2011年四川高考理科数学真题及答案

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1、2011年四川高考理科数学真题及答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：11.5，15.5）2；15.5，19.5）4；19.5，23.5）9；23.5，27.5）18；27.5，31.5）11；31.5，35.5）12；35.5，39.5）7；39.5，43.5）3根据样本的频率分布估计，数据31.5，43.5）的概率约是（）ABCD【解答】解：根据所给的数据的分组及各组的频数得到：数据在31.5，43.5）范围的有31.5，35.5）12；35.5，39.5）7；39.5，43.5）3，满足题意的数据有12+7+3=

2、22个，总的数据有66个，根据等可能数据的概率得到P=，故选：B2（5分）复数=（）A2iBC0D2i【解答】解：复数=2i故选A3（5分）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面【解答】解：对于A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A错；对于B，l1l2，l1，l2所成的角是90，又l2l3l1，l3所成的角是90l1l3，B对；对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面

3、，故D错故选B4（5分）如图，正六边形ABCDEF中，=（）ABCD【解答】解：根据正六边形的性质，我们易得=故选D5（5分）函数f（x）在点x=x0处有定义是f（x）在点x=x0处连续的（）A充分而不必要的条件B必要而不充分的条件C充要条件D既不充分也不必要的条件【解答】解：由f（x）在点x=x0处连续的定义，可知f（x）在点x=x0处连续函数f（x）在点x=x0处有定义；反之不成立故为必要而不充分的条件故选：B6（5分）在ABC中，sin2Asin2B+sin2CsinBsinC，则A的取值范围是（）A（0，B，）C（0，D，）【解答】解：由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，

4、c=2RsinC，sin2Asin2B+sin2CsinBsinC，a2b2+c2bc，bcb2+c2a2cosA=AA0A的取值范围是（0，故选C7（5分）已知f（x）是R的奇函数，且当x0时，则f（x）的反函数的图象大致是（）ABCD【解答】解：f（x）是R的奇函数，故f（x）的反函数也为奇函数，又x0时，此时其反函数（1x2）分析四个答案，发现只有A答案满足条件故选A8（5分）数列an的首项为3，bn为等差数列且bn=an+1an（nN*），若b3=2，b10=12，则a8=（）A0B3C8D11【解答】解：依题意可知求得b1=6，d=2bn=an+1an，b1+b2+bn=an+1a1

5、，a8=b1+b2+b7+3=+3=3故选B9（5分）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车，某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需载满且只能送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡需配1名工人；每送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数，可得最大利润z=（）A4650元B4700元C4900元D5000元【解答】解：设派x辆甲卡车，y辆乙卡车，利润为z，由题意得：z=450x+350y由题意得x，y满足下列条件：上述条件作出可行域，如图所示：由图可知，当x=7，y

6、=5时，450x+350y有最大值4900故选C10（5分）在抛物线y=x2+ax5（a0）上取横坐标为x1=4，x2=2的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切，则抛物线顶点的坐标为（）A（2，9）B（0，5）C（2，9）D（1，6）【解答】解：两点坐标为（4，114a）；（2，2a1），两点连线的斜率k=，对于y=x2+ax5，y=2x+a，2x+a=a2解得x=1，在抛物线上的切点为（1，a4），切线方程为（a2）xy6=0，该切线与圆相切，圆心（0，0）到直线的距离=圆半径，解得a=4或0（0舍去），抛物线方程为y=x2+4x5顶点坐

7、标为（2，9）故选A11（5分）已知定义在0，+）上的函数f（x）满足f（x）=3f（x+2），当x0，2）时，f（x）=x2+2x，设f（x）在2n2，2n）上的最大值为an（nN+）且an的前n项和为Sn，则=（）A3BC2D【解答】解：因为f（x）=3f（x+2），所以f（x+2）=f（x），就是函数向右平移2个单位，最大值变为原来的，a1=f（1）=1，q=，所以an=，Sn=，=故选D12（5分）在集合1，2，3，4，5中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量=（a，b）从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作为平行四边形的个数为n，其中面积

8、不超过4的平行四边形的个数m，则=（）ABCD【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从数字中选出两个数字，组成向量，a的取法有2种，b的取法有3种，故向量=（a，b）有6个，从中任取两个向量共C62=15种结果，满足条件的事件是平行四边形的面积不超过4的由列举法列出共有5个，根据等可能事件的概率得到P=故选B二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13（4分）计算=20【考点】有理数指数幂的化简求值；根式与分数指数幂的互化及其化简运算【专题】计算题【分析】利用对数的商的运算法则及幂的运算法则求出值【解答】解：=lg=20故答案为：20【点评】本题考查对数的四

9、则运算法则、考查分数指数幂的运算法则14（4分）双曲线=1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是16【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题【分析】利用双曲线的方程求出参数a，b，c；求出准线方程，离心率的值；利用双曲线的第二定义求出点P的横坐标；求出P到左准线的距离【解答】解：由双曲线的方程知a=8，b=6所以c=10准线方程为x=； 离心率e=设点P到右准线的距离为d则由双曲线定义得即d=设P（x，y）则d=|=所以x=所以点P到左准线的距离是故答案为16【点评】本题考查由双曲线的方程得到三个参数值注意最大的参数是c、考查双曲线的准线方程与离心率、考查双曲线的第二定义、利

10、用第二定义解决双曲线上的点到焦点距离的有关问题15（4分）如图，半径为R的球O中有一内接圆柱当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是2R2【考点】球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积【专题】计算题；压轴题【分析】设出圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为，求出圆柱的侧面积表达式，求出最大值，计算球的表面积，即可得到两者的差值【解答】解：设圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为，则r=Rcos，圆柱的高为2Rsin，圆柱的侧面积为：2R2sin2，当且仅当=时，sin2=1，圆柱的侧面积最大，圆柱的侧面积为：2R2，球的表面积为：4R2，球的表面积与该

11、圆柱的侧面积之差是：2R2故答案为：2R2【点评】本题是基础题，考查球的内接圆柱的知识，球的表面积，圆柱的侧面积的最大值的求法，考查计算能力，常考题型16（4分）函数f（x）的定义域为A，若x1，x2A且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数例如，函数f（x）=2x+1（xR）是单函数下列命题：函数f（x）=x2（xR）是单函数；若f（x）为单函数，x1，x2A且x1x2，则f（x1）f（x2）；若f：AB为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象；函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数其中的真命题是（写出所有真命题的编号）【考点】抽象函数及其应用【专题

12、】压轴题；新定义【分析】根据单函数的定义f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，可知函数f（x）则对于任意bB，它至多有一个原象，而f（1）=f（1），显然11，可知它不是单函数，都是，可得结果【解答】解：若x1，x2A，且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数函数f（x）=x2不是单函数，f（1）=f（1），显然11，函数f（x）=x2（xR）不是单函数；函数f（x）=2x（xR）是增函数，f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，即正确；f（x）为单函数，对于任意bB，若x1x2，使得f（x1）=f（x2）=b，则x1=x2，与x1x2矛盾正确；例如函数f（x）=x2在

13、（0，+）上是增函数，而它不是单函数；故不正确故答案为：【点评】此题是个基础题考查学生分析解决问题的能力，以及知识方法的迁移能力三、解答题（共6小题，满分74分）17（12分）已知函数f（x）=sin（x+）+cos（x），xR（）求f（x）的最小正周期和最小值；（）已知cos（）=，cos（+）=.0，求证：f（）22=0【考点】两角和与差的正弦函数；运用诱导公式化简求值；三角函数的周期性及其求法【专题】计算题；综合题【分析】（）利用诱导公式对函数解析式化简整理，进而根据三角函数的周期性和值域求解（）利用两角和公式把已知条件展开后相加，求得的值，代入函数解析式中求得答案【解答】解：（）f（x

14、）=sin（x+）+cos（x）=sin（x）+sin（x）=2sin（x）T=2，最小值为2（）cos（）=coscos+sinsin=，cos（+）=coscossinsin=，两式相加得2coscos=0，0，=f（）22=4sin22=0【点评】本题主要考查了两角和公式和诱导公式的化简求值考查了考生基础知识的综合运用18（12分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）设甲、乙不超过两小时还车的概率分别

15、为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时（）求甲乙两人所付的租车费用相同的概率（）设甲乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列及数学期望E【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式【专题】计算题；应用题【分析】（）首先求出两个人租车时间超过三小时的概率，甲乙两人所付的租车费用相同即租车时间相同：都不超过两小时、都在两小时以上且不超过三小时和都超过三小时三类求解即可（）随机变量的所有取值为0，2，4，6，8，由独立事件的概率分别求概率，列出分布列，再由期望的公式求期望即可【解答】解：（）甲乙两人租车时间超过三小时的概率分别为：，甲乙两人

16、所付的租车费用相同的概率p=（）随机变量的所有取值为0，2，4，6，8P（=0）=P（=2）=P（=4）=P（=6）=P（=8）=数学期望E=【点评】本题考查独立事件、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查利用所学知识解决问题的能力19（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC=90，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1平面BDA1（）求证：CD=C1D；（）求二面角AA1DB的平面角的余弦值；（）求点C到平面B1DP的距离【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系；点、线、面间的

17、距离计算【专题】计算题；证明题【分析】（I）由题意及图形建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，利用ACPC1，建立点D的汗有未知数x的坐标，利用PB1平面BDA1建立x的方程，解出即证出所求；（II）由题意及（I）所建立的坐标系，利用平面法向量与二面角的大小之间的关系求出二面角的大小；（III）利用空间向量中求点到平面的距离公式直接求出点到平面的距离【解答】解：（I）由题意作出如下图形并建立图示的空间直角坐标系：以A1点为原点，A1B1，A1C1，A1A所在的直线分别为x，y，z轴，建立图示的空间直角坐标系，则A1（0，0，0）B1（1，0，0）C1（0，1，0）B（1，0，1）（I）设C1D

18、=x，ACPC1可设D（0，1，x），=（0，1，x），设平面BA1D的一个法向量为=（a，b，c），则 令a=1，则=（1，x，1）PB1平面BA1D0=0x=；故CD=C1D（II）由（I）知，平面BA1D的一个法向量为又=（1，0，0）为平面AA1D的一个法向量，cos故二面角AA1DB的平面角的余弦值为（III）设平面B1DP的一个法向量为=（x，y，z），则令z=1，又C到平面B1PD的距离d=【点评】此题重点考查了利用空间向量的方法求点到平面的距离和二面角的大小，还考查了利用方程的思想求解坐标中所设的变量的大小20（12分）设d为非零实数，（）写出a1，a2，a3并判断an是否为等

19、比数列若是，给出证明；若不是，说明理由；（）设bn=ndan（nN*），求数列bn的前n项和Sn【考点】数列的求和；等比关系的确定【专题】计算题；综合题【分析】本题考查的是数列求和问题，在解答时：（）根据条件直接代入n值计算即可获得a1、a2、a3的值然后利用，当n2，k1时，对数列通向进行化简可得an=d（d+1）n1，进而分类讨论问题即可获得解答；（）由（）可知：an=d（d+1）n1，进而可计算bn，结合bn的特点可利用成公比错位相减法进行求解，注意分类讨论即可获得问题的解答【解答】解：（）由题意可知：a1=d，a2=d（1+d），a3=d（1+d）2，当n2，k1时，=d（Cn10d0

20、+Cn11d1+Cn12d2+Cn1n1dn1）=d（d+1）n1所以，当d1时，an是以d为首项，d+1为公比的等比数列当d=1时，a1=1，an=0（n2），此时an不是等比数列（）由（）可知：an=d（d+1）n1，bn=nd2（d+1）n1=d2n（d+1）n1，Sn=d21（d+1）0+2（d+1）1+3（d+1）2+（n1）（d+1）n2+n（d+1）n1，当d=1时，Sn=d2=1当d1时，（d+1）Sn=d21（d+1）1+2（d+1）2+3（d+1）3+（n1）（d+1）n1+n（d+1）n，dSn=d21+（d+1）+（d+1）2+（d+1）3+（d+1）n1n（d+1）n

21、，Sn=（d+1）n（nd1）+1综上可知：Sn=（d+1）n（nd1）+1，nN*【点评】本题考查的是数列求和问题，在解答的过程当中充分体现了同学们的运算能力、数据处理能力、分类讨论的思想以及问题转化的思想值得同学们体会和反思21（12分）椭圆有两顶点A（1，0）、B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P直线AC与直线BD交于点Q（）当|CD|=时，求直线l的方程；（）当点P异于A、B两点时，求证：为定值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【专题】计算题；综合题；压轴题；数形结合；分类讨论；方程思想【分析】（）根据椭圆有两顶点A（1，0）、B（1，0），焦

22、点F（0，1），可知椭圆的焦点在y轴上，b=1，c=1，可以求得椭圆的方程，联立直线和椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理和弦长公式可求出直线l的方程；（）根据过其焦点F（0，1）的直线l的方程可求出点P的坐标，该直线与椭圆交于C、D两点，和直线AC与直线BD交于点Q，求出直线AC与直线BD的方程，解该方程组即可求得点Q的坐标，代入即可证明结论【解答】解：（）椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为（ab0），由已知得b=1，c=1，所以a=，椭圆的方程为，当直线l与x轴垂直时与题意不符，设直线l的方程为y=kx+1，C（x1，y1），D（x2，y2），将直线l的方程代入椭圆的

23、方程化简得（k2+2）x2+2kx1=0，则x1+x2=，x1x2=，|CD|=，解得k=直线l的方程为y=x+1；（）证明：当直线l与x轴垂直时与题意不符，设直线l的方程为y=kx+1，（k0，k1），C（x1，y1），D（x2，y2），P点的坐标为（，0），由（）知x1+x2=，x1x2=，且直线AC的方程为y=，且直线BD的方程为y=，将两直线联立，消去y得，1x1，x21，与异号，=，y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1=，与y1y2异号，与同号，=，解得x=k，故Q点坐标为（k，y0），=（，0）（k，y0）=1，故为定值【点评】此题是个难题本题考查了椭圆的标准方程和简单的几

24、何性质、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力体现了分类讨论和数形结合的思想22（14分）已知函数f（x）=x+，h（x）=（）设函数F（x）=f（x）h（x），求F（x）的单调区间与极值；（）设aR，解关于x的方程log4f（x1）=log2h（ax）log2h（4x）；（）试比较f（100）h（100）与的大小【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【专题】计算题；压轴题；数形结合；分类讨论【分析】（）先求导函数，利用导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减即可求F（x）的单调区间与极值；（）先把原等式转化为关

25、于a和x之间的等量关系，最后利用图象来求x的值（注意对a的讨论）（）把f（100）h（100）转化为一新数列an的前100项和，再比较新数列an的每一项和对应h（x）=之间的大小关系，即可比较f（100）h（100）与的大小【解答】解：（）由F（x）=f（x）h（x）=x+（x0）知，F（x）=，令F（x）=0，得x=当x（0，）时，F（x）0；当x（，+）时，F（x）0故x（0，）时，F（x）是减函数；故x（，+）时，F（x）是增函数F（x）在x=处有极小值且F（）=（）原方程可化为log4（x1）+log2 h（4x）=log2h（ax），即log2（x1）+log2=log2，当1a4时，原方程有一解x=3；当4a5时，原方程有两解x=3；当a=5时，原方程有一解x=3；当a1或a5时，原方程无解 （）设数列 an的前n项和为sn，且sn=f（n）g（n）从而有a1=s1=1当2k100时，ak=sksk1=，ak=（4k3）（4k1）=0即对任意的2k100，都有ak又因为a1=s1=1，所以a1+a2+a3+a100=h（1）+h（2）+h（100）故f（100）h（100）【点评】题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系以及函数极值的求法和函数与数列的综合应用问题在解题过程中，用到了分类讨论思想和数形结合思想，是一道综合性很强的好题