单倒置摆控制系统的状态空间设计

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1、单倒置摆控制系统的状态空间设计摘要倒立摆系统以其自身的不稳定性为系统的平衡提出了难题。该系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，对倒置摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题。对单倒置摆的分析，首先运用牛顿运动定律建立倒立摆系统的运动方程，以小车的位移，速度，摆杆与y轴正方向的夹角及摆角变化的速度作为四个状态变量，进而求出系统的状态空间描述，建立数学模型。通过对单倒置摆的能控性和能观性的计算及相关配置，首先设计了全维状态观测器；另外考虑小车位移可直接测量，以提高系统精度，本文还设计了降维状态观测器，对状态变量进行了重构。整个设计中对系统的分析，对全维状态观测器的响应，对降维状态观测器的响应

2、都用MATLAB仿真了结果并作出相关分析。关键词单倒置摆 状态分析 全维状态观测器 降维状态观测器 仿真1.引言倒立摆是日常生活中许多重心在上、支点在下的控制问题的抽象模型, 本身是一种自然不稳定体, 它在控制过程中能有效地反映控制中许多抽象而关键的问题,如系统的非线性、可控性、鲁棒性等问题。对倒立摆系统的控制就是使小车以及摆杆尽快地达到预期的平衡位置, 而且还要使它们不会有太强的振荡幅度、速度以及角速度, 当倒立摆系统达到期望位置后, 系统能克服一定范围的扰动而保持平衡。作为一种控制装置, 它具有形象直观、结构简单、便于模拟实现多种不同控制方法的特点, 作为一个被控对象它是一个高阶次、非线性

3、、多变量、强耦合、不稳定的快速系统, 只有采取行之有效的方法才能使它的稳定效果明了, 因此对倒立摆的研究也成为控制理论中经久不衰的研究课题。2.立题背景倒立摆系统是非常典型的自动控制、机械电子等领域的检测模型,从工程应用上讲，卫星的姿态控制、机器人的关节运动控制、飞行器和起重机械的稳钩装置等都和倒立摆模型有相似之处。所以，对倒立摆系统的控制研究具有重要的工程背景和实际意义。目前，倒立摆主要应用在以下几个方面: (1) 机器人的站立与行走类似于双倒立摆系统。尽管第一台机器人在美国问世至今已有三十年的历史，机器人的关键技术-机器人的行走控制至今仍未能很好解决。(2)在火箭等飞行器的飞行过程中，为了

4、保持其正确的姿态，要不断进行实时控制。(3)通信卫星在预先计算好的轨道和确定的位置上运行的同时，要保持其稳定的姿态，使卫星天线一直指向地球，使它的太阳能电池板一直指向太阳。(4)侦察卫星中摄像机的轻微抖动会对摄像的图像质量产生很大的影响，为了提高摄像的质量，必须能自动地保持伺服云台的稳定，消除震动。(5)为防止单级火箭在拐弯时断裂而诞生的柔性火箭(多级火箭)，其飞行姿态的控制。2.1控制对象的特点及难点单倒置摆不仅仅是一种优秀的教学实验仪器，同时也是进行控制理论研究的理想实验平台。单倒置摆的种类不仅有简单的单机倒立摆，而且有多种形式的倒置装置，能有效地反映诸如可镇定性、鲁棒性、随动性以及跟踪等

5、许多控制中的关键问题，是检验各种控制理论的理想模型。倒立摆系统作为一个实验装置，形象直观，结构简单，构件组成参数和形状易于改变，成本低廉；作为一个被控对象，它又相当复杂，就其本身而言，是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合系统，只有采取行之有效的控制方法方能使之稳定。对单倒置摆的稳定控制是该系统的难点。但单倒置摆提供了一个从理论通往实践的桥梁，目前，对单倒置摆的研究已经引起国内外学者的广泛关注，是控制领域研究的热门课题之一。2.2目前国内外设计方案对于倒立摆的建模及控制器设计等方面的研究,许多学者做了大量的工作：Kouda , Henders 和Graichen 对应用非线性观测器代替线

6、性观测器进行仿真实验；王伟等研究了模糊控制在倒立摆系统中的应用；张涛等在双足机器人设计中应用线性二次型调节器(LQR) 理论对倒立摆进行控制并用Matlab 进行仿真，同时仿真结果证明LQR模糊控制器有很好的稳定性和鲁棒性；敖银辉等进行了柔性连接倒立摆的最优控制与仿真研究。目前，各类文献主要围绕单倒置摆的控制算法展开研究，如基于李亚普诺夫函数的控制器，基于模糊控制的控制器，利用遗传算法进化权值的神经网络控制器，模糊神经网络控制器等，此外还有文献从系统能量的角度出发进行控制研究。以上研究大多采用力作为系统输入进行建模,并通过仿真进行算法验证。本文在理论分析与系统仿真的基础上,忽略工程中的一些次要

7、因素，如系统动摩擦。通过对其能控性和稳定性的分析，进而提出全维观测器和降为观测器两种不同的设计方案。3.系统模型3.1单倒置摆系统的原理图如图所示，为单倒置摆系统的原理图。设摆的长度为、质量为m，用铰链安装在质量为M的小车上。小车有一台直流电动机拖动，在水平方向对小车施加控制力u,相对参考系产生位移z。若不给小车施加控制力，则倒置摆会向左或向右倾倒，因此，它是一个不稳定系统。控制的目的是，当倒置摆无论出现向左或向右倾倒时，通过控制直流电动机，使小车在水平方向运动，将倒置摆保持在垂直位置上。3.2倒置摆的状态空间方程为简化问题，工程上可以忽略一些次要因素。在此设计中，为了简化问题，方便研究系统空

8、间的设计问题，忽略了摆杆质量、执行电动机惯性以及摆轴、轮轴、轮与接触面之间的摩擦及风力。设小车的瞬时位置为z，倒置摆出现的偏角为，则摆心瞬时位置为。在控制力u的作用下，小车及摆均产生加速运动，根据牛顿第二定律，在水平直线运动方向的惯性力应与控制力u平衡，则有 即 (1)由于绕摆旋转运动的惯性力矩应与重力矩平衡，因而有 即 （2） 式（1）、式（2）两个方程都是非线性方程，需作线性化处理。由于控制的目的是保持倒置摆直立，因此，在施加合适u的条件下，可以认为、均接近于零，此时，,且可以忽略项，于是有 （3）+ = （4）连联立求解式（3）、式（4），可得 （5） （6） 消去中间变量，可得输入量为

9、u、输出量为z的微分方程为 （7）综合上述的分析，可抽象出系统的研究对象为：位移z、小车的速度、摆的角速度及其角速度的。系统的研究对象抽象成这四个变量后，接下来就可以根据前面的方程为这四个变量建立空间状态方程，并分析被控对象的特性。3.3单倒置摆的状态空间模型再上一步中，我们已经选取了四个研究对象作为状态变量，它们分别为：位移z、小车的速度、摆的角速度及其角速度的。Z为输出变量，在考虑，以及式（5）、（6）、（7），可列出倒置摆的状态空间模型表达式为： （8a） (8b) 式中 为方便研究，假定系统的参数 M=4kg,m=0.2kg,l=1m,则系统状态方程中参数矩阵为： ,， （9）此时倒置

10、摆的状态空间模型表达式为： 4.系统特性分析在建立完模型后我们需要对模型进行分析。作为被控制的倒置摆，当它向左或向右倾倒时，能否通过控制作用使它回复到原直立位置，这取决于其能控性。因此我们首先分析它的能控性。4.1能控性分析通过秩判据判断能控性，将式（9）的有关数据带入该判据，可得 （10）因此，单倒置摆的运动状态是可控的。换句话说，这意味着总存在一控制作用u,将非零状态转移到零。 建立工程liu1.m的仿真如下： 对系统能控性的仿真结果截图如下： 仿真结果分析：因为系统的秩等于系统的维数，因此说明系统是能控的，秩判据的结果与仿真结果相符。4.2稳定性分析由单倒置摆系统的状态方程，可求的其特征

11、方程为： （11） 用MATLAB计算系统的特征值如下：建立工程liu2.m的仿真代码如下：求系统特征值的仿真结果截图：仿真结果分析：解得特征值为0,0，3.2078，-3.2078。四个特征值中存在一个正根，两个零根，还有一个负根，这说明单倒置摆系统，即被控系统不稳定的。并且该系统不稳定性可以通过对x变量的单位阶跃响应曲线验证系统的不可控。验证系统不稳定性:采用MATLAB对被控对象进行仿真，如下图所示为倒摆没有添加任何控制器下四个变量的单位阶跃响应。建立工程liu3.m的仿真代码如下：仿真结果如下：仿真结果分析：如图可知，阶跃响应下的z、及响应都趋于无穷，而且既有正无穷还有负无穷。说明系统

12、不稳定，不能到达控制目的。通过对系统模型进行分析，可知被控系统是具有能控性的，但是被控系统是不稳定的。因此需对被控系统进行反馈综合，使四个特征值全部位于根平面S左半平面的适当位置，以满足系统的稳定工作已达到良好、静态性能的要求。本文设计了两种控制器方案来使系统到达控制的目的。分别为：全维状态观测器的设计和降维观测器的设计。4.3单倒置摆系统的综合 采用全状态反馈。取状态变量z、为反馈信号，状态控制规律为 （12） 设 式中，分别为z、反馈至参考输入v的增益。则闭环控制系统的状态方程为 设置期望闭环极点为-1，-1，-1+i,-1-i建立工程为liu4.m仿真代码如下： 仿真k值结果如下：即可认

13、为：=-0.82，=-2.45，=-69.98，=-18.45仿真阶跃响应下的z、响应结果如下：仿真结果分析：阶跃响应下的z、及 响应经一段时间后都趋于一个稳定的值，并且到达稳定的时间短，波动小。说明系统经反馈设计后不仅稳定，还能到达控制的目的。4.4单倒置摆状态反馈系统如上分析可得单倒置摆的状态反馈系统不仅稳定而且可控，因此建立工程为liuxubin1.mdl的状态反馈系统结构图如下：相应的仿真图形如下：Scope结果如下： Scope1结果如下： Scope2结果如下： Scope3结果如下： 仿真分析：如仿真图可知，单倒置摆的全状态反馈为稳定的闭环系统。单位阶跃的作用下，输出变量逐渐趋于

14、某一常数，状态变量则是逐渐趋于0。当参考输入v单位阶跃时，状态向量在单位阶跃的作用下相应逐渐趋于稳定，这时摆杆回到原始位置（即=0），小车也保持稳定（即z=某一常数）。如果不将4个状态变量全用作反馈，该系统则不能稳定。 本文设计了两方案，分别是：全维观测器的设计、全维观测器的设计。5.设计方案5.1方案一：全维观测器的设计为实现单倒置摆控制系统的全状态反馈，必须获取系统的全部状态，即z、的信息。因此，需要设置z、的四个传感器。在实际的工程系统中往往并不是所有的状态信息都是能检测到的，或者，虽有些可以检测，但也可能由于检测装置昂贵或安装上的困难造成难于获取信息，从而使状态反馈在实际中难于实现，甚

15、至不能实现。在这种情况下设计全维状态观测器，解决全维状态反馈的实现问题。5.1.1判定系统状态的能观测性将式（9）中的数值代入能观测性秩判据，得：或者由MATLAB中的obsv(A,c)命令来求秩，可得秩为4。 建立工程文件liu5.m的仿真代码如下： 仿真结果如下： 仿真分析：说明系统能观。被控系统的4个状态均是可观测的，即意味着其状态可由一个全维状态观测器给出估值。5.1.2状态变量的响应分析全维观测器的运动方程为 式中 全维观测器已G配置极点，决定状态向量估计误差衰减的速率。 设置状态观察器的期望闭环极点为-3，-4，-2+i,-2-i。由于最靠近虚轴的希望闭环极点为-2，这意味着任一状

16、态变量估计值至少以规律衰减。接着求系统的G值，以及其响应。建立工程为liu6.m的仿真代码如下：A=0,1,0,0;0,0,-0.49,0;0,0,0,1;0,0,10.29,0;b=0;0.25;0;-0.25;c=1,0,0,0;d=0;N=size(A);n=N(1);sys0=ss(A,b,c,d);jidian=-1,-1,-1+i,-1-i;k=acker(A,b,jidian)h=(acker(A,c,jidian)A1=A ,-b*k;h*c,A-b*k-h*c;b1=b;b;c1=c zeros(1,4);d1=0;sys=ss(A1,b1,c1,d1);t=0:0.01:1

17、0;y,t,x=step(sys,t);figure(1);y,t,x=step(sys,t);subplot(2,2,1);plot(t,x(:,1);gridxlabel(t(s);ylabel(x(t);title(阶跃响应下的z);subplot(2,2,2);plot(t,x(:,2);grid;xlabel(t(s);ylabel(x(t);title(阶跃响应下的z微分);subplot(2,2,3);plot(t,x(:,3);gridxlabel(t(s);ylabel(x(t);title(阶跃响应下的theta)subplot(2,2,4);plot(t,x(:,1:4)

18、,-);gridxlabel(t(s);ylabel(x(t);figure(2);plot(t,x(:,5:8),-);gridxlabel(t(s);ylabel(x(t);figure(3)subplot(4,1,1);plot(t,(x(:,1)-x(:,5);gridylabel(z);subplot(4,1,2);plot(t,(x(:,2)-x(:,6);gridylabel(z的微分);subplot(4,1,3);plot(t,(x(:,3)-x(:,7);gridylabel(theta);figure(3)subplot(4,1,1);plot(t,(x(:,1)-x(:

19、,5);gridsubplot(4,1,2);plot(t,(x(:,2)-x(:,6);gridylabel(z的微分);subplot(4,1,3);plot(t,(x(:,3)-x(:,7);gridylabel(theta);subplot(4,1,4);plot(t,(x(:,4)-x(:,8);gridylabel(theta的微分);仿真结果如下：求G值：即可认为：=4，=17.29，=-96.24，=-367.17状态反馈下的状态变量的阶跃响应带全维观测器的状态反馈下的状态变量的阶跃响应注：“”表示z的阶跃响应； “”表示的阶跃响应 “”表示的阶跃响应； “”表示的阶跃响应；。

20、系统状态与全维观测器得到的估计状态之间的误差曲线 仿真结果分析：由上图可知，全维状态观测器观测到的4个变量的阶跃响应曲线是稳定的，虽然系统状态与全维观测器得到的估计状态之间有误差，但无耻小，可以忽略，因此可以设计全维观测器。5.1.3全维观测器由以上分析，可以建立全维状态观测器实现状态反馈的结构图建立工程为liuxubin2.mdl的仿真结构图如下：仿真结果如下：仿真结果分析：由上图可知，全维状态观测器观测到的4个变量的阶跃响应曲线与全状态反馈时的阶跃响应曲线基本相识，但是二者还是有误差的，只不过误差很小。全维状态观测器所得的性能基本满足要求，但是由于观测器的数目多，导致中间过程的损耗也大。实

21、际上，本系统中的小车位移z，可由输出传感器获得，因而无需估计，可以设计降维观测器。5.2方案二：降维观测器的设计5.2.1降维观测器分析 由于单倒置摆控制系统中的小车位移，可由输出传感器测量，因而无需估计，可以设计降维（3维）状态的观测器。在降维观测器设计中为了便于设计降维部分，假设系统参数M=1kg，m=0.1kg，g=9.81。通过重新排列被控系统状态变量的次序，把需由降维状态观测器估计变量与输出传感器测得的状态变量分开，也就是说，将z作为第四个状态变量，则按照被控系统的状态和输出方程可变换为： 简记为 式中 ，, ,故单倒置摆三维子系统动态方程为 5.2.2降维观测器能控性能观性 建立工

22、程为liu7.m的仿真代码如下：仿真结果如下：仿真分析:仿真结果说明设计降维观测器是能控、能观的。5.2.3降维观测器取值当得出降维观测器是能控、能观这一结论之后，接着计算降维观测器的相关参数。建立工程为liu8.m的仿真代码如下： 仿真结果的k值如下：结果分析：k值的得出，可作为相应的反馈参数。因为降维状态观测器动态方程的一般形式为 式中，。使用MATLAB可求出降维状态观测器特征多项式为 设期望的观测器闭环极点为-3，则由MATLAB 仿真可得，期望特征多项式为 建立工程为liu9.m的仿真代码如下： 仿真结果如下所示： 由MATLAB可得，=17，=-107， =-369所以由MATLA

23、B的仿真可得降维观测器的动态方程为 5.2.4降维状态观测器设计使用降维状态观测器实现状态反馈的的单倒置摆系统结构图如下图所示。仿真后的对应的图形如下：Scope的图如下：Scope1的图形如下：Scope2的图形如下：Scope3的图形如下：仿真结果分析：通过scope 的图形观测可知，系统的降维观测器是可控稳定的，系统不仅降了一维，而且可以获得很好的控制，同时也减小了系统的过程损耗，在实际中有很好的应用。6.总结本次设计通过对单倒置摆的能控性和能观性以及系统状态的分析，进而设计出两种方案：一个是全维状态观测器，一个是降维状态观测器。就本设计来说，全维状态观测器和降维状态观测器都是可行的，但

24、由于全维状态观测器需要检测4个变量，这无形中增加了系统的成本，并且检测的变量增多会导致误差的累积，这对系统是不好的。同时实际设计中经常遇到变量不可测的情况，这样全维状态观测器就不能满足需要了。因此，从实际应用来说，降维状态观测器具有更广泛的应用。通过这次单倒置摆的状态空间设计，使我在学习现代控制理论的相关理论知识的同时，能将理论用于一定的设计，将课本的知识联系起来，并且对知识有了更整体的理解。这次设计的另外一个重大收货就是：我学会了用MATLAB做系统的仿真，这在之前的现代控制理论课堂上是没有接触到的。我明白了指令sys0=ss(A,b,c,d)的作用，strb，eig，acker，colle

25、ct，expand 等相关函数的用法，以及在仿真图形结果的表示的相关设计的函数有了进一步的熟练。总之，通过做设计，虽然需要付出很多的努力，花费很多的时间，但同时做设计也非常能提高一个人的知识和能力。7.参考文献1罗忠,赵士鑫,史志勇,郭立新.东北大学学报J.基于状态观测器的倒立摆系统控制与实验研究.2010年1月.31卷1期2柳洪义,罗忠,王菲.现代机械工程自动控制M.北京:科学出版社, 20083邢景虎,陈其工,江明.单级倒立摆的两种控制方法的仿真研究J.工业仪表与自动化,2008(2):7-94张白莉.现代电子技术J.单级倒立摆控制系统的稳定性算法设计.2011年34卷第3期5王伟,刘立新,黄建娜.装备制造技术J.模糊控制在倒立摆系统中的应用研究.2008年1期6吴垣甫.信息与控制J.小车单摆系统仿人智能控制与参数优化仿真.2010年39卷第1期7贾荣丛,高坤,王划一.机器人技术J.双足机器人的倒立摆模型控制系统的研究.2009年25卷8彭自然，罗大庸，张航.湖南工业大学学报J.单级倒立摆系统控制方法设计.2007年21卷第2期9胡寿松.自动控制原理简明教程M.第二版.10梁慧冰.现代控制理论基础.