC= 60 BC=AC=AD 又DEAC ACED

26、为平行四边形 CE=AD=BC DE=AC DE=CE=BC DE=BE23. (2011江苏南京，21，7分)如图，将ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F求证：ABFECF若AFC=2D，连接AC、BE求证：四边形ABEC是矩形ABCDEF(第21题)【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD,AB=CDABF=ECF.EC=DC, AB=EC在ABF和ECF中，ABF=ECF，AFB=EFC，AB=EC，ABFECF（2）解法一：AB=EC ，ABEC，四边形ABEC是平行四边形AF=EF， BF=CF四边形ABCD是平行四边形，ABC=D，又AFC=2

27、D，AFC=2ABCAFC=ABF+BAF，ABF=BAFFA=FB FA=FE=FB=FC, AE=BC口ABEC是矩形解法二：AB=EC ，ABEC，四边形ABEC是平行四边形四边形ABCD是平行四边形，ADBC，D=BCE又AFC=2D，AFC=2BCE，AFC=FCE+FEC，FCE=FECD=FECAE=AD又CE=DC，ACDE即ACE=90口ABEC是矩形24. （2011江苏南通，26，10分）（本体满分10分）已知：如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD到点E，使OF2OA，OE2OD，连结EF，将FOE绕点O逆时针旋转角得到（如图2）.（1） 探究AE与

28、BF的数量关系，并给予证明；（2） 当30时，求证：AOE为直角三角形.【答案】（1）AEBF证明：如图2，在正方形ABCD中， ACBDAODAOB90即AOEAOFBOFAOFAOEBOF又OAOBOD，OE2OD，OF2OAOEOFOAEOBFAEBF（2）作AOE的中线AM，如图3.则OE2OM2OD2OAOAOM30AOM60AOM为等边三角形MAMOME，又AMO即26030AOE306090AOE为直角三角形.25. （2011山东临沂，22，7分）如图，ABC中，ABAC，AD、CD分别是ABC两个外角的平分线在直角梯形ABCD中，ABCD，ABC90，2CD，对角线AC与BD

29、相交于点O，线段OA，OB的中点分别为点E，F（1）求证：ACAD；（2）若B60，求证：四边形ABCD是菱形； 【解】（1）证明：ABAC，BBCA，EACBBCA2B，AD平分FAC，FADB，ADBC，（2分）DDCE，CD平分ACE，ACDDCE，DACD，（3分）ACAD；（4分）（2）证明：B60，ACB60，FACACE120，DCEB60，（5分）DCAB,ADBC，四边形ABCD为平行四边形，（6分）又由（1）知ACAD，ABAD，四边形ABCD是菱形（7分）26. （2011山东临沂，25，11分)如图1，奖三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的

30、顶点A重合，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G（1）求证：EFEG；（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变（1）中的结论是否仍然成立？若成立，情给予证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若ABa,BCb，求的值 图1 图2 图3（1）证明：GEBBEF90，DEFBEF90， DEFGEB，（ 1分） 又EDBE， RtFEDRtGEB，（ 2分） EFEG（ 3分）(2)成立（ 4分） 证明：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别

31、为H、I， 则EHEI，HEI90，（ 5分） GEHHEF90，IEFHEF90， IEFGEH，（ 6分） RtFEIRtGEH, EFEG（7分） (3)解：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N ，则MEN90，EMAB，ENAD,（ 8分） ， , （9分） GEMMEF90，FENMEF90， FENGEM，RtFENRtGEM, （10分）（11分） 27. （2011上海，23，12分）如图，在梯形ABCD中，AD/BC，ABDC，过点D作DEBC，垂足为E，并延长DE至F，使EFDE联结BF、CF、AC（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；（2）如果DE2BE

32、CE，求证四边形ABFC是矩形【答案】（1）连接BDDEBC，EF=DE，BD=BF，CD=CF在梯形ABCD中，AD/BC，AB=DC，四边形ABCD是等腰梯形BD=ACAC=BF，AB=CF四边形ABFC是平行四边形（2）DE2 =BECE，EF=DE，EF2 =BECE又DEBC，CEF=FEB=90CEFFEBCFE=FBEFBE+BFE=90，CFE +BFE=90即BFC=90由（1）知四边形ABFC是平行四边形，证四边形ABFC是矩形20 28. （2011四川乐山20，10分）如图，E、F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点，且AE=DF。求证：BE=CF【答案】证明：四

33、边形ABCD为矩形 OA=OB=OC=OD AB=CD AE=DF OE=OF 在BOE与COF中， BOECOF(SAS) BE=CF29. （2011湖南衡阳，26，10分）如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=m(m4)，点P是AB边上的任意一点（不与A、B重合），连结PD，过点P作PQPD，交直线BC于点Q(1)当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由；(2)连结AC，若PQAC,求线段BQ的长（用含m的代数式表示）(3)若PQD为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围【解】(1)

34、 假设当m=10时，存在点P使得点Q与点C重合（如下图），PQPDDPC=90，APDBPC=90，又ADPAPD=90，BPC=ADP，又B=A=90，PBCDAP，或8，存在点P使得点Q与点C重合，出此时AP的长2 或8(2) 如下图，PQAC，BPQ=BAC，BPQ=ADP，BAC=ADP，又B=DAP=90，ABCDAP，即，PQAC，BPQ=BAC，B=B，PBQABC，即，(3)由已知 PQPD，所以只有当DP=PQ时，PQD为等腰三角形（如图），BPQ=ADP，又B=A=90，PBQDAP，PB=DA=4，AP=BQ=，以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式为

35、：S四边形PQCD= S矩形ABCDSDAPSQBP=16（48）30. （2011贵州贵阳，18，10分）如图，点E是正方形ABCD内一点，CDE是等边三角形，连接EB、EA，延长BE交边AD于点F（1）求证：ADEBCE；（5分）（2）求AFB的度数（5分）（第18题图）【答案】解：（1）四边形ABCD是正方形，ADC=BCD=90，AD=BCCDE是等边三角形，CDE=DCE=60，DE=CE ADC=BCD=90，CDE=DCE=60，ADE=BCE=30AD=BC，ADE=BCE，DE=CE，ADEBCE（2）ADEBCE，AE=BE，BAE=ABEBAE+DAE=90，ABE+AF

36、B=90，BAE=ABE，DAE=AFBAD=CD=DE，DAE=DEAADE=30，DAE=75，AFB=7531. （2011广东肇庆，20，7分）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB、ED（1）求证：BECDEC；（2）延长BE交AD于点F，若DEB 140，求AFE的度数 ABCDEF【答案】解：（1）证明：四边形ABCD 是正方形 CDCB， AC是正方形的对角线 DCABCA 又 CE CE BECDEC (2）DEB 140由BECDEC可得DEC BEC140270， AEF BEC70，又AC是正方形的对角线， DAB90 DAC BAC90245， 在A

37、EF中，AFE180 70 4565 32. （2011广东肇庆，22，8分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DEAC，CEBD（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）若ACB30，菱形OCED的面积为，求AC的长ABCDEO【答案】解：（1）证明：DEOC ，CEOD，四边形OCED是平行四边形 四边形ABCD是矩形 AOOCBOOD 四边形OCED是菱形 ABCDEO图8F（2）ACB30 DCO 90 30 60又OD OC， OCD是等边三角形 过D作DFOC于F，则CFOC，设CF，则OC 2，AC4在RtDFC中，tan 60 DFFC tan 60 由已知菱形OCED的面积

38、为得OC DF，即 ， 解得 2， AC428 33. （2011湖北襄阳，25，10分)如图9，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF.（1）求证：ADPEPB；（2）求CBE的度数；（3）当的值等于多少时，PFDBFP？并说明理由. 图9【答案】（1）证明：四边形ABCD是正方形APBC90，ABAD，ADPAPD901分DPE90 APDEPB90ADPEPB.2分（2）过点E作EGAB交AB的延长线于点G，则EGPA903分又ADPEPB，PDPE，PADEGPEGAP，ADAB

39、PG，APEGBG4分CBEEBG45.5分（3）方法一：当时，PFEBFP.6分ADPFPB，APBF，ADPBPF7分设ADABa，则APPB，BFBP8分，9分又DPFPBF90，ADPBFP10分方法二：假设ADPBFP，则.6分ADPFPB，APBF，ADPBPF7分，8分，9分PBAP， 当时，PFEBFP.10分34. （2011湖南永州，25，10分）探究问题：方法感悟：如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足EAF=45，连接EF，求证DE+BF=EF感悟解题方法，并完成下列填空：将ADE绕点A顺时针旋转90得到ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得

40、：AB=AD,BG=DE, 1=2，ABG=D=90,ABG+ABF=90+90=180，因此，点G，B，F在同一条直线上EAF=45 2+3=BAD-EAF=90-45=451=2， 1+3=45即GAF=_又AG=AE，AF=AFGAF_=EF，故DE+BF=EF （第25题）方法迁移：如图，将沿斜边翻折得到ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且EAF=DAB试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想（第25题）问题拓展：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足,试猜想当B与D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF请直接写出你的猜想（不必说

41、明理由）（第25题）【答案】EAF、EAF、GFDE+BF=EF，理由如下：假设BAD的度数为，将ADE绕点A顺时针旋转得到ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB=AD,BG=DE, 1=2，ABG=D=90,ABG+ABF=90+90=180，因此，点G，B，F在同一条直线上EAF= 2+3=BAD-EAF=1=2， 1+3=即GAF=EAF又AG=AE，AF=AFGAFEAFGF=EF，又GF=BG+BF=DE+BF DE+BF=EF （第25题）解得图当B与D互补时，可使得DE+BF=EF35. （2011江苏盐城，27，12分）情境观察将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到AB

42、C和ACD，如图1所示.将ACD的顶点A与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A)、B在同一条直线上，如图2所示观察图2可知：与BC相等的线段是 ，CAC= 图1 图2问题探究如图3，ABC中，AGBC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向ABC外作等腰RtABE和等腰RtACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.图3拓展延伸如图4，ABC中，AGBC于点G，分别以AB、AC为一边向ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB= k AE，AC= k AF，试探究HE与HF之间的数量

43、关系，并说明理由.图4【答案】情境观察AD（或AD），90 问题探究结论：EP=FQ. 证明：ABE是等腰三角形，AB=AE，BAE=90.BAG+EAP=90.AGBC，BAG+ABG=90，ABG=EAP.EPAG，AGB=EPA=90，RtABGRtEAP. AG=EP.同理AG=FQ. EP=FQ. 拓展延伸结论： HE=HF. 理由：过点E作EPGA，FQGA，垂足分别为P、Q.四边形ABME是矩形，BAE=90，BAG+EAP=90.AGBC，BAG+ABG=90，ABG=EAP.AGB=EPA=90，ABGEAP， = . 同理ACGFAQ， = . AB= k AE，AC= k

44、 AF， = = k， = . EP=FQ. EHP=FHQ，RtEPHRtFQH. HE=HF.36. (20011江苏镇江,23,7分)已知:如图,在梯形ABCD中ABCD,BC=CD,ADBD,E为AB中点,求证:四边形BCDE是菱形.答案:证明：ADBD，ADB=90。又E为AB中点，DE=AB,BE=AB, DE=BE DBE =EDB又ABCD, BDC =EDBBC=CD, DBC =DBCBCDE.EBCD四边形BCDE是平行四边形BC=CD四边形BCDE是菱形。37. (20011江苏镇江,25,6分)已知:如图1,图形满足:AD=AB,MD=MB, A=72, M=144.

45、图形与图形恰好拼成一个菱形(如图2).记作AB的长度为a,BM的长度为b. (1)图中中B=_度,图中中E=_度.(2)小明有两种纸片各若干张,其中一种纸片的形状及大小与图形相同,这咱纸片称为“风筝一号”另一种纸片的形状及大小与图形相同,这种纸片称为“飞镖一号”.小明仅有“,风筝一号”纸片拼成一个边长为b的正十边形,需要这种纸片_张;小明用若干张“风筝一号”和 “飞镖一号”纸片拼成一个“大风筝”(如图3),其中P=72, Q=144,PI=PJ=a+b,IQ=JQ.庄股你在图穷匕见中画出拼接线并保留画图痕迹.(本题中均为无重叠、无缝隙拼接)【答案】（1）B=72，E=36（2）5个；（3）图略

46、38. （2011贵州安顺，25，10分）如图，在ABC中，ACB=90，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE说明四边形ACEF是平行四边形；当B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由第25题图【答案】（1）证明：由题意知FDC =DCA = 90EFCA AEF =EACAF = CE = AE F =AEF =EAC =ECA 又AE = EAAECEAF，EF = CA，四边形ACEF是平行四边形 （2）当B=30时，四边形ACEF是菱形 理由是：B=30，ACB=90，AC=，DE垂直平分BC， BE=CE又AE=CE，CE=，AC=CE

47、，四边形ACEF是菱形39. （2011河北，23，9分）如图12，四边形ABCD是正方形，点E,K分别在BC,AB上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG.(1)求证：DE=EG;DEEG；（2）尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；（3）连接（2）中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想；（4）当时，请直接写出的值.【答案】（1）证明：四边形ABCD是正方形，DC=DA，DCE=DAG=90，又CE=AG，DCEDAG,EDC=GDA,DE=DG.又ADE+EDC=90，ADE+GDA=90,DEDG.（2

48、）如图(3)四边形CEFK为平行四边形。证明：设CK,DE相交于M点，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，ABCD,AB=CD,EF=DG,EFDG;BK=AG,KG=AB=CD,四边形CKGD为平行四边形。CK=DG=EF,CKDG.KME=GDE=DEF=90.KME+DEF=180,CKEF,四边形CKEF为平行四边形。（4）=40. （2011湖南湘潭市，24，8分）（本题满分8分）两个全等的直角三角形重叠放在直线上，如图，AB=6cm，BC=8cm，ABC=90，将RtABC在直线上左右平移，如图所示. 求证：四边形ACFD是平行四边形; 怎样移动RtABC，使得四边形ACFD

49、为菱形; 将RtABC向左平移，求四边形DHCF的面积.图(1)A(D)B(E)C(F)D图(2)FECBAH【答案】 （1）证明：ABCDEF，AC=DF,ACB=DFE，ACDF，四边形ACFD是平行四边形；（2）在RtABC中，由勾股定理得AC=10cm，要使四边形ACFD为菱形，则AC=CF，可将RtABC向左平移10cm或向右平移10cm；（3）在RtABC中，当RtABC向左平移时，EC=BC-BE=8-4=4（cm），在RtHEC中，四边形DHCF的面积为：cm241. （2011湖北荆州，19，7分）（本题满分7分）如图，P是矩形ABCD下方一点，将PCD绕P点顺时针旋转60后恰好D点与A点重合，得到PEA，连接EB，问ABE是什么特殊三角形？请说明理由.【答案】ABE是等边三角形，理由如下：因为PEA是将PCD绕P点顺时针旋转60后得到的所以PEAPCD，且AE与DC所夹的锐角为60所以AEDC又因为四边形ABCD是矩形所以DCAB且DCAB所以AEAB且EAB60所以ABE是等边三角形.